湖南衡阳八中高二数学期期末考试理

湖南省衡阳市八中2018-2019学年高二数学下学期期期末考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】图中阴影部分所表示的集合中的元素除去集合B中的元素构成的集合，故图中阴影部分所表示的集合是，故选A.2.已知双曲线与椭圆：有共同的焦点，它们的离心率之和为，则双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. -【答案】C【解析】【分析】由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案【详解】由椭圆，得，则，双曲线与椭圆的焦点坐标为，椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为设双曲线的实半轴长为m，则，得，则虚半轴长，双曲线的方程是故选：C【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题3.在复平面内，复数，则对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】化简复数，计算，再计算对应点的象限.【详解】复数对应点为： 故答案选A【点睛】本题考查了复数的计算，共轭复数，复数对应点象限，意在考查学生的计算能力.4.已知点为抛物线： 的焦点. 若过点的直线交抛物线于，两点， 交该抛物线的准线于点，且，则（ ）A. B. 0C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】将长度利用相似转换为坐标关系，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理求得答案.【详解】易知：焦点坐标为，设直线方程为： 如图利用和 相似得到：，【点睛】本题考查了抛物线与直线的关系，相似，意在考查学生的计算能力.5.已知的展开式中的系数为 5，则（ ）A. 4B. 3C. 2D. -1【答案】D【解析】【分析】将化简为：分别计算的系数，相加为5解得.【详解】中的系数为： 的系数为： 的系数为： 故答案选D【点睛】本题考查了二项式定理的计算，分成两种情况简化了计算.6.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指孙子算经 中记载的算筹. 古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算， 算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把 各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示， 十位、千位、十万位用横式表示， 以此类推例如 8455 用算筹表示就是，则以下用算筹表示的四位数正确的为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意直接判断即可.【详解】根据“各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示”的原则，只有C符合，故选C.【点睛】本题主要考查合情推理，属于基础题型.7.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：函数，的图象上所有点向左平移个单位长度得，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得，选B.考点：三角函数图像变换8.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】取特殊值排除选项得到答案.【详解】取，排除C取，排除BD故答案选A【点睛】本题考查了函数的图像，通过特殊值排除可以简化计算.9.某锥体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积最小值为（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面积最小，计算得到答案.【详解】锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面积最小 故答案选B【点睛】本题考查了锥体的体积，判断底面是等腰直角三角形是解题的关键.10.已知函数，若只有一个极值点，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，令，解得或，令，利用导数研究其单调性、极值，得出结论.详解】，令，解得或，令，可得，当时，函数取得极小值，所以当时，令，解得，此时函数 只有一个极值点，当时，此时函数 只有一个极值点1，满足题意，当时不满足条件，舍去.综上可得实数的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数单调性与极值、方程与不等式的解法、分类讨论思想，属于难题.11.已知高为正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，若二面角的正切值为 4 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】过作平面于，为中点，连接.证明面角的平面角为,计算得到,通过勾股定理计算得到答案.【详解】如图：正三棱锥，过作平面于，为中点，连接.易知：为中点二面角的平面角为 正切值为4 在中，根据勾股定理： 故答案选D【点睛】本题考查了三棱锥的外接球，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.12.已知实数，满足约束条件，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点处取得最大值，在点或点处取得最小值，即题中的不等式即：，则：恒成立，原问题转化为求解函数的最小值，整理函数的解析式有：，令，则，令，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，据此可得，当时，函数取得最大值，则此时函数取得最小值，最小值为：综上可得，实数的最大值为本题选择A选项【方法点睛】本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值若等号不成立，则利用对勾函数的单调性解决问题二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 把答案填在答题卡中的横线上）13.已知向量，若 ，则 _【答案】【解析】【分析】由得到，计算得到答案.【详解】已知向量，若所以答案为：【点睛】本题考查了向量的计算，将条件转化为是解题的关键.14.设，则a，b，c的大小关系用“”连接为_【答案】【解析】【分析】分别判断出，从而得到三者大小关系.【详解】，则的大小关系用“”连接为本题正确结果：【点睛】本题考查指对数比较大小类的问题，解决此类问题的方法主要有两种：1.构造合适的函数模型，利用单调性判断；2.利用临界值进行区分.15.某细胞集团，每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，经过8小时后该细胞集团共有772个细胞，则最初有细胞_个.【答案】7.【解析】【分析】设开始有细胞a个，利用细胞生长规律计算经过1小时、2小时后的细胞数，找出规律，得到经过8小时后的细胞数，根据条件列式求解.【详解】设最初有细胞a个，因为每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，所以经过1个小时细胞有，经过2个小时细胞有=，经过8个小时细胞有，又，所以，.故答案为7.【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，找出规律、构造数列是解题关键，考查阅读理解能力及建模能力，属于基础题.16.如图所示，在三棱锥中，若，是的中点，则下列命题中正确的是_(填序号) 平面平面； 平面平面；平面平面，且平面平面； 平面平面，且平面平面.【答案】【解析】【分析】由AB=BC，AD=CD，说明对棱垂直，推出平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDE，即可得出结论【详解】因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE因为AC在平面ABC内，所以平面ABC平面BDE又由于AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE，故答案为：【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（一）必考题：60 分17.已知在中，角、的对边分别是、，且（1）求角的大小；（2）若的面积，求的值【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据同角三角函数关系得到2（1cos2A）3cosA=0，解出角A的余弦值，进而得到角A；（2）根据三角形的面积公式和余弦定理得到a=，再结合正弦定理得到最终结果.【详解】（1）在ABC中2sin2A+3cos（B+C）=0，2（1cos2A）3cosA=0，解得cosA=，或cosA=2（舍去），0A，A=；（2）ABC的面积S=bcsinA=bc=5，bc=20，再由c=4可得b=5，故b+c=9，由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA=（b+c）23bc=21，a= ， sinB+sinCsinB+sinC的值是.【点睛】这个题目考查了同角三角函数的化简求值，考查了三角形面积公式和正余弦定理的应用，解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18.如图，在四棱锥中，底面为菱形，且.（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析； （2）.【解析】【分析】（1）先根据计算得线线线线垂直，再根据线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得结论，（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角.【详解】（1）证明：取中点，连结，因为底面为菱形，所以 因为为的中点，所以 在中， 为的中点，所以设,则，因为，所以 在中，为的中点，所以在 和 中，因为，所以 所以所以 因为，平面，平面，所以平面因为平面，所以平面平面 （2）因为，平面，平面，所以平面所以 由（1）得，所以，所在的直线两两互相垂直以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系 设，则， 所以，设平面的法向量为，则 令，则，所以 设平面的法向量为，则 令，则，所以设二面角为，由于为锐角，所以 所以二面角的余弦值为 【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.19.已知椭圆:的离心率，过椭圆的上顶点和右顶点的直线与原点的距离为，（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线经过椭圆左焦点与椭圆交于,两点，使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在,求出直线方程；若不存在,请说明理由.【答案】（1）；（2），或.【解析】试题分析：（1）由题意，根据离心率定义得到与的关系式，再由点求出直线的方程，根据点到直线距离公式，得到与的关系式，再结合，从而得出椭圆方程；（2）根据题意，可将直线斜率存在与否进行分类讨论，由“线段为直径”，得，再利用向量数量积的坐标运算，从而解决问题.试题解析：（1）由已知得，因为过椭圆的上顶点和右顶点的直线与原点的距离为，所以 ，解得 故所求椭圆的方程:（2）椭圆左焦点，当直线斜率不存在时，直线与椭圆交于两点，显然不存在满足条件的直线.6分当直线斜率存在时，设直线 联立，消得， 由于直线经过椭圆左焦点，所以直线必定与椭圆有两个交点，恒成立设则， 若以为直径的圆过点，则，即 (*)而，代入(*)式得， 即，解得，即或所以存在或使得以线段MN为直径的圆过原点故所求的直线方程为，或.20.已知函数.（1）若在点处的切线方程为,求的值;（2）若是函数的两个极值点,试比较与的大小.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）先求得切点的坐标，然后利用切点和斜率列方程组，解方程组求得的值.（2）将转化为只含有的式子.对函数求导，利用二次函数零点分布的知识求得的取值范围并利用韦达定理写出的关系式.化简的表达式，并利用构造函数法求得.用差比较法比较出与的大小关系.【详解】（1）根据题意可求得切点为,由题意可得,即,解得.（2）,则.根据题意可得在上有两个不同的根.即,解得,且.令,则,令,则当时,在上为减函数,即,在上为减函数,即,又,即,.【点睛】本小题主要考查利用导数求解有关切线方程的问题，考查利用导数研究函数的极值点问题，难度较大.21.某饮料公司根据市场调查数据分析得到以下结果：如果某款饮料年库存积压率低于千分之一，则该款饮料为畅销产品，可以继续大量生产. 如果年库存积压率高于千分之一，则说明需要调整生产计划. 现公司 20132018 年的某款饮料生产，年销售利润及年库存积压相关数据如下表所示：年份201320142015201620172018年生产件数（千万件）3568911年销售利润（千万元）2240486882100年库存积压件数（千件）295830907580注：（1）从公司 20132018 年的相关数据中任意选取 2 年的数据，求该款饮料这 2 年中至少有 1 年畅销的概率.（2）公司根据上表计算出年销售利润与年生产件数的线性回归方程为.现公司计划 2019 年生产 11 千万件该款饮料，且预计 2019 年可获利 108 千万元. 但销售部 门发现，若用预计的 2019 年的数据与 20132018 年中畅销年份的数据重新建立回归方程， 再通过两个线性回归方程计算出来的 2019 年年销售利润误差不超过 4 千万元，该款饮料的 年库存积压率可低于千分之一. 如果你是决策者，你认为 2019 年的生产和销售计划是否需要调整？请说明理由.【答案】（1）；（2）不需要调整.【解析】【分析】（1）计算出每年的年度库存积压率，可知13，15，17，18年畅销，14，16年不畅销；列举出所有年份中任取2年的取法共15种，其中2年均为不畅销的取法仅有1种，故根据古典型及对立事件的概率可求得结果；2）数据重组后依据公式计算出新的回归直线方程，并求出2019年的年销售利润预估值；再计算出原回归直线方程的2019年的年销售利润预估值，可知两值相差3.66千万元，由此可得结论【详解】（1）公司2013-2018年年度存积压率分别为：，则该饮品在13，15，17，18年畅销记，14，16年不畅销记为，任取2年的取法有：，共15种.其中2年均不畅销的取法是，共1种该款饮料这年中至少有1年畅销的概率为：（2）由题意得，2019年数据与2013，2015，2017，2018年数据重组如下表：年份20132015201720182019年生产件数（千万件）3691111年销售利润（千万元）224882100108经计算得，当时，此时预估