江苏无锡第一中学高一数学期中

江苏省无锡市第一中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、单选题1.已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为（ ） A.2B.0C.0或2D.12.函数 的定义域为（ ） A.B.C.D.3.已知 满足 ，则 （ ） A.B.C.D.4.设 ， ， ，则 的大小关系是（ ） A.B.C.D.5.函数 的零点所在区间是 A.B.C.D.6.已知函数 与函数 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ，则 （ ） A.B.C.D.7.已知关于 的方程 的两个实根为 满足 则实数 的取值范围为（ ） A.B.C.D.8.已知函数 ，则 （ ） A.B.C.D.59.已知函数 ，关于 的性质，有以下四个推断： 的定义域是 ； 与 的值域相同； 是奇函数； 是区间 上的增函数.其中推断正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.410.性质 ；在 对任意 ，都有 .下列函数中，性质均满足的是（ ） A.B.C.D.二、填空题11.函数 的单调递增区间是（ ）A.B.C.D.12.已知一次函数 满足条件 ，则函数 的解析式为 _. 13.函数 的图象恒过定点 ， 在幂函数 的图象上，则 _. 14.已知函数 在 上单调递増，则 的取值范围是_. 15.若平面直角坐标系内两点P，Q满足条件：P，Q都在函数f(x)的图象上；P，Q关于原点对称，则称点对(P，Q)是函数f(x)的图象上的一个“友好点对”(点对(P，Q)与点对(Q，P)看作同一个“友好点对”)已知函数 ，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则实数 的取值范围是_. 三、解答题16.计算下列各式的值： （1） ； （2） . 17.已知集合 ， . （1）求 ； （2）若 ， ，求实数 的取值范围. 18.某旅游景点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元。根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆.规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金 元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用 表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所以自行车的总收入减去管理费用后的所得）. （1）求函数 的解析式及定义域； （2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？ 19.已知函数 ， ， . （1）当 时，求使 的函数值为0的自变量的值； （2）若 时，求 的最小值. 20.已知函数 是定义在 上的奇函数，满足 ，当 时，有 . （1）求实数 的值； （2）求函数 在区间 上的解析式，并利用定义证明证明其在该区间上的单调性； （3）解关于 的不等式 . 21.设函数 . （1）当 时，若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围； （2）若 为常数，且函数 在区间 上存在零点，求实数 的取值范围. 答案解析部分一、单选题 1.【答案】 B 【考点】集合关系中的参数取值问题 【解析】【解答】因为 ， ， ， 所以 .故答案为：B【分析】根据集合的包含关系得到实数m的值.2.【答案】 D 【考点】函数的定义域及其求法 【解析】【解答】要使原函数有意义，则 ，解得 ， 原函数的定义域为 ， 故答案为： 【分析】可看出，要使得原函数有意义，则需满足 ，解出 的范围即可3.【答案】 A 【考点】函数的值 【解析】【解答】 满足 ， f（1） 故答案为： 【分析】由 满足 ，利用 （1） ，能求出结果4.【答案】 A 【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点 【解析】【解答】因为 ， ， ， 所以 故答案为： 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得 ， ， 的大小关系5.【答案】 C 【考点】函数零点的判定定理 【解析】【解答】 在 上为增函数， 且 ， ， ， ， 的零点所在区间为 故答案为：C【分析】计算各区间端点的函数值，根据零点的存在性定理判断6.【答案】 B 【考点】函数奇偶性的性质 【解析】【解答】根据题意， ，则 ， 又由函数 与函数 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，则 ，故 （1） （1） ；故答案为： 【分析】根据题意，由函数的解析式可得 ，结合函数的奇偶性可得 （1） （1），即可得答案7.【答案】 D 【考点】二次函数的性质 【解析】【解答】设 , 根据二次方程实根分布可列式: ,即 ,即 ,解得: .故答案为：D.【分析】利用二次方程实根分布列式可解得.8.【答案】 A 【考点】函数的值 【解析】【解答】 ， ， ，故答案为：A.【分析】先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值9.【答案】 C 【考点】函数的定义域及其求法，函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断 【解析】【解答】根据题意，依次分析4个推断， 对于，函数 ，定义域是 ，所以正确；对于， 的图象向右平移一个单位得到 的图象，两者的值域相同，所以正确；对于， ， ，则 为奇函数，所以正确；对于， ，则 （1） ， ，有 （1） ，故 在区间 上不是增函数，则4个推断中有3个是正确的；故答案为： 【分析】对于，求函数的定义域再判断；对于，利用图象变换分析判断得解；对于，利用函数的奇偶性判断；对于，举出反例即可判断得解10.【答案】 D 【考点】函数奇偶性的判断 【解析】【解答】根据知 在 上为偶函数，根据知 在 上为减函数， 选项 的函数为非奇非偶函数， 错误；选项 的函数为奇函数， 错误；选项 的函数的定义域是 ，不是 ， 错误；排除选项 ， ， ， 正确故答案为： 【分析】根据可知 在 上为偶函数，选项 不是偶函数，选项 不是偶函数，选项 的定义域不是 ，从而排除选项 ， ， ，从而只能选 二、填空题 11.【答案】 A 【考点】复合函数的单调性，二次函数的性质 【解析】【解答】由题可得x2-3x+20，解得x1或x2， 由二次函数的性质和复合函数的单调性可得 函数 的单调递增区间为：（-，1） 故答案为：A【分析】由二次函数的性质和复合函数的单调性及函数的定义域可得结论12.【答案】【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】【解答】设 ， ， ， ，即 ， ，解可得， ， ，故答案为： 【分析】先设 ， ，然后根据 ，代入后根据对应系数相等可求 ， ，即可求解13.【答案】【考点】对数函数的单调性与特殊点 【解析】【解答】令 ， 所以 ，即 ；设 ，则 ， ；所以 ， 故答案为： 【分析】先求出点P的坐标，再代入幂函数 的解析式求得 ，即可得 （9）14.【答案】【考点】函数单调性的性质 【解析】【解答】由已知得反比例函数 在 上单调递增，需 ， 二次函数 在 上单调递增，则需对称轴 ，所以 ，同时当 时， ，解得 ，所以 ，故填： 。【分析】先确定二次函数 在 上单调递增，需 和反比例函数在上 单调递增，需 ，与此同时还需满足当 时，二次函数的函数值小于或等于反比例函数的函数值，从而得出 的取值范围。15.【答案】【考点】函数的图象 【解析】【解答】当 时，函数 关于原点对称的函数为 ，即 ， ， 若此函数的“友好点对”有且只有一对，则等价为函数 ， 与 ， ，只有一个交点，作出两个函数的图象如图：若 ，则 ， 与 ， ，只有一个交点，满足条件，当 时， ，若 ，要使两个函数只有一个交点，则满足 ，即 得 ，得 或 ， ， ，综上 或 ，即实数 的取值范围是 ， ， ，故答案为： ， ， ，【分析】根据原点对称的性质，求出当 时函数关于原点对称的函数，条件转化函数 ， 与 ， ，只有一个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合结合对数函数的性质进行求解即可三、解答题 16.【答案】 （1）解：原式 （2）解：原式 【考点】有理数指数幂的化简求值，对数的运算性质 【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出；（2）利用对数的运算性质即可得出17.【答案】 （1）解： ， ， （2）解： ，且 ， 或 ，解得 ， 实数 的取值范围为 【考点】集合关系中的参数取值问题，并集及其运算 【解析】【分析】（1）可以求出集合 ， ，然后进行并集的运算即可；（2）根据 即可得出 或 ，从而解出 的范围即可18.【答案】 （1）解：当 时， ，令 ，解得 ， ， ，且 当 时， 综上可知 （2）解：当 ，且 时， 是增函数， 当 时， 元当 ， 时， ， 当 时， 元综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元【考点】分段函数的应用 【解析】【分析】（1）函数 出租自行车的总收入 管理费；当 时，全部租出；当 时，每提高1元，租不出去的就增加3辆；所以要分段求出解析式；（2）由于函数解析式是分段函数，所以先在每一段内求出函数最大值，再比较得出函数的最大值19.【答案】 （1）解： ， ， ， （2）解： ， ， ， 设 ， ，当 时， （2） ；当 时， ，当 时， ，综上： 【考点】二次函数在闭区间上的最值 【解析】【分析】（1）解方程 得解；（2）换元后，化为一元二次函数在闭区间上的最小值问题，按照对称轴位于区间的右侧、中间、左侧分三类讨论即可20.【答案】 （1）解： 函数 是定义在 上的奇函数， ，即 ， ，又因为 （2） ，所以 （2） ，即 ，所以 ，综上可知 ， .经检验满足题意.（2）解：由（1）可知当 时， ， 当 时， ，且函数 是奇函数， ， 当 时，函数 的解析式为 ，任取 ， ，且 ，则 ， ， ，且 ， ， ， ，于是 ，即 ，故 在区间 上是单调增函数（3）解： 是定义在 上的奇函数，且 ， ，且 在 上是增函数， ，解得 ， 原不等式的解集为 【考点】函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的性质 【解析】【分析】（1）根据 是定义在 上的奇函数及 时的 解析式即可得出 ，并可求出 ，从而可得出 ，求出 ；（2）根据上面知， 时， ，从而可设 ，从而得出 ，从而得出 时， ，再根据函数单调性的定义即可判断 在 上的单调性.（3）不等式等价于 ，即 ，解不等式组即得解.21.【答案】 （1）解：当 时，若不等式 在 ， 上恒成立； 当 时，不等式恒成立，则 ；当 ，则 在 ， 上恒成立，即 在 ， 上恒成立，因为 在 ， 上单调增， ， ，则 ，解得， ；则实数 的取值范围为 ， ；（2）解：函数 在 ， 上存在零点，即方程 在 ， 上有解； 设 当 时，则 ， ， ，且 在 ， 上单调递增，所以 ， （2） ，则当 时，原方程有解，则 ；当 时， ，则 在 ， 上单调增，在 上单调减，在 ， 上单调增；当 ，即 时， （2） ， ，则当 时，原方程有解，则 ；当 ，即 时， ， ，