高三数学第一轮复习：不等式一文人教

高三数学第一轮复习：不等式（一）高三数学第一轮复习：不等式（一） （文）人教版（文）人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 不等式（一） 二. 知识讲解： 有关不等式的中等问题（中档题）主要是考查各类不等式的解法。 从涉及题目的类型来看，有整式不等式，分式不等式，含有绝对值符号的不等式，对 数不等式等等。 从解题方法看，主要有因式分解法、换元法等等。 从数学思想来看，主要是转化思想和分类讨论的思想。 例如对数不等式的解法，就是利用转化的数学思想，结合对数函数的单调性，把它转 化为我们所熟悉的代数不等式，只要我们充分注意转化过程中的等价性，完全可以掌握这 类问题的解法。 分类讨论的思想在不等式的解法中频频出现。比如对数式的底数中字母的取值就影响 到函数的增减性，需要分类讨论；含有绝对值符号的不等式在去掉绝对值符号时，需要对 绝对值符号内的解析式的取值进行讨论。 有一些应用问题中间也涉及到一些不等式的解法，在依据题意建立了数学模型之后， 主要的任务就是解一个不等式，关于这个不等式的解，除去上面提到的注意事项之外，特 别要注意实际问题对未知数取值的限制，把这种限制与不等式的解集取交集得到的才是问 题的正确解答。 【典型例题典型例题】 例 1 解不等式。xxx 2 1 2 解：解：令，则或0 2 xx1x0x （1）当或时，原不等式化为1x0xxxx 2 1 2 2 3 0 x 2 3 1 x （2）当时，原不等式化为 10 xxxx 2 1 2 或 2 1 x0x1 2 1 x 综合（1） 、 （2）知，原不等式的解集为 2 3 2 1 | xx 例 2 解关于的不等式：（）x0 2 ax ax Ra 解：解：原不等式等价于：0)( 2 axax （1）若，或，不等式的解集为空集 2 aa 0a1a （2）若，即时，不等式解集为 2 aa 10 aaxa 2 （3）若，即或时，不等式的解集为 2 aa 1a0a 2 axa 综上知：或时，解集为空集；时，解集为 ；0a1a10 a|aaxa 2 或时，解集为 。1a0a|a 2 axa 例 3 解关于的不等式：xa x x 1 1 解：解：原不等式变形为： 0) 1( 1 a x x 0 1 ) 1)(1( x axx 等价于0 1 1 x aax 0) 1)(1(aaxx （1）若， 0a0) 1)( 1 ( x a a x1 1 x a a （2）若，原不等式化为0a1x （3）若，原不等式化为0a0) 1)( 1 ( x a a x 或 综上，时， a a x 1 1x0a1 1 x a a 时，；时，或0a1x0a a a x 1 1x 例 4 已知关于的不等式的解集为 M；x ax ax 2 5 0 （1）当时，求集合 M；4a （2）若，求实数的取值范围。M3a 解：解：（1）当时，原不等式可化为：4a0 4 54 2 x x 即 0)2)(2)( 4 5 (4xxx)2 , 4 5 ()2,(x M 为)2 , 4 5 ()2,( （2）由于 即0 3 53 ,3 a a M0)9)(53(aa 或 的取值范围是 3 5 a9aa), 9() 3 5 ,( 例 5 解关于的不等式：。x)(22 2 Raaxxax 解：解：原不等式变形为：02)2( 2 xaax （1）时，0a1x （2）时，不等式变形为0a0) 1)(2(xax 当时，或 当时，0a a x 2 1x02a1 2 x a 当时，当时，2a1x2a a x 2 1 综上，时， 时，或0a1x0a a x 2 1x 时， 时，02a1 2 x a 2a1x 时，2a a x 2 1 例 6 解关于的不等式：x)22(223 xxxx a 解：解：原不等式化为 ) 12() 12(2 222 xxx a0)2)(12( 22 a xx 即 当时，0)4)(14(a xx 10 a14 x a 此时不等式的解集为) 0 , (log4ax 当时，不等式无解1a0) 14( 2 x 当时，此时不等式的解集为1aa x 41)log, 0( 4a x 综上，时，) 1 , 0(a) 0 , (log4ax 时，无解；时，1a1a)log, 0( 4a x 例 7 已知函数) 10( 2 2 log)( a x x xf a （1）试判断函数的奇偶性；)(xf （2）解不等式：。xxf a3 log)( 解： （1） x x xf a 2 2 log)()( 2 2 logxf x x a 是奇函数)(xf （2） xxf a3 log)( 33 2 2 203 10 2 2 x x x x x x 由、解出 20 x 由得，03 2 2 x x x 0 2 )2(3)2( x xxx 0 2 253 2 x xx 或 0)2)(1)(23( 2 xxx x 2x1 3 2 x 取、的交集，不等式的解集为xxf a3 log)(1 3 2 | xx 例 8 已知，设 P：函数在 R 上单调递减，Q：不等式的解集0c x cy 12cxx 为 R。如果 P 和 Q 有且仅有一个正确，求的取值范围。c 解：解：函数在 R 上单调递减 x cy 10c 不等式的解集为在 R 上恒大于 112cxxcxyR2 cxc cxcx cxx 22 222 2 函数在 R 上的最小值为cxxy2c2 不等式的解集为 R12cxx 2 1 12cc 如果 P 正确，且 Q 不正确，则 2 1 0 c 如果 P 不正确，且 Q 正确，则1c 的取值范围为c), 1 2 1 , 0( 例 9 解关于的不等式：（且）xxx aa log31log0a1a 解：解：令tx a log 原不等式化为 *tt31 等价于 )3()3()1( )2(03 ) 1 (01 22 tt t t 由（3）得 即10 2 691ttt tt7 2 0 解得或（4）5t2t 由（1） 、 （2）得（5）31 t *的解为 21 t2log1x a 当时，1a 2 axa 当时，10 aaxa 2 综上，原不等式的解为时，1a), 2 aax 时，10 a,( 2 aax 例 10 解关于的不等式：x) 2 1 0( 2 5 2loglog2aax xa 解：解：由，得 2 5 2loglog2ax xa 2 5 log 1 log 2 2 x x a a 设，则式变为xy a2 log 2 51 y y 解得或 即或2y 2 1 0 y2log2x a 2 1 log0 2 x a 原不等式等价于或 2 1 0 a120 a 2 4 1 0 ax x x 12 1 0 xa x x 或120 a14 2 a 2 40ax 12 xa 当时，原不等式的解集为： 2 1 0 a) 1 ,2()4 , 0( 2 aa 【模拟试题模拟试题】 1. 已知，不等式对一切实数都成立，04|mmP|mQ 01 2 mxmxx 那么下列关系中成立的是（ ） A. B. C. D. QP QP QP QP 2. 不等式的解集为，则的值为 。0) 1( 2 bxabax21| xxba, 3. 不等式对任意实数都成立，则的取值范围是（ ）012) 1( 2 axaxxa A. 或 B. 或5a1a5a1a C. D. 51 a15a 4. 若不等式的解集为，求不等式的解集。0 2 baxx32| xx01 2 axbx 5. 若不等式组的整数解只有，试求的取值范围。 )2(05)25(2 ) 1 (02 2 2 kxkx xx 2k 6. 解关于的不等式。xa a aaxx 12 12 122 2 7. 解关于的不等式。x02) 12( 2 xaax 【试题答案试题答案】 1. A 2. 或 3. C 1 2 1 b a 2 1 b a 4. 提示：提示：的二根为 2，3 0 2 baxx 6)32( 532 b a 化为 01 2 axbx0156 2 xx 3 1 2 1 x 5. 解：由（1）得或 由（2）得2x1x0)(52(kxx 当， 2 5 k 2 5 xk 当， 2 5 kkx 2 5 当时，无解 2 5 kx 因为不等式组的整数解只有，则2 只有这种情况即 不等式组只有整数解 2 5 k kx xx 2 5 12或 2 则 32k23k 6. 解：0)1224122( 12 1 22 aaaaxx a 0)4)(6( 12 1 axax a 当时，原不等式的解集为0a46|axaxx或 当时，原不等式的解集为0a, 0|Rxxx 当时，原不等式的解集为0 2 1 a64|axaxx或 当时，不等式无意义 2 1 a 当时，原不等式的解集为 2 1 a46|axax 7. 解：（1）当时，原不等式化为 0a02 x2x （2）当时，原不等式化为（*）0a0)2)(1(xax 当时， （*）化为0a0)2)( 1 (x a x 当时， 2 1 0 a2 1 aa x 1 2 当时