湖南衡阳第八中学高一数学上学期第三次月考

湖南省衡阳市第八中学2019-2020学年高一数学上学期第三次月考试题请注意：时量150分钟 满分150分一、单选题（每小题5分，共计60分）1已知，则=（ ）ABCD2下列结论中正确的是（ ）A半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球B直角三角形绕一直角边为轴旋转一周得到的旋转体是圆锥C夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体D用一个平面截圆锥底面与截面组成的部分是圆台3函数的零点所在的大致区间是（ ）A（2，3）B（3，4）C（4，5）D（5，6）4如图所示的是水平放置的三角形直观图，D是ABC中BC边上的一点，且D离B比D离C近，又ADy轴，那么原ABC的AB、AD、AC三条线段中（ ）A最长的是AB，最短的是AC B最长的是AC，最短的是ADC最长的是AD，最短的是AC D最长的是AB，最短的是AD5已知函数为奇函数,且当时, ,则（ ）A2B1C-2D-56在一个长方体中，已知，则从点沿表面到点的最短路程为（ ）ABCD157设函数，则函数的图像可能为（ ）A BC D8鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（ ）（容器壁的厚度忽略不计）ABCD9已知，则a的取值范围是（ ）ABCD10设，是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：（1）若，那么；（2）若，那么；（3）若，那么；（4）若，则,其中正确命题的序号是（ ）A（1）（2）B（2）（3）C（1）（3）D（2）（4）11函数的定义域为D，若存在闭区间 ,使得函数同时满足:（1）在内是单调函数；（2）在上的值域为,则称区间为的“倍值区间”.下列函数：；.其中存在“3倍值区间”的有（ ）ABCD12如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）ABCD2、 填空题（每小题5分，共计20分）13求值： .14已知三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PAPBPC2，PAPB，则三棱锥PABC的外接球的体积为 .15设常数，则方程的解的个数组成的集合是 .16在矩形ABCD中，ABBC，现将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直；存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直其中正确结论的序号是_三、解答题（第17题10分，18-22每小题12分，共计70分）17（10分）已知集合，集合（1）当时，求，；（2）若，求a的取值范围.18（12分）如图所示，有一块矩形铁皮ABCD，剪下一个半圆面作圆锥的侧面，余下的铁皮内剪下一个与其相切的圆面，恰好作为圆锥的底面.试求：（1）矩形铁皮AD的长度；（2）做成的圆锥体的体积.19（12分）如图三棱柱中且，底面ABC是边长为2的等边三角形，点D是的中点.（1）求证： 平面；（2）求异面直线与所成角的大小.20（12分）某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备。已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益万元与每月垃圾处理量x（万吨）满足如下关系：（注：总收益=总成本+利润）（1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润关于每月垃圾处理量x的函数关系；（2）该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润.21（12分）已知四边形ABCD是正方形，BF平面ABCD，DE平面ABCD，M为棱AE的中点（1）求证：AE平面CMF；（2）求直线BM与平面ABCD所成角的正切值.22（12分）已知函数的定义域为R，且存在实常数a，使得对于定义域内任意x，都有成立，则称此函数具有“性质”（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，则求出a的值；若不具有“性质”，请说明理由；（2）已知函数具有“性质”且函数在R上的最小值为2；当时，求函数在区间上的值域；（3）已知函数既具有“性质”，又具有“性质”，且当时，若函数，在恰好存在2个零点，求b的取值范围.高一第3次月考数学试卷参考答案1 C因为，则AB2 B因为半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，故A错误；当以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转时，其余各边旋转形成的面所围成的几何体是圆锥，故B正确；当两个平行截面不平行于上、下两个底面时，两个平行截面间的几何体不是旋转体，故C错误；圆锥的截面不与底面平行时，圆锥底面与截面组成的部分不是圆台，故D错误.3 B因为函数解析式为，则，所以，即零点所在的大致区间为（3，4）4 B由题意得到原ABC的平面图为：其中，ADBC，BDDC，所以ACABAD，所以ABC的AB、AC、AD三条线段中最长的是AC，最短的是AD5D因为是奇函数，所以.6C将长方体展开共三种情况如下：（1）：；（2）：；（3）：，所以从点沿表面到点的最短路程为.7D定义域为：，函数为偶函数，排除； ，排除 .8D由题意知，当该球为底面边长分别为、，高为的长方体的外接球时，球的半径取最小值，所以，该球形容器的半径的最小值为，因此，该球形容器的表面积的最小值为.9C由题意知，得：，即函数为增函数又因为，所以得.10C对于（1）如果,根据直线与平面垂直的性质可知,所以（1）正确；对于（2）如果,根据线面垂直与线面平行性质可知或或,所以（2）错误；对于（3）如果,根据直线与平面平行的判定可知,所以（3）正确；对于（4） 设平面、是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有且，但是，推不出，故（4）不正确.11B对于，函数为增函数，若函数存在“3倍值区间”，则，由图象可得方程无解，故函数不存在“3倍值区间”；对于，函数 为减函数，若存在“3倍值区间”，则有得：例如：所以函数存在“3倍值区间”；对于，若函数存在“3倍值区间”，则有，解得所以函数函数存在“3倍值区间”；对于，当时，当时，从而可得函数在区间上单调递增若函数存在“3倍值区间”，且，则有，无解所以函数不存在“3倍值区间”12C如下图所示，分别取棱的中点M、N，连MN，分别为所在棱的中点，则，MNEF，又MN平面AEF，EF平面AEF，MN平面AEF，四边形为平行四边形，又平面AEF，AE平面AEF，平面AEF，又，平面平面AEFP是侧面内一点，且平面AEF，点P必在线段MN上在中，同理，在中，可得，为等腰三角形当点P为MN中点O时，此时最短；点P位于M、N处时，最长，线段长度的取值范围是132 运算如下：14 如图所示：三棱锥PABC，为正方体所截得的三棱锥所以三棱锥PABC的外接球，即为正方体的外接球，则其外接球半径为所以外接球的体积为：15 由题意得： ，设，在直角坐标系中分别画，的图象，如图所示： 所以方程解的个数可能为1个或2个或3个.故答案为：.16假设ADBC，CDBC，BC平面ACD，BCAC，即ABC为直角三角形，且AB为斜边，而ABBC，故矛盾，假设不成立，不正确假设AC与BD垂直，过点A作AEBD于E，连接CE.则BD平面AECBDCE，而在平面BCD中，CE与BD不垂直，故假设不成立，不正确假设ABCD，ABAD，AB平面ACD，ABAC，由ABBC可知，存在这样的等腰直角三角形，使ABCD，故假设成立，正确17解：（1）由题意可得：， 1分当时， 2分 4分（2）由（1）可得：， 5分得 7分 9分即a的取值范为： 10分18 解：如图所示：取半圆的圆心记作O点，圆面的圆心记作O，作OEAD交AD于点E，设圆锥底面半径为，圆锥母线长为,则：， 2分（1） 在RtOOE中，由勾股定理可得： 4分 6分（2）由（1）可得：圆锥的母线长，底面半径， 8分则圆锥的高为： 10分圆锥的体积为： 12分19 解：连接交于点O，连接DO 1分 （1）证明：在三棱柱中得：点O为的中点，又点D是的中点，即DO为的中位线 2分DO/ 3分又， 5分 平面 6分（2）由（1）可得：/DO又 7分异面直线与所成角为直线DO与所成的角即为： 9分又 10分由几何关系可得： 11分在BOD中：即异面直线与所成角度为： 12分20 解：由题意可得：（1） 5分（2）由（1）可得：当时， 6分当时，； 8分当时，为减函数，则 10分当时，每台设备每月处理垃圾所获利润最大 11分最大利润为：（万元） 12分21 解：如图所示：连接CE、AC、DB 1分（1）证明：四边形ABCD是正方形，且 即CAE为等腰三角形又M为棱AE的中点，得：AECM 2分BF平面ABCD，DE平面ABCD，得：ED/FB又，则四边形BDEF为平行四边形又正方形ABCD，即AEF为等腰三角形AEMF 3分又AECM， 4分AE平面CMF 5分（2）取AD的中点N，连接MN、BN 6分点M、N分别为AE、AD的中点MN为ADE的中位线MN/DE 7分又DE平面ABCDMN平面ABCD 8分MN为斜线BM过点M向平面ABCD的一条垂线，垂足为点N，则斜线BM在平面ABCD内的射影为BN，直线BM与平面ABCD所成角为，设 10分由几何关系可得： 11分在中得： 12分22 解：（1）假设具