湖南郴州高三数学第二次教学质量监测理

郴州市2019届高三第二次教学质量监测试卷数学（理科）第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据对数不等式得到集合N的元素，再由集合的补集得到 ，再根据集合的交集得到结果.【详解】集合，解不等式得到 全集， ，根据集合的交集得到结果为：.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了集合的交集和补集的计算，题目比较简单.2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算得到，进而得到对应的点坐标.【详解】复数满足，,对应点为，在第一象限.故答案为：A.【点睛】在复平面上，点和复数 一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何意义复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了3.已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（ ）A. 240，18B. 200，20C. 240，20D. 200，18【答案】A【解析】【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数【详解】样本容量为：（150+250+400）30%240，抽取的户主对四居室满意的人数为：故选：A【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用4.已知函数，则（ ）A. B. C. 1D. 7【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的解析式得到，将x=1代入解析式第一段即可得到答案.【详解】函数，则故答案为：C.【点睛】解决分段函数求值问题的策略:(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决;(3)求f(f(f(a)的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则。5.在中，点满足，则等于（ ）A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】D【解析】【分析】根据平面向量运算的三角形法则以及平面向量基本定理得到 ，再由向量的点积运算得到结果.【详解】根据平面向量的三角形法则以及平面向量基本定理得到 故答案为：D.【点睛】这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的点积运算。解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。6.若实数满足，如果目标函数的最大值为3，则实数的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，由图像得到目标函数的最值.【详解】根据不等式组画出可行域得到：目标函数,变形为：，根据图像得到当目标函数过直线和的交点时，取得最大值，交点坐标为代入得到 故答案为：A.【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域;(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）;(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解;(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.7.下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图得到原图是，边长为2的正方体，挖掉八分之一的球，以正方体其中一个顶点为球的球心。【详解】根据三视图得到原图是，边长为2的正方体，挖掉八分之一的球，以正方体其中一个顶点为球的球心，故剩余的体积为： 故答案为：B.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果是（ ）A. -2018B. 2018C. 1009D. -1009【答案】D【解析】【分析】根据程序框图，依次进入循环，直到不满足判断框的条件为止.【详解】根据程序框图得到，S=0,n=1，满足判断框的条件，进入循环S=0+1,n=2, 满足判断框的条件，进入循环S=0+1-2，n=3, 满足判断框的条件，进入循环S=0+1-2+3,n=4, 满足判断框的条件，进入循环S=1-2+3-4+5-6.-2016+2017,n=2018, 满足判断框的条件，进入循环S=1-2+3-4+5-6.-2016+2017-2018,n=2018,不满足判断框的条件，退出循环，输出s值得到S=1-2+3-4+5-6.-2016+2017-2018=-1009.故答案为：D.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题9.已知点在抛物线的准线上，为的焦点，过点的直线与相切于点，则的面积为（ ）A. 1B. 2C. D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题中条件可得到抛物线方程，由直线和抛物线相切得到切点N的坐标，进而求得面积.【详解】点在抛物线的准线上,可得到p=2,方程为：，切点N（x,y）,满足，过点的直线设为和抛物线联立得到，取k=1,此时方程为 的面积为: 故答案为：B.【点睛】这个题目考查了直线和抛物线的位置关系，当直线和抛物线相切时，可以联立直线和抛物线，使得判别式等于0，也可以设出切点坐标求导得到该点处的斜率.10.已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的两角和差公式得到 ，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果.【详解】函数 则函数的最大值为2，存在实数，使得对任意实数总有成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即 故答案为：B.【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.11.已知 ，若，且使的最大值为，（，），则的最小值为（ ）A. 4B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据集合A和B得到集合元素所表示的区域，z表示的是点P（x,y）到点的距离的平方，再减去6，减去a，根据圆的几何意义得到点P（x,y）到点的距离的最小值是点到圆心的距离再加半径，列出式子，最终根据均值得到结果.【详解】根据集合A和B得到两个集合的元素，指的是如下图所示的阴影部分所包含的点， 表示的是点P（x,y）到点的距离的平方，再减去6，减去a,根据圆的几何意义得到点P（x,y）到点的距离的最小值是点到圆心的距离再加半径，由两点间距离公式得到：， 故答案为：C.【点睛】这个题目考查的是线性规划中的知识的应用，利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。12.已知双曲线的左、右焦点分别为、，、分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点对称的两点，且直线的斜率为.、分别为、的中点，若原点在以线段为直径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据、分别为、的中点，故OM平行于,ON平行于，再由向量点积为0得到四边形是矩形，通过几何关系得到点A的坐标，代入双曲线得到齐次式，求解离心率.【详解】因为、分别为、的中点，故OM平行于,ON平行于，因为原点在以线段为直径的圆上，根据圆的几何性质得到OM垂直于ON，故得到垂直于，由AB两点关于原点对称得到，四边形对角线互相平分，所以四边形是矩形，设角,根据条件得到， 将点A代入双曲线方程得到： 解得 故答案为：C.【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).第卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题第（23）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中的系数是_【答案】45【解析】【分析】依据条件写出第项，再由特定项的次数列出方程，求出值，进而得到系数.【详解】的展开式中 令 系数为故答案为：45.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.14.在中，且的面积为，则_【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式得到再由余弦定理得到AC长.【详解】在中，且的面积为，由正弦定理的面积公式得到：再由余弦定理得到 故得到.故答案为：.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.15.已知四棱锥中，底面是矩形，是等边三角形，且平面平面，若四棱锥的外接球的表面积为，则_【答案】4【解析】【分析】利用外接球的表面积为28，求出四棱锥PABCD的外接球的半径，由提圆心的方法得到球心，再利用勾股定理，建立方程，即可求出AD【详解】面PAB的外接圆的圆心是N，将圆心N按照垂直于面PAB的方向提起，底面中心为M点，过点M竖直向上提起，两者的交点即为球心，如图，O是四棱锥PABCD的外接球（半径为R）的球心，则|OA|OP|R设|OM|h，h为三角形PAB的高的三分之一，即为，设AD=x,外接球的表面积为28，R， 在三角形AOB中，根据勾股定理得到 故答案为：4.【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.16.已知函数，若的所有零点之和为-2，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据函数的解析式得到时函数的对称轴为，对函数求导得到函数的单调性，当时，是二次函数，对称轴为x=1,两根之和为2，只需要时，函数仍然有2个根即可，满足即可.【详解】当时，满足，故函数的对称轴为 ，故函数在 当时，是二次函数，对称轴为x=1,两根之和为2，若的所有零点之和为-2，则另外两根之和为-4，根据轴对称性，得到当时，只需要这时的函数有两个零点即可， 故答案为：.【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的零点问题中的应用，题目难度中等，在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知数列和满足，若数列为等比数列，且，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）故 ， ；（2）【解析】【分析】(1)通过赋值法得到，当时，进而得到公比，数列的通项，再由得到；（2）通过第一问得到，再分组求和，分别应用等比数列求和公式和裂项求和得到结果.【详解】（1），当时，令则设的公比为，又由题可知数列为等比数列，故,（2），设数列和的前项和分别为和，则,，故 【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。18.如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，对角线与交于点，侧面是边长为2的等边三角形，为的中点.（1）证明：平面；（2）若侧面底面，求斜线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)连接EF根据三角形中位线得到线线平行，再得线面平行；（2）首先根据面面垂直的性质得到面，进而可建系，求面的法向量和线的方向向量，进而得到线面角.【详解】（1）连接，易证为的中位线，所以.又平面，平面，平面.（2）取的中点为，的中点为，连结，则，因为侧面底面，所以面，又，所以可建立如图所示的坐标系则，从而，设平面的法向量为，则，取，则，所以设斜线与平面所成的角为，斜线与平面所成角的正弦值. 【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系。求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。19.中国已经成为全球最大的电商市场，但是实体店仍然是消费者接触商品和品牌的重要渠道.某机构随机抽取了年龄介于10岁到60岁的消费者200人，对他们的主要购物方式进行问卷调查.现对调查对象的年龄分布及主要购物方式进行统计，得到如下图表： 主要购物方式年龄阶段网络平台购物实体店购物总计40岁以下7540岁或40岁以上55总计（1）根据已知条件完成上述列联表，并据此资料，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关？（2）用分层抽样的方法从通过网络平台购物的消费者中随机抽取8人，然后再从这8名消费者抽取5名进行座谈.设抽到的消费者中40岁以下的人数为，求的分布列和数学期望.附：参考公式：临界值表：0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关；（2）见解析【解析】【分析】(1)先由频率分布直方图得到列联表，再根据公式计算得到卡方值，进而作出判断；（2）消费者中40岁以下的人数为，可能取值为3，4，5，求出相应的概率值，再得到分布列和期望.【详解】（1）根据直方图可知40岁以下的消费者共有人，40或40岁以上的消费者有80人，故根据数据完成列联表如下： 主要购物方式年龄阶段网络平台购物实体店购物总计40岁以下754512040岁或40岁以上255580总计100100200依题意，的观测值 故可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关.（2）从通过网络平台购物的消费者中随机抽取8人，其中40岁以下的有6人，40岁或40岁以上的有2人，从这8名消费者抽取5名进行答谢，设抽到的消费者中40岁以下的人数为，则的可能取值为3，4，5且，则的分布列为：345故的数学期望为3.75.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.20.已知点在椭圆上，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的右焦点，与轴相交于两点，且是边长为2的正三角形.（1）求椭圆的方程；（2）已知圆，设圆上任意一点处的切线交椭圆于两点，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根据题干可得到轴，则，是边长为2的正三角形，则，进而得到方程；（2）首先考虑切线斜率不存在时可得到，当直线斜率存在时，设出直线方程，联立直线和椭圆，根据韦达定理得到，进而得到，.【详解】（1）由题意可知轴，则，又是边长为2的正三角形，则，解得，所以椭圆的方程为.（2）当过点且与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为，由（1）知，此时.当过点且与圆相切的切线斜率存在时，可设切线方程为.设，则，即.联立直线和椭圆的方程得，得，.，.综上所述，为定值.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用21.设函数，（1）讨论函数的单调性；（2）设，若存在正实数，使得对任意都有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)对函数求导，对a分类讨论得到导函数的正负进而得到单调性；（2）对a分情况讨论，在不同的范围下，得到函数的正负，进而去掉绝对值，再构造函数，转化为函数最值问题.【详解】（1），（）若，则，故在为增函数若时，则，故在为减函数，在为增函数（2）若，则由（1）知在为增函数，又，所以对恒成立，则设，（），则等价于，故在递减，在递增，而，显然当，故不存在正实数，使得对任意都有恒成立，故不满足条件若，则，由（1）知在为减函数，在为增函数，当时，此时 设，此时等价于，（i）若，在为增函数，故不存在正实数，使得对任意都有恒成立，故不满足条件（ii）若，易知在为减函数，在为增函数，故存在正实数，（可取）使得对任意都有恒成立，故满足条