江苏数学函数热点与综合问题人教

江苏省2006年高考数学函数热点与综合问题函数是高中数学的一条主线，同时也是高考的重点和热点.一函数热点问题热点1 （图象与性质）函数的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为-1，0）（0，1，则不等式-1的解集是A B. C. D.解：由函数的图象可知，函数是奇函数，所以原不等式可化为2，即，因而不等式的解集选 D.评注：给出函数的图象，常见两种思考问题的途径，其一：利用函数的图象求出函数的解析式；其二：由图象找性质，再用性质解题。本题也可用先求解析式，再解不等式的思路，显然不够简接.热点2（参数讨论）设，函数在上是增函数，则的取值范围是 A.或 B. 或 C. . D.或解：令，的图象如图.当时，由复合函数的单调性可知，区间落在或，所以或，所以有.当时，同理可得,综上选.评注：研究复合函数的单调性时，常采用分离法.热点（导数与单调性）已知函数=R).（1）当|时，求证：在（-1,1）内是减函数;（2）若函数在区间（-1，1）内有且只有一个极值点,求的取值范围.解：（），|，在（-1,1）上恒成立，所以函数f(x)在（-1,1）内是减函数.（）因为函数y=f(x)在区间（-1，1）内有且只有一个极值点,所以在区间（-1，1）内只有一解。又因为，所以有或.评注：证明函数的单调性既可以用单调性的定义，也可以利用导函数符号的正负来判断，在本题中，是把在（-1,1）上的符号问题转化为二次方程的根的分布问题来解决.热点4（性质与二次函数）若函数是周期为2的偶函数，当时，在的图象上有两点、，它们的纵坐标相等，横坐标都在区间上，定点的坐标为（其中），求面积的最大值。解：是以为周期的周期函数，当时，当时， 是偶函数 当时，当时， 设、的横坐标分别为，则，的面积为 当时有最大值 评注：利用函数的周期性、对称性解决函数的解析式是函数中的基本要求，二次函数的最值问题是函数考察的着重点在本题中，若将条件改为，则应如何求解？ 二函数、方程与不等式的综合例1已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为（1） 若方程有两个相等的根，求的解析式；（2） 若的最大值为正数，求的取值范围.解：（）由的解集为，可得且,又方程有两个相等的根，得，（舍）.（）由题意，由,.评注：二次函数与二次方程、二次不等式是密不可分的整体，它是高中数学的重要知识点，也是高考命题的热点之一。本题应注意隐含条件不能忽略.例2已知定义在实数集上的奇函数，有最小正周期2，且当时，1）求函数在上的解析式； 2）判断在上的单调性；3）当取何值时，方程在上有实数解？解：（1）f(x)是xR上的奇函数，f(0)=0.又2为最小正周期，f(1)=f(21)=f(1)=f(1)=0.设x(1,0), 则x(0,1)，（2）设0x1x21, f(x)在（0，1）上为减函数.（3）f(x)在（0，1）上为减函数， 方程上有实数解.评注：本题集函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性于一体，突出函数性质在解题中的应用，是函数复习中的经典例题.例3已知=（1） 求函数的反函数的解析式及其定义域；（2） 判断函数在其定义域上的单调性并加以证明；（3） 若当时，不等式恒成立，试求的取值范围.解：（）；（）设0x1x21,则由0x1x20)为奇函数，且min=，数列an与bn满足如下关系：a1=2， ， (1)求f(x)的解析表达式；(2) 证明：当nN+时， 有bn解：（）因为=(a0)为奇函数，所以在其定义域内恒成立，即恒成立，化简即恒成立，又且min=，（），= =，而b1= 当n=1时， b1=，命题成立， 当n2时，21（11）111+=n，即 bn 例5设平面上的动向量a=（s，t），b=（1，t2k）其中s，t为不同时为0的两个实数，实数，满足ab，（1）求函数关系式（2）若函数上是单调增函数，求证：；（3）对上述，存在正项数列，其中通项公式并证明.解：（1）解： （2）证明：成立， 故； （3） 故 因为 事实上， 评注：数列是一种特殊的函数，向量的坐标表示反映了向量与坐标之间的对应关系，它们与函数概念、函数思想以及函数的解题方法是紧密联系的.总之，要强化函数与其它各章的联系，强化函数的应用意识。培养学生的函数观念和函数方法，让学生能从较高的角度审视方程、不等式、向量、数列以及其他与函数相关的问题，提高学生分析问题和解决问题的能力.习题：若奇函数在R上是增函数，那么的大致图像是（）已知恰有3个实根，则实数a的取值范围是 （C）ABC（1，0）D.设函数=的导数为,则数列(nN)的前n项和为A. B. C. D. （）某厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为2500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本（元），若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？解：设该厂生产x件这种产品的利润为L（x）元，则 令 又当得极大值点.当x=60时，L(x)=9500元.因此，要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9500元.函数的定义域为D：且满足对于任意，有（）求的值；（）判断的奇偶性并证明；（）如果上是增函数，求x的取值范围.解：（）令 （）证明：令令为偶函数. （） （1）上是增函数， （1）等价于不等式组x的取值范围为二次函数.（1）求a,b,c的值；（2）求数列的通项公式；（3）令解：（1），对于函数，若存在，使成立，则称为的“滞点”.已知函数= .()试问有无“滞点”？若有，求之，否则说明理由；()已知数列的各项均为负数，且满足,求数列的通项公式；()已知,求的前项和解：（）由= 令 解得 即存在两个滞点0和2 . （）由题得，故由-得，即是等差数列，且 当n=1时，由 ()由-得. 已知是定义在1，1上的奇函数，且，若，恒成立. （1）判断在1，1上是增函数还是减函数，并证明你的结论； （2）解不等式； （3）若对所有恒成立，求实数m的取值范围.解：（1）设是奇函数由题