高三数学第一轮复习：不等式的解法知识精讲

高三数学第一轮复习：不等式的解法【本讲主要内容】 不等式的解法【知识掌握】【知识点精析】 “”是不等“”与方程“”的联合体，故相应解集是不等式解集与方程解集的并集。 1. 常见不等式的解法步骤： （1）对axb形式的不等式，当a0时解集为，当a0时解集为，当a0且b0时解集为R，当a0且b0时，解集为； 因未限制a的符号，故ax-b不必另行列出。 （2）一元二次不等式我们总可化为x2+bx+c0和x2+bx+c0x2+bx+c00 （3）特殊的高次不等式f （x）0或f（x）0或g（x）； 形如：； （6）指数、对数不等式，化为同底的方法是指数、对数不等式的基本解法，要注意定义域为前提，且必须在原始不等式中求定义域，在无法确定指数、对数函数的单调性时，必须推论底与1的大小关系，然后分类解答。不同底的对数不等式需用换底公式化为同底不等式来解，底中含有未知数的对数不等式常常用换底公式化为常数为底的对数不等式。 （7）关于绝对值不等式，应首先理解绝对值（此处是指实数的绝对值）的意义：当a0时|a|a；当a0时|a|0；当a0时|a|-a。 对|x|0时，-axa，当a0时，xa或x-a；当a0时，x0；当a0，原式同解于。 解： 时，左右。 原不等式解集为 评讲：采用序根法时，要注意两点：（1）由于有等号，故分子相应的根标实点，分母相应的根用空圈，（2）对于，当x比最大根2大时，左为负值，草图应从右下开始，最好改写为，则穿根时要从右上开始。 例2. 解关于x的不等式 分析：首先应考虑有意义：a2-2x20，知分界点为0，当a0时，原不等式即，解集为。当a0时，时左边有意义，而右边是否需要平方要看x-a是否成立，讨论应围绕-a与间的大小关系进行。 解：（1）当a0时，原不等式即。（2）当a0时，此时x+a0，原不等式同解于，即3x2+2ax0，。 3. a0时，此时x+a恒负，原不等式成立。 评讲：解无理不等式的要点是去掉根号，化为有理不等式，方法通常是两边平方，但要注意这种变形的依据是不等式平方的性质：ab0a2b2， 其中a，b的非负条件不可缺少，若abb0（a）2（b）2，即a2b2。 例3. 已知a0且a1，解关于x的不等式：。 分析：先利用指数函数的单调把两边的底数化去，再解一个关于对数式logax为变元的二次不等式。 解：原不等式 x11时，122log axlog a2x，； 0x22log axlog a2x，； （1）当a1时，原不等式等价于或，1xa或0x； （2）当0a1时，原不等式或,1x或0x1时，仍然使用同底法化为logax1logaa，然后根据a的取值范围讨论。【考点突破】【考点指要】 高考考纲要求:掌握简单不等式的解法。 不等式是中学数学的重要内容，其知识渗透到中学数学的许多章节，再加上它的实际生活中的广泛应用性，决定了它是高考常考的热点。高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式。 列表如下：年份题号分值占总分比例题型考查知识200019128%解答题解不等式与函数的综合200117128%选择题解不等式2002453.5%选择题解不等式2003353.5%选择题解不等式2004全国153.5%选择题集合与解不等式2005全国I9511.5%选择题指数与对数不等式1912解答题二次函数与二次不等式2006全国I153.5%选择题集合与解不等式2006福建21128%解答题函数与二次不等式 纵观近几年高考试题中对不等式解法的考查，其分值约占总分的10%14%，从题型上看有以下几个特点： 在选择题中结合集合及其它知识点考查对简单不等式的求解，有时还可能与函数、方程等内容的小综合。 在填空题中考查简单不等式的解法，建立不等式求参数的取值范围，等。 在解答题中，解不等式仍是高考的热点。【典型例题分析】 例4. （2004年上海）记函数f（x）的定义域为A，g（x）lg（xa1）（2ax）（a1）的定义域为B。 （1）求A； （2）若BA，求实数a的取值范围。解：（1）20，得0，x0，得（xa1）（x2a）0。 a2a，B（2a,a+1）。 BA，2a1或a+11，即a或a2，而a1 a0的解集为（ ） A. x|x3C. x|x3D. x|1x0且a1，解关于x不等式: |2|log ax2|2，Bxx6x+80的解集是_。 12. （2003年潍坊二模）不等式x2|x1|10的解集为_。三. 解答题 13. （1998全国文，20）设ab，解关于x的不等式a2xb2（1x）axb（1x）2。 14. （2003年南京二质检）解关于x的不等式x（aR）。 15. 已知适合不等式|x24x+p|+|x3|5的x的最大值为3。 （1）求p的值； （2）若f（x），解关于x的不等式f-1（x）（kR+）达标测试答案一. 选择题： 1. 解析：解得A（-,1）（1,+ ），B-3,2，所以AB 选A 2. 解析：由得：，即，故选D。 3. 解析：由|ax+2|6得6ax+26，即8ax4。不等式|ax+2|6的解集为（1，2），易检验a4。答案：C 4. 解法一：当x2时，原不等式化为， 去分母得（x+2）（3x）（x+3）（x2）， 即x2x6x2x6，2x2120，. 注意x2，得2x； 当0x2时，原不等式化为，去分母得x2x6x2x6 即2x0 注意0x2，得0x2. 综上得0x，所以选C。 答案：C 解法二：特殊值法。取x2，适合不等式，排除A；取x2.5，不适合不等式，排除D；再取x，不适合不等式，所以排除B；选C。 5. 解法一：x+2x2+00x（x1）（x+1）01x0或x1。解法二：验证，x2、不满足不等式，排除B、C、D答案：A 6. 解法一：x0时，原不等式化为：（1x）（1x）0 （x1）（x1）0 0x1 x0时，原不等式化为：（1x）（1x）0（1x）20 x1 x0且x1 综上，不等式的解集为x1且x1. 解法二：原不等式化为： 或 解得1x1 解得即x1 原不等式的解集为x1且x1 选D 7. 解析：由已知（x1）（x3）0，x3. 故原不等式的解集为x|x3 答案：C 8. 解析：原不等式等价于： 0x1. 答案：C二. 填空题： 9. 解析：ax2+（ab+1）x+b0的解集为x|1x2， 解得或 a+b或3 答案：或3 10. 解析：由题意，知0、2是方程x2+（2m）x0的两个根， 0+2 m1 11. 解析：将不等式变形得. 答案：x|2x4 12. 解析：0x+68，即6x+2，解之得三. 解答题： 13. 解： 所以，原不等式组的解集为x|x5. 14. 解：原不等式变形为ax2+（a2）x20. a0时，x1； a0时，不等式即为（ax2）（x+1）0， 当a0时，x或x1； 由于（1），于是 当2a0时，x1； 当a2时，x1； 当a2时，1x. 综上，当a0时，x1； 当a0时，x或x1； 当2a0时，x1； 当a2时，x1； 当a2时，1x。 15. 解：原不等式等价于|2log ax2|log ax2|1时，原不等式等价于（1） 或（2）或（3） 解（1）得xa，解（2）得axa2，不等式组（3）无解， 原不等式解集是x| aa2； 当0a1时，原不等式等价于（1） 或（2）或（3） 解（1）得ax，解（2）得a2xa，不等式组（3）无解 原不等式解集是x| a2a1时,原不等式的解集是x|aa2，当0a1时,原不等式解集是x|a2a【综合测试答案】一. 选择题： 1. 解析：A（-，-1）（3，+），A-1,3，又B（2,4），所以（A）B（2,3）选B 2. 解析：P（-，0）1，+，Q（1，+），解得（1，+） 选C 3. 解析：在数轴上标出各根。 答案：A 4. 解析：条件集是结论集的子集，所以选B。 5. 解析：由|2x21|1得12x2110x21，即1x1 答案：A 6. 解析：不等式的解集是，即方程的解为故 选D 7. 解析：可化为 1x+13或-3x+1-1，解得0x2或-4x0，xloga3 . 选 C二. 填空题： 9. 答案：x|3x2 10. 解法一：|x+2|x|（x+2）2x24x+40x1。 解法二：在同一直角坐标系下作出f（x）|x+2|与g（x）|x|的图象，根据图象可得x1。 解法三：根据绝对值的几何意义，不等式|x+2|x|表示数轴上x到2的距离不小于到0的距离，x1。 答案：x|x1 11. 解析：观察表格中的数据可知，抛物线开口向上且对应二次方程的两根为-2,3，故所求解集 12. 解析：当x10时，原不等式化为x2x0，解得0x1。x1； 当x10时，原不等式化为x2+x20，解得2x1。2x1. 综上，2x1。答案：x|2x1三. 解答题 13. 解：将原不等式化为（a2b2）xb2（ab）2x22（ab）bxb2 移项，整理得（ab）2（x2x）0， ab，即（ab）20，x2x0，0x1 不等式的解集为x|0x1 14. 解法一：由x，得x0，即0 此不等式与x（ax1）0同解 若a0，则x0； 若a0，则x0； 若a0，则x0或x 综上，a0时，原不等式的解集是（，0） a0时，原不等式的解集是（，0） a0时，原不等式的解集是（，0）（，+） 解法二：由x，得x0，即0 此不等式与x（ax1）0同解 显然，x0 （1）当x0时，得ax10 若a0，则x，与x0矛盾 此时不等式无解； 若a0，则10，此时不等式无解； 若a0，则x （2）当x0时，得ax10 若a0，则x，得x0 若a0，则10，得x0； 若a0，则x，得x0； 综上，a0时，原不等式的解集是（，0）； a0时，原不等式的解集是（，0）； a0时，原不等式的解集是（，0）（，+） 15. 解：（1）适合不等式|x24x+p|+|x3|5的x的最大值为3， x30，|x3|3x。