高考数学导数、数列压轴题的破解策略数列创新

高考数学 导数、数列压轴题的破解策略 数列创新试题例1. （2015高考浙江，理）已知数列满足=且=-（）（1）证明：1（）；（2）设数列的前项和为，证明（）.【解析】（1）首先根据递推公式可得，再由递推公式变形可知，从而得证；（2）由和得，从而可得，即可得证.试题解析：（1）由题意得，即，由得，由得，即；（2）由题意得，由和得，因此，由得.例2：将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 【解析】第1次全行的数都为1的是第行，第2次全行的数都为1的是第行，第3次全行的数都为1的是第行，第次全行的数都为1的是第行(可用数学归纳法或递推关系证明)；第行数都为1，从而逆推出第61行为，共有32个1例3：（2015高考安徽，理）设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标. （）求数列的通项公式； （）记，证明.【解析】（）对题中所给曲线的解析式进行求导，得出曲线在点处的切线斜率为.从而可以写出切线方程为.令.解得切线与轴交点的横坐标. （）要证，需考虑通项，通过适当放缩能够使得每项相消即可证明.思路如下：先表示出，求出初始条件当时，.当时，单独考虑，并放缩得，所以 ，综上可得对任意的，均有.试题解析：（）解：，曲线在点处的切线斜率为. 从而切线方程为.令，解得切线与轴交点的横坐标. （）证：由题设和（）中的计算结果知 . 当时，. 当时，因为， 所以. 综上可得对任意的，均有.例4：将杨辉三角中的每一个数都换成，就得到一个如右图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中 ；令，则 【解析】；， 例5：（2015江苏高考）设是各项为正数且公差为d的等差数列 （1）证明：依次成等比数列； （2）是否存在，使得依次成等比数列，并说明理由； （3）是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说 明理由.【解析】（1）根据等比数列定义只需验证每一项与前一项的比值都为同一个不为零的常数即可（2）本题列式简单，变形较难，首先令将二元问题转化为一元，再分别求解两个高次方程，利用消最高次的方法得到方程：，无解，所以不存在（3）同（2）先令将二元问题转化为一元，为降次，所以两边取对数，消去n,k得到关于t的一元方程，从而将方程的解转化为研究函数零点情况，这个函数需要利用二次求导才可确定其在上无零点试题解析：（1）证明：因为（，）是同一个常数，所以，依次构成等比数列（2）令，则，分别为，（，）假设存在，使得，依次构成等比数列，则，且令，则，且（，），化简得（），且将代入（）式，则显然不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在，使得，依次构成等比数列（3）假设存在，及正整数，使得，依次构成等比数列，则，且分别在两个等式的两边同除以及，并令（，），则，且将上述两个等式两边取对数，得，且化简得，且令，则由，知，在和上均单调故只有唯一零点，即方程（）只有唯一解，故假设不成立所以不存在，及正整数，使得，依次构成等比数列例6：若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（ ）A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解析】取为，则数列是等方比数列，但，不是等比数列；若数列是等比数列，设公比为，则为正常数，则数列是等方比数列，故选B例7:对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中；对正整数，规定为数列的阶差分数列，其中（1）已知数列的通项公式，试判断是否为等差数列或等比数列？为什么？（2）数列首项，且满足，求数列的通项公式【解析】（1），数列是等差数列，是常数列，既是等差数列，又是等比数列（2），两边同时除以，得：令，则：，即例8：若有穷数列（是正整数），满足，即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”（1）已知数列是项数为7的“对称数列”，且成等差数列，试写出的每一项；（2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和【解析】（1）设数列的公差为，则：，解得： ，数列为 （2）由对称数列的定义知：，当时，取到最大值626（3）成为项数不超过的对称数列中的连续项，该数列只可能是：；或；或；或；下面计算的前2008项和：当时，；当时，；故的前2008项和为：例9：在个不同数的排列中，若时（即前面某数大于后面某数），则称与构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为，如排列21的逆序数，排列321的逆序数.（）求，并写出的表达式；（）令，证明:【解析】（），（） ，.又,=.综上，.例10：已知，当时，求证： （1）； （2）证明：（1）当时， ， ；（2）由（1）， 例11：若定义在区间上的函数对于上的任意个值，总满足：称函数为上的凸函数，则在锐角三角形中，的最大值是 解：函数为上的凸函数，故例12：在