江苏无锡江阴四校高二数学期中理

2018-2019学年第二学期高二期中考试数学试题（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 计算：的值为 . 2. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的实部是 . 3. 已知，则= .4. 已知复数，其中为虚数单位，则的模是 . 5. 用反证法证明“a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，应假设 . 6. 用数学归纳法证明“对于的自然数都成立”时，第一步中的值应取 .7. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 种.8. 除以9的余数为 .9. 若，则的值为_.10. 已知不等式，照此规律总结出第个不等式为 .11. 在平面几何中，的内角平分线分所成线段的比（如图所示），把这个结论类比到空间：在三棱锥中（如图所示），面平分二面角且与相交于点，则得到的结论是_ .12. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为_.13. 把正整数排成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，则 .14. 三角形的周长为31，三边均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）已知复数是纯虚数. （1）求的值；（2）若复数，满足，求的最大值.16. （本小题满分14分）（1）设，求证：；（2）已知非零实数是公差不为零的等差数列，求证： 17. （本小题满分14分）从8名运动员中选4人参加4100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（1）甲、乙两人必须入选且跑中间两棒；（2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；（3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒；（4）甲不在第一棒.18. （本小题满分16分）已知在的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992.（1）求的值；（2）求展开式中的项；（3）求展开式中系数最大的项.19. （本小题满分16分）已知等差数列的公差d大于0，且是方程的两根，数列的前n项和为，且(1)求数列、的通项公式；(2)设数列的前n项和为,试比较与的大小，并用数学归纳法给予证明20. （本小题满分16分）已知.（1）设，求中含项的系数；（2）化简：；（3）证明：2018-2019学年第二学期高二期中考试数学试题（理科）答案一、填空：1. 15 2. 3. 4或6 4. 5. a，b都不能被5整除6. 5 7. 30 8. 9. 1 10. 11. 12. 420 13. 3974 14. 24二、解答题：15. 解:(1)复数是纯虚数.,计算得出.的值是1.8分(2)由(1)可以知道:.设.,.可以知道:,.的最大值为3.14分注：法二：用复数的几何意义16. （1）由4分因为所以所以7分（2）（反证法）假设，则 而 由，得，即，于是，这与非零实数成公差不为零的等差数列矛盾，故假设不成立，原命题结论成立，即成立14分17. 解：（1）60 3分(2)480 6分(3)180 10分(4)1470 14分（16分）（10分）（16分）（10分）1819. 解(1)由已知得因为an的公差大于0，所以a5a2，所以a23，a59.所以d2，a11，即an2n1. 2分因为Tn1bn，所以b1.当n2时，Tn11bn1，所以bnTnTn11bn1bn1，化简得bnbn1，所以bn是首项为，公比为的等比数列，即bnn1.所以an2n1，bn. 6分(2) 因为Snnn2，所以Sn1(n1)2，.下面比较与Sn1的大小：当n1时，S24，所以S2，当n2时，S39，所以S3，当n3时，S416，所以S5. 8分猜想：n4时，Sn1. 9分下面用数学归纳法证明：当n4时，已证假设当nk(kN*，k4)时，Sk1，即(k1)2， 10分那么，33(k1)23k26k3(k24k4)2k22k1 k24k4 =(k1)12S(k1)1 14分所以当nk1时，Sn1也成立由可知