湖南郴州高三数学第二次教学质量监测文

湖南省郴州市2019届高三数学第二次教学质量监测试题 文（含解析）第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则的元素个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】集合中的元素为，得到，可得其元素个数.【详解】，即中的元素个数为3.故选D项.【点睛】考查自然数定义，集合的运算，属于简单题.2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算得到，进而得到对应的点坐标.【详解】复数满足，,对应点为，在第一象限.故答案为：A.【点睛】在复平面上，点和复数 一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何意义复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了3.已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（ ）A. 240，18B. 200，20C. 240，20D. 200，18【答案】A【解析】【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数【详解】样本容量为：（150+250+400）30%240，抽取的户主对四居室满意的人数为：故选：A【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用4.函数的部分图像大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性，排除不可能选项，对剩余选项进行取值，通过判断正负得到正确答案.【详解】，定义域为，可得所以是奇函数，排除B、D两项。当时，显然有，所以排除C项，故选A.【点睛】考查函数奇偶性，函数特殊点的正负，内容比较基础，属于简单题.5.已知等差数列的前项和为，且，则（ ）A. 170B. 190C. 180D. 189【答案】B【解析】【分析】把条件转化成等差数列的基本量，即和，根据条件列出方程组，解出和，利用等差数列求和公式可得答案.【详解】设等差数列的首项为，公差为，解得故选B项.【点睛】等差数列通项和求和公式的考查，考查内容比较单一，综合性不高，属于简单题.6.双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，得到关系，然后得到关系，再求解双曲线的离心率【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：，圆的圆心，半径为，双曲线的渐近线与圆相切，整理得，由，可得所以，选B项【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力难度不大，属于简单题.7.在中，点满足，则等于（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】A【解析】【分析】把用表示出来，带入，通过向量的数量积公式，可得到相应答案.【详解】在中， ，选A项.【点睛】三角形内向量之间的互相表示，向量的数量积，难度不大，属于简单题.8.下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图得到原图是，边长为2的正方体，挖掉八分之一的球，以正方体其中一个顶点为球的球心。【详解】根据三视图得到原图是，边长为2的正方体，挖掉八分之一的球，以正方体其中一个顶点为球的球心，故剩余的体积为： 故答案为：B.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.9.已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据奇偶函数的性质求出，再根据，可得，结合，求出的范围【详解】是定义在上的偶函数，在上为增函数，函数在上为增函数，故函数在上为减函数，则由，可得，即，求得因为定义域为，所以，解得综上，故选：B【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的相关性质，有一定的综合性，属于中档题10.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果是（ ）A. -2018B. 2018C. 1009D. -1009【答案】D【解析】【分析】根据程序框图，依次进入循环，直到不满足判断框的条件为止.【详解】根据程序框图得到，S=0,n=1，满足判断框的条件，进入循环S=0+1,n=2, 满足判断框的条件，进入循环S=0+1-2，n=3, 满足判断框的条件，进入循环S=0+1-2+3,n=4, 满足判断框的条件，进入循环S=1-2+3-4+5-6.-2016+2017,n=2018, 满足判断框的条件，进入循环S=1-2+3-4+5-6.-2016+2017-2018,n=2018,不满足判断框的条件，退出循环，输出s值得到S=1-2+3-4+5-6.-2016+2017-2018=-1009.故答案为：D.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题11.已知实数满足：，若取得最小值的最优解有无数个，则实数的值是（ ）A. -1B. 4C. -1或D. -1或4【答案】D【解析】【分析】根据限制条件画出可行域，将目标函数变成斜截式，由取得最小值的最优解有无数个，可得直线与或者平行，得到的值.【详解】由限制条件画出可行域，如图可行域为内部区域（含边界），由可得，即为直线的截距，要求的最小值，则截距取得最大值，为.要使其最优解有无数个，则需与直线或重合，则或，故选D项【点睛】线性规划的常规题目，充分理解最优解有无数个的含义，难度不大，属于基础题目.12.已知函数，若函数至少有一个零点，则取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可得，将等式两边看成两个函数，数形结合，通过两个函数的图像，满足这两个函数至少有一个交点，从而得到的取值范围.【详解】令可得即函数，其图像为过点的一条直线，其图像为圆心在原点，半径为1的，上半圆，由图像可知，过点的直线与上半圆至少有一个交点需要满足直线与圆相交或相切.相切时，由，解得，因为与上半圆相切，所以所以的取值范围为【点睛】考查函数零点与交点之间的转化，数形结合的思想，难度适中，属于中档题.第卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题第（23）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数，则_【答案】【解析】【分析】将带入，得到的值，再带入得到，由内而外，依次得到答案.【详解】【点睛】本题考查函数的求值问题，难度不大，属于简单题.14.曲线在点处的切线的方程为_【答案】【解析】【分析】对求导，带入得到斜率，通过点斜式得到切线方程，再整理成一般式得到答案.【详解】带入得切线的斜率，切线方程为，整理得【点睛】本题考查导数的几何意义，通过求导求出切线的斜率，再由斜率和切点写出切线方程.难度不大，属于简单题.15.已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为，离心率为，则椭圆的方程为_【答案】【解析】【分析】椭圆上的点到焦点最小距离，离心率，列出方程，求出，可得椭圆的方程【详解】椭圆上一点到焦点的最小距离为，离心率，解得，所求的椭圆方程 【点睛】本题考查椭圆上的点到焦点的距离，离心率等椭圆内的常规内容，难度不大，属于简单题.16.已知数列和满足，若数列为等比数列，且，.则数列的前项和_【答案】【解析】【分析】为等比数列，可得到的通项，再由，可以得到的通项公式，从而得到的通项，再由裂项求和求出其前项和.【详解】为等比数列，且， 其公比，的前项和【点睛】本题是数列的综合性题目，涉及到的数列的知识点较多，但每个知识点的难度不大，要在每步进行正确的转化即可，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知、分别是内角、的对边，（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）对给出的进行边化角.得到和的关系，再由正弦定理得到和的关系.（2）由得到，由（1）得到的关系和余弦定理求出，再由面积公式求出的面积.【详解】（1）由及正弦定理得因为、是内角，所以所以,再由正弦定理可得 （2）由（1）知且为的内角又由余弦定理得，即又【点睛】正弦定理、余弦定理、面积公式的应用，是解三角形章内综合题，难度不大，属于简单题.18.如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，对角线与交于点，侧面是边长为2的等边三角形，为的中点.（1）证明：平面；（2）若侧面底面，求点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用线线平行，证明线面平行，所以可以通过证明，而平面，平面，从而证得平面。（2）利用换底的方法求几何体的体积，根据线线垂直，可以得到线面垂直，从而找出几何体的高，再根据等体积转化，从而求出点到面的距离.【详解】（1）连接，易证为的中位线，所以.又平面，平面，平面.（2）平面底面，平面平面，平面在中，又 设点到面的距离为点到面的距离为【点睛】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，基本定理的应用，利用等体积转化求高.19.研究机构对某校学生往返校时间的统计资料表明：该校学生居住地到学校的距离（单位：千米）和学生花费在上学路上的时间（单位：分钟）有如下的统计资料：到学校的距离（千米）1.82.63.14.35.56.1花费的时间（分钟）17.819.627.531.336.043.2如果统计资料表明与有线性相关关系，试求：（1）判断与是否有很强的线性相关性？（相关系数的绝对值大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性，精确到0.01）（2）求线性回归方程（精确到0.01）；（3）将分钟的时间数据称为美丽数据，现从这6个时间数据中任取2个，求抽取的2个数据全部为美丽数据的概率.参考数据：，参考公式：，【答案】（1）与有很强的线性相关性；（2）；（3）【解析】【分析】（1）通过计算线性相关系数可得答案；（2）根据题意写出统计表，用统计表中的数据求出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数、，写出线性回归方程；（3）根据（2）中求出的线性回归方程，求出符合要求的数据个数，再列出全部情况，由古典概型的公式，求出所求概率.【详解】（1）与有很强的线性相关性（2）依题意得，所以又因为故线性回归方程为（3）由（2）可知，当时，当时，所以满足分钟的美丽数据共有3个，设3个美丽数据为、，另3个不是美丽数据为、，则从6个数据中任取2个共有15种情况，即，其中，抽取到的数据全部为美丽数据的有3种情况，即，.所以从这6个数据中任取2个，抽取的2个数据全部为美丽数据的概率为【点睛】线性回归方程的简单求解，与古典概型相结合，题目难度不大，对计算能力要求较高，属于中档题目.20.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点（1）若以，为直径的圆的方程为，求抛物线的标准方程；（2）过，分别作抛物线的切线，证明：，的交点在定直线上.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）由抛物线的定义求出，可得抛物线方程（2）利用导数求出过、两点的切线方程，并求出其交点.再由直线与抛物线联立得到、两点的坐标关系.带入交点坐标，可得所求定直线.【详解】（1）设中点为,到准线的距离为，到准线的距离为，到准线的距离为.则由抛物线的定义可知，,所以由梯形中位线可得所以，而，所以，可得抛物线（2）设，由得则所以直线方程为，直线方程为联立得，即，交点坐标为因为过焦点所以设直线方程为代入抛物线中得所以所以，的交点在定直线上【点睛】本题考查抛物线的定义，以及圆锥曲线当中定点定值的求法.题目较综合，对计算量的要求比较高，属于中档题目.21.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）对求导，得到导函数等于0时的两根，然后对两根的大小以及结合的正负进行分类讨论，得到导函数值的正负，然后得到原函数的单调区间（2）对恒成立问题进行参变分离，得到，即求不等号右边函数的最小值，从而得到的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，1）当时，所以函数在单调递减，在单调递增；2）当时，且方程有两根-1，；当时，所以函数在单调递减、在，单调递增；当时，所以函数在，单调递减、在单调递增.综上，当时，函数在单调递减、在单调递增；当时，函数在单调递减、在，单调递增；当时，函数在，单调递减、在单调递增.（2）函数恒成立，即，即，设函数，则，令，解得，所以函数在单调递减，在单调递增，所以函数的最小值所以所以的取值范围是【点睛】通过求导得到函数的单调区间，分类讨论的数学思想，恒成立问题利用参变分离求参数的范围.题目综合程度高，对计算的要求也比较高，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.已知极坐标系中，点，曲线的极坐标方程为，点在曲线上运动，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线