江苏无锡第一中学高二数学期中理

江苏省无锡市第一中学2013-2014学年高二下学期期中考试数学（理）试题时间:120分钟 分值:160分一、 填空题：1若复数满足方程，则Z=_2 从5名同学中选出正副组长各1名，有 种不同的选法3 设f（x）=ax3+3x2+2,若f（1）=4,则a的值等于_ 4曲线y=x5+3x2+4x在x=1处的切线的倾斜角是_5函数f(x)=x3ax2bx+a2在x=1时,有极值10,则a、b的值为_6函数y=x2(x)图象上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是 _7函数f(x)=x33x+1,x3,0的最小值是_8 曲线y=x33x2+1在点（1，1）处的切线方程为_9设复数（为虚数单位），则的虚部是 _10在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 个。11平面内有n条直线，任两条直线不平行，任三条直线不共点，它们把平面划分成f（n）个互不相交的区域，则f（n）的表达式是 （用n表示） 12在ABC中，若ABAC，AC=b，AC=a，则ABC的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体SABC中，若SA、SB、SC两两垂直，SA=a，SB=b，SC=c，则四面体SABC的外接球半径R= 13利用数学归纳法证明“”，从n=k推导n=k+1时原等式的左边应增加的项是 14若关于x的方程kx+1=lnx有解，则实数k的取值范围是二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）用数学归纳法证明： 16(!4分)已知复数，为虚数单位（1）若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围；（2）若，求的共轭复数17（15分）己知下列三个方程 x2+4ax4a+3=0，x2+（a1）x+a2=0，x2+2ax2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围18(15分)4个男同学和3个女同学站成一排，（1）甲乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？(2)甲乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？（3）女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？（3个女生身高互不相等）19（16分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx在x=1处的切线方程为6x2y1=0，f（x）为f（x）的导函数，g（x）=aex（a，b，cR）（1）求b，c的值；（2）若存在x0（0，2，使g（x0）=f（x0）成立，求a的范围20.(16分)已知，其中是自然对数的底数，（1）当时，求的极值；（2）当时，求证：；（3）是否存在实数，使最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。答 案1i. 2。20 3 a=.。4 =. 5 6 0 或 7 f(x)min=17 8 y+1=3（x1） 9 -1 10192 11. ： 12 1314 二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）用数学归纳法证明：考点：数学归纳法专题：证明题分析：先证明n=1时，结论成立，再设当n=k（kN*）时，等式成立，利用假设证明n=k+1时，等式成立即可解答：证明：（1）当n=1时，左边=123=6，右边=左边，等式成立（2）设当n=k（kN*）时，等式成立，即 则当n=k+1时，左边=123+234+k（k+1）（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）n=k+1时，等式成立由（1）、（2）可知，原等式对于任意nN*成立点评：本题考查数学归纳法证明等式问题，证题的关键是利用归纳假设证明n=k+1时，等式成立，属于中档题16 z=-1+i17（15分）己知下列三个方程 x2+4ax4a+3=0，x2+（a1）x+a2=0，x2+2ax2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围考点：反证法与放缩法专题：计算题分析：至少有一个方程有实根的对立面是三个方程都没有根，由于正面解决此问题分类较多，而其对立面情况单一，故求解此类问题一般先假设没有一个方程有实数根，然后由根的判别式解得三方程都没有根的实数a的取值范围，其补集即为个方程 x2+4ax4a+3=0，x2+（a1）x+a2=0，x2+2ax2a=0至少有一个方程有实根成立的实数a的取值范围此种方法称为反证法解答：解：假设没有一个方程有实数根，则：16a24（34a）0（1）（a1）24a20（2）4a2+8a0（3）（5分）解之得：a1（10分）故三个方程至少有一个方程有实根的a的取值范围是：a|a1或a点评：本题考查反证法，解题时要合理地运用反证法的思想灵活转化问题，以达到简化解题的目的，在求解如本题这类存在性问题时，若发现正面的求解分类较繁，而其对立面情况较少，不妨如本题采取求其反而成立时的参数的取值范围，然后求此范围的补集，即得所求范围，本题中三个方程都是一元二次方程，故求解时注意根的判别式的运用18（1）甲乙两人先排好，有种排法，再从余下的5人中选3人排在甲乙两人中间，有种排法；这时把已排好的5人看作一个整体，与最后剩下得2人再排，又有种排法这时共有种不同排法。（2）先排甲、乙和丙3人以外的其他4人有种排法，由于甲乙要相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档中，有种排法，共有=960（种）不同排法。（3）从7个位置中选出4个位置把男生排好，有种排法；然后再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按高矮排列，故仅有一种排法，共有（种）不同排法。 19（16分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx在x=1处的切线方程为6x2y1=0，f（x）为f（x）的导函数，g（x）=aex（a，b，cR）（1）求b，c的值；（2）若存在x0（0，2，使g（x0）=f（x0）成立，求a的范围考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算；利用导数研究函数的极值专题：综合题分析：（1）由f（x）=3x2+2bx+c，知f（x）在x=1处的切线方程为y=（3+2b+c）x2b，故，由此能求出f（x）（2）若存在x0（0，2使成立，即方程g（x）=f（x）在（0，2上有解，故，令，则=，由此能求出a的取值范围解答：解：（1）f（x）=3x2+2bx+c，f（x）在x=1处的切线方程为y（1+b+c）=（3+2b+c）（x1），即y=（3+2b+c）x2b，即，（2）若存在x0（0，2使成立，即方程g（x）=f（x）在（0，2上有解，aex=3x23x+3，令，=，令h（x）=0，得x1=1，x2=2，列表讨论： x （0，1） 1 （1，2） 2 h（x） 0+ 0 h（x） 极小值 极大值h（x）有极小值h（1）=，h（x）有极大值h（2）=，且当x0时，h（x）3，a的取值范围是点评：本题考