江苏数学二轮复习8向量与复数

江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题8 向量与复数回顾20082012年的考题，2008年第5题，2009年第2题、第15题，2010年第15题，2011年第10题，2012年第9题、第15题分别考查了向量的线性运算、坐标运算或数量积运算，属于中低档题；2008年第3题，2009年第1题，2010年第2题，2011年第3题，2012年第3题分别考察了复数的概念与四则运算，属容易题.预测在2013年的高考题中：(1)复数题依然是必考题，而且考查相对简单，在前3题；(2)向量问题多以填空题的形式考查，也可能在解答题中以条件的形式出现.重点考查数量积的运算及应用.1(2012江苏高考)设a，bR，abi(i为虚数单位)，则ab_.解析：abi53i，a5，b3，故ab8.答案：82.设E，F分别是RtABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB3，AC6，则_.解析：|2 ()|24510.答案：103(2011江苏高考)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2.若ab0，则实数k的值为_解析：由题意知：ab(e12e2)(ke1e2)0，即kee1e22ke1e22e0，即kcos2kcos20，化简可求得k.答案：4(2012扬州质检)设(1，2)，(a，1)，(b,0)，a0，b0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则的最小值为_解析：(a1,1)，(b1,2)A，B，C三点共线，.2(a1)(b1)0.2ab1.4428.答案：85.如图，设点P是三角形ABC内一点(不包括边界)，且m n ，m，nR，则m2(n2)2的取值范围为_解析：因为点P是三角形ABC内一点(不包括边界)，所以0m，n1,0mn1，根据线性规划的知识，作出如图阴影部分，m2(n2)2表示点P(0,2)到阴影内点的距离的平方，显然到点A(0,1)的距离最近，为1；到点B(1,0)的距离最远，这时m2(n2)25，故所求取值范围为(1,5)答案：(1,5)若z是实系数方程x22xp0的一个虚根，且|z|2，则p_.解析设zabi(a，bR，b0)，则a2b24，且(abi)22(abi)p0，得解得p4.答案4利用复数相等的充要条件，将复数问题实数化是处理复数问题的基本策略设关于x的方程x2(tan i)x(2i)0有实根，求锐角及这个实根解：设实数根为a，则a2(tan i)a(2i)0，即a2atan 2(a1)i0.a，tan R，a1且tan 1.又00，所以y在递增所以()min.答案解决本题的关键是将点P坐标设为三角函数，从而引入三角函数来表示参数，.难点是对所得函数的进一步研究，通过导数确定函数的单调性，从而求得最小值设e1，e2是夹角为60的两个单位向量，已知e1，e2，xy (x，y为实数)若PMN是以M为直角顶点的直角三角形，则xy取值的集合为_解析：由题意得|1，又因为PMN是以M为直角顶点的直角三角形，所以有0，即()()0，所以(x1) y)()0，得(1x)y(x1y)0，所以(xy)，即xy1，故xy取值的集合为1答案：1(1)向量的数量积问题主要涉及向量的模、夹角、坐标这三个基本方面，有关向量数量积的运算都是这三个方面的运算(2)处理向量问题，一般有两个途径，一是建立直角坐标系用坐标运算研究向量间的问题，二是用基底表示后直接运算(3)平面向量的线性运算中应注意以下几个关键要素：基底向量的建立；未知向量与基底向量的关系；向量条件的几何意义；参数取值范围的几何解法1(2012南通第一次调研)若复数z满足(12i)z34i(i是虚数单位)，则z_.解析：z12i.答案：12i2定义：复数bai是zabi(a，bR)的转置复数，记为zbai；复数abi是zabi(a，bR)的共轭复数，记为abi.给出下列三个命题：zi；0；z1z212.其中真命题的个数为_解析：ii(abi)baiz，正确；(abi)baibai0，正确；z1z2(a1b1i)(a2b2i)(b1a1i)(b2a2i)(b1b2a1a2)(b1a2a1b2)i，12(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)i，z1z212，错，因此真命题个数是2.答案：23在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，设向量x(sin B，sin C)，向量y(cos B，cos C)，向量z(cos B，cos C)，若z(xy)，则tan Btan C的值为_解析：xy(sin Bcos B，sin Ccos C)，由z(xy)，得cos C(sin Bcos B)cos B(sin Ccos C)0，即sin Bcos Ccos Bsin C2cos Bcos C.所以tan Btan C2.答案：24平面内两个非零向量，满足|1，且与夹角为135，则|的取值范围_解析：如图所示，在OAB中，设OBA，所以，即|OAsin ，又，故|(0， 答案：(0， 5等边三角形ABC中，P在线段AB上，且，若，则实数的值是_解析：P在线段AB上，所以01，不妨设等边三角形ABC边长为1，()()，从而有，22，解得1.又01，1.答案：16.如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上(含原点)滑动，则的最大值是_解析：设OAD，则OAADcos cos ，点B的坐标为(cos cos(90)，sin(90)，即B(cos sin ，cos )，同理可求得C(sin ，sin cos )，所以(cos sin ，cos )(sin ，sin cos )1sin 2.所以()max2.答案：27等腰直角三角形ABC中，A90，AB，AD是BC边上的高，P为AD的中点，点M、N分别为AB边和AC边上的点，且M、N关于直线AD对称，当时，_.解析：由等腰直角三角形ABC中，A90，AB，AD是BC边上的高，P为AD的中点知，AD1，AP.由知()()，即P2().又M、N关于直线AD对称，得|cos 135|cos 135，故|，所以3.答案：38.在平面直角坐标系xOy中，设A、B、C是圆x2y21上相异三点，若存在正实数，使得，则2(3)2的取值范围是_解析：设与的夹角为，则由得22cos u21，从而由正实数，及|cos |1，得11，且|1，作出如图所示的可行域，则2(3)2表示区域内任一点到点(0,3)的距离的平方，而当点(0,3)到直线10的距离d为最小值时，d22，所以2(3)2的取值范围为(2，)答案：(2，)9(1)设向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，其中0，若|2ab|a2b|，则_.(2)在ABC中，AB1，AC2，O为ABC外接圆的圆心，则_.解析：(1)由|2ab|a2b|得3a28ab3b20，即ab0，从而cos()0.又0，故0，所以.(2)法一：()，又|，|，所以即，故.法二：过O作OD垂直于BC，垂足为D，因为O是三角形ABC的外接圆圆心，所以D为线段BC的中点，所以，则() ()()|2|2.答案：(1)(2)10在平面直角坐标系xOy中，点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足(t )0，求t的值解：(1)由题设知(3,5)，(1,1)，则(2,6)，(4,4)所以|2，|4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知(2，1)， t (32t,5t)，由(t )0，得(32t,5t)(2，1)0，从而5t11，所以t.11已知点A(2,0)，B(0,2)，点C(x，y)在以原点为圆心的单位圆上(1)若|(O为坐标原点)，求向量与的夹角；(2)若，求点C的坐标解：(1)由(2,0)，(x，y)，得(2x，y)由|，得(2x)2y27，所以解得x，y.cos y，所以与的夹角为30或150.(2) (x2，y)，(x，y2)，由得，0，则x22xy22y0.由解得或所以点C的坐标为或.12.已知点P是圆x2y21上的一个动点，过点P作PQx轴于点Q，设.