高考数学高考合情推理题赏析苏教

高考合情推理题的五个途径例析合情推理包括归纳推理和类比推理，它作为一种重要推理的思维方式早已纳入新课标版的选修教材之中，并且广泛地应用于数学的各个学科领域，也亦成为近几年高考数学命题的热点与靓点，为更好的理解并掌握合情推理的有效途径，探讨研究高考数学命题的规律，本文拟以近几年涉及合情推理的部分高考试题为例，将蕴涵在高考试题中的合情推理的有效途径与方法归类解析如下，仅供参考： 一、归纳例1、已知，分别计算和值，由此概括出涉及函数和的对所有不等于零的实数都成立的一个等式，并加以证明。分析：先计算和的值，再归纳出一般结论进行证明：解：计算出；同理可以算得：，由这两个特殊情形的结论，进一步观察、猜想并类推，可以得出对所有不等于零的实数应都有的结论：；其证明过程如下：因为，所以。点评：本题在解答的过程中运用了合情推理中的“由特殊到一般”的归纳推理，这种推理方式得到结论不一定是正确的，一般来说得到的结论一定要加以逻辑证明，解答好这类问题要有较高的抽象、概括能力。例2、将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如右图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形。从莱布尼茨三角形可以看出：，其中 ，令，则 。分析：先令中的求出的值，再归纳证明：解：令中的可得：，当时，则，即，故或2；当时，则，即，故，由此可归纳出：；由于，所以，由此可得：，令，则，并将以上个式两边相加得：，所以。点评：本题在解答时，先通过对取特殊值，探求出的值与的值的关系规律，进而归纳出，从而为下一步运用裂项相消求极限排除了障碍，解答过程中运用了合情推理中的“由一般到特殊，再由特殊到一般”的思维模式进行归纳推理，进而使本题获解，解答好这类问题的关键是要有较高的抽象、概括能力。例3、在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个球，第2、3、4，一堆最底层（第一层）分别按图2所示方式固定摆放，从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则 ； （答案用表示）。分析：先对等个别情形计算，再进行归纳证明：解：从所给的图示可以看出：当时，；当时，；当时，这堆球就有三层，第3层有1个，第2层有3个，第1层应有6个，因此共有个，即；当时，应有，即；由此可归纳出第堆的乒乓球总数为：。点评：解答本题时，先通过计算得出时，乒乓球堆的总个数，然后以此特殊情形为基础进行抽象、概括、类比、归纳，探求出一般情形乒乓球堆的总个数的规律关系式，解答过程中运用了合情推理中的“由特殊到一般”的思维模式进行归纳推理，从而使本题获解，本题对抽象、概括、归纳、类比等推理能力的要求较高。二、升维例3、半径为的圆的面积为周长，若将看作上的变量，则，式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数；对于半径为的球，若将看作上的变量，请你写出类似于的式子 ，式可用语言叙述为 。分析：可对函数中的次数进行升幂，再概括总结和归纳：解：由于球的体积公式为，将看作上的变量，则是关于的函数，因此对其求导数可得类似于的式子是，不难看出 恰好是球的面积函数，即，故可用语言叙述为：球体积函数的导数等于球的面积函数。点评：本题为类比推理题，解答时依据圆的面积函数与周长函数之间的关系，“升维”类比出球的体积函数与面积函数之间的关系，从而获得问题的答案，解答好这类问题的关键要学会对同类问题进行联想，从而有效推出结论。例4、在平面几何里有勾股定理：“设的两边互相垂直，则。”拓展到空间类比平面几何里的勾股定理研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥的三个侧面两两互相垂直，则 。”分析：可将平面上的二维空间上升到三维的立体空间进行推证：解：依据题设的提示应有结论：。证明如下：如图2，过作的垂线垂足为，连，则，因，而，则，所以，故应填答案。点评：本题为类比推理题，解答时依据试题中的提示，将平面问题推广到空间中，从而“升维”类比出关于三棱锥的一个结论，从而使问题获解，解答好这类问题的关键要学会对同类问题进行联想、类比，进而有效推理论证得出结论。三、横向例5、在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地，在等比数列中，若，则有等式 成立。分析：可将等差数列的情形推广到等比数列的情形进行求解：解：等差数列与等比数列在横向上有很多可比的性质，类比上述等差数列，可得结论是：。推证过程是：在等差数列中，由得：，注意到，所以，即，又因，故 有=；若，同理可得：，由于等比数列与等差数列的差别在“积”与“和”，因此对等差数列的“和”横向类比到等比数列的“积”可以得到：在等比数列中，若，应有：，故填答案。点评：本题属类比推理题，由于等差数列与等比数列在横向上有很多可比的性质，如等差数列的项之间（或结果）的加减运算与等比数列相应的项之间（或结果）的乘除运算，等差数列中的“0”与等比数列中的“1”也具有可类比的对应关系。例6、设分别是椭圆的左、右两个焦点，(1)、若椭圆上点到两点的距离之和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标；(2)、若是上述椭圆上一动点，求线段的中点的轨迹方程；(3)、已知椭圆具有性质：若是上述椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点的位置无关的定值，试写出双曲线具有类似特性的性质并加以证明。分析：可将椭圆的问题结论推广到双曲线的情形中去论证：解：（1）、由椭圆的定义可得：，即，将及代入椭圆方程得：，即，故，则所求椭圆的方程为；其左、右两个焦点的坐标分别为；（2）、设动点，则的中点坐标为，则，注意到点在已知椭圆上，所以。（3）、类似特性的性质是：若是上述双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点的位置无关的定值。证明过程如下：设点，则，其中，又设点的坐标为，则，注意到，点在双曲线上，故，代入可得：，这就是说：与之积是与点的位置无关的定值。点评：本题属类比、探究、推理题，解答时借助椭圆、双曲线在横向上也具有许多相似的性质可以类比这一规律，大胆推测、探索，再用严格的逻辑证明验证了结论的正确，从而使问题获解，因此在解答与椭圆、双曲线有关的问题时，学会从横向上进行类比、联想、猜测、探究，可能会获得非常绝妙的效果。四、纵向例7、设函数的图像与直线及轴所围成的面积称为函数在区间上的面积。已知函数在区间上的面积为，则函数在区间上的面积为 。函数在区间上的面积为 。分析：将要求解的问题从纵向角度进行分析求解：解：、如图，解答时依据题设可知：当时，其面积为，故由函数图像的对称性可知函数在区间上的面积为，故应填答案；、如图2，作出函数的图像，则所求图形的面积应为直线及所成的矩形的面积再加上，即，故应填答案。点评：本题属结论探索推理型试题，试题以三角函数为背景，规定了“面积”概念的内涵，然后要求探求另外两种图形的面积，旨在考查学生的类比、探究、分析、比较、转化等数学思想与方法及合情推理的能力，从问题的设置来看，对试题从纵向进行拓展，加大了试题的梯度与思维的层次性、探究性，从而达到了考查学生类比、分析、转化及推理计算的能力之目的。例8、已知函数有如下性质：如果常数，那么函数在上是减函数，在上是增函数（1）如果函数的值域是，求；（2）研究函（常数）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后的函数的单调性（只须写出结论不必证明），并求函数（是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你研究得到的结论）。分析：可从函数的形式特征中纵向进行分析求解解：（1）因，故，即，则。（2）设，则，当时，即，故函数在区间上单调递减函数；当时，即，函数在区间上单调递增函数；又因函数是偶函数，故同理可证：函数在区间上是单调递减函数，函数在区间上是单调递增函数。（3）因，故函数和推广后的结论是：，当是奇数时，函数在区间及区间上单调递减函数；函数在区间及上是单调递增函数；当是偶数时，函数在区间及区间上单调递减函数；函数在区间及上是单调递增函数。又因函数，故函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，所以当时，函数（当且仅当取等号），即函数在处取最小值；当或时，函数取最大值，即函数在或处取最大值。点评：本题在解答时，借助题设给出的特殊情形，即对函数的指数从1，2的特殊数值，向一般情形（任意正整数）的纵深进行推广，从而达到了对观察、类比、归纳、探究等能力进行了有效的考查。本题以函数的单调性、最值为载体，以考查能力为主线精心设置问题情境，解答时拾阶而上，逐步深入，体现了高考以考查能力为宗旨的命题原则，是一道难得的好题。五、逆向例9、求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题。例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该四棱锥的体积”。求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求该四棱锥的侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求该四棱锥的所有侧面面积之和的最小值”。试给出问题“在平面直角坐标系中，求点到直线的距离”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题。分析：可从问题的逆向进行分析求解：解：因为点到直线的距离为，所以有意义的“逆向”问题可以是：（1）求到直线的距离为2的点的轨迹方程；解：设点是所求轨迹上的任意一点，则依据点到直线距离公式可得：，即，故所求点的轨迹方程为。（2）若点到直线的距离为2，求直线的方程。解：由题设及点到直线的距离公式可得：，化简整理得：，即或，又因，所以欲求直线的方程为或。意义不大的“逆向”问题可以是：（3）点是不是到直线的距离为2的一个点？解：因为，所以点是到直线的距离为2的一个点。（4）点是不是到直线的距离为2的一个点？解：因为，所以点不是到直线的距离为2的一个点。（5）点是不是到直线的距离为2的一个点？解：因为，所以点不是到直线的距离为2的一个点。点评：本题是一道