湖南长沙、望城、浏阳、宁乡高三数学调研考试文

2019年3月长望浏宁高三调研考试数学（文科）试卷总分：150分 时量：120分钟第卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集,则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解出集合M，然后取补集即可.【详解】=,全集则故选：C【点睛】本题考查集合的补集运算，属于简单题.2.已知是虚数单位, 是的共轭复数,若,则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得：，则，据此可得，的虚部为.本题选择A选项.3.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了倍C. 2015年与2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键4.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ）A. 174斤B. 184斤C. 191斤D. 201斤【答案】B【解析】用表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，解得选B5.已知椭圆的离心率为,则实数等于（ ）A. 2B. 2或C. 2或6D. 2或8.【答案】D【解析】若焦点在轴时， ，根据 ，即 ，焦点在轴时， ，即 ，所以等于或8，故选D.6.若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“”是“的必要不充分条件，故选B考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系7.如图在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出图形，以为基底将向量进行分解后可得结果【详解】画出图形，如下图选取为基底，则，故选C【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算8.在矩形ABCD中，AB8，AD6，若向该矩形内随机投一点P，那么使ABP与ADP的面积都小于4的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】以AB为底边，由ABP与ADP的面积都小于4，得到两个三角形的高即为P点到AB和AD的距离，得到对应区域，利用面积比求概率【详解】以AB为底边，要使面积都小于4，由于ABh4h4，则点P到AB的距离h1，同样，ADd3d4，P点到AD的距离要小于，满足条件的P 的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是1使得ABP与ADP的面积都小于4概率为：p故选：A【点睛】本题考查几何概型、面积比求概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题9.已知集合A=1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为，现将组成的三个数字按从小到大排成的三位数记为（），按从大到小排成的三位数记为D（）（例如219，则（）129，D（）921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，则输出b的值为（ ）A. 792B. 693C. 594D. 495【答案】D【解析】试题分析：A，如果输出的值为792，则 ，不满足题意B，如果输出的值为693，则，不满足题意C，如果输出的值为594，则，不满足题意D，如果输出的值为495，则，满足题意故选D考点：程序框图10.过点（0，1）的直线被圆所截得的弦长最短时，直线的斜率为（ ）A. 1B. -1C. D. 【答案】A【解析】试题分析：点在圆内，要使得过点的直线被圆所截得的弦长最短，则该弦以为中点，与圆心和连线垂直，而圆心和连线的斜率为，所以所求直线斜率为1，故选择A考点：直线与圆的位置关系11.已知函数，若 ，且，则的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知条件求出三角函数的周期，再由求出的值，结合三角函数的单调性求出单调增区间【详解】设的周期为，由，得，由，得，即，又，由，得的单调递增区间为故选：B【点睛】本题主要考查利用的图象特征的应用，解析式的求法属于基础题12.已知定义在上的函数的图像关于直线对称，且当时,.若,是函数图像上的两个动点，点，则当的最小值为0时，函数的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根据数量积最小值为 0，得到相切且垂直，再利用切点导数为斜率， 入手求得值,问题得解 【详解】解：如图， 显然的模不为 0 ，故当最小值为0时,只能是图中的情况，此时，且,与函数图象相切，根据对称性， 易得，设，当时， ，即，当时，递增，故其最小值为：，根据对称性可知， 函数在上最小值为故选：【点睛】此题考查了数量积，导数,指数函数单调性等，综合性较强，难度适中 第卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知实数满足不等式组，则是最小值为 _.【答案】-13【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，再将目标函数z2x+y对应的直线进行平移，可得当xy1时，z2x+y取得最小值【详解】作出不等式组表示的平面区域：得到如图的阴影部分，由 解得B（11，2）设zF（x，y）x+y，将直线l：zx+y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最小值，z最小值F（11，2）13故答案为：13【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题14.若函数的定义域是，则函数的定义域为_【答案】 【解析】【分析】由函数y=f（x）的定义域为，2，知log2x2，由此能求出函数y=f（log2x）的定义域即可【详解】函数y=f（x）的定义域为，2，log2x2，x4故答案为：【点睛】本题主要考查函数的定义域和对数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15.已知数列的前项和为，当时，则=_【答案】1010【解析】【分析】由题意可得：，整理变形可知当时，数列任意连续两项之和为1，据此求解的值即可.【详解】由题意可得：，两式作差可得：，即,即当时，数列任意连续两项之和为1，据此可知：.【点睛】给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.16.如图所示，在三棱锥中，、两两垂直，且，设是底面内一点，定义，其中、分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积若，且恒成立，则正实数的最小值为_【答案】1【解析】PA、PB、PC两两垂直，且PA=3PB=2，PC=1=+x+y即x+y=则2x+2y=1，又，解得a1正实数a的最小值为1三、解答题：（本大题共6小题，满分70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分17.在中，内角A，B，C所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）由题意利用正弦定理边化角可得，则，据此确定角C的值即可；（2）由题意结合面积公式可得，结合余弦定理可得，据此求解ABC的周长即可.【详解】（1），由正弦定理可得：，可得：，.（2），的面积为，可得：，由余弦定理可得：，解得：，的周长.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，余弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.如图是某地区2012年至2018年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）的折线图.注：年份代码分别表示对应年份.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数（线性相关较强）加以说明；（2）建立与的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年该区生活垃圾无害化处理量.【参考数据】，.【参考公式】相关系数，在回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.【答案】（1）见解析；（2）1.744【解析】【分析】(1)根据题中所给的公式得到r=0.990.75,进而得到结论；（2）根据公式计算得到回归方程，再将2019年所对应的t=8代入方程可得到估计值.【详解】(1)由题意得, 所以与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系. （2）由已知得， 所以，关于的回归方程为： 将2019年对应的代入回归方程得：. 所以预测2019年该地区生活垃圾无害化处理量将约万吨.【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线方程的计算，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.19.如图所示的几何体中，ABC-A1B1C1为三棱柱，且AA1平面ABC， AA1=AC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD=4，ADC=60.（）求证：；（）求三棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）4【解析】【分析】（1）推导出AC1A1C，ACAB，AA1AB，从而AB平面ACC1A1，进而A1B1AC1，由此能证明AC1平面A1B1CD（2）由CD2，得AD4，ACAA12，三棱谁C1A1CD的体积：，由此能求出结果【详解】(1)为三棱柱，且平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，是正方形，设，则，平面，平面解：(2)，三棱谁的体积：，【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20.已知动圆过定点，且与定直线相切（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）过点的任一条直线与轨迹交于不同的两点，试探究在轴上是否存在定点（异于点），使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由【答案】(1) ，（2）见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义即可得解；（2）假设存在点满足题设条件，由题意可得直线与的斜率互为相反数，即，设，设,再由直线与抛物线联立，利用韦达定理代入求解即可.【详解】（1）解法1：依题意动圆圆心到定点的距离与到定直线的距离相等， 由抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 其中动圆圆心的轨迹的方程为解法2：设动圆圆心 ，依题意：. 化简得：，即为动圆圆心的轨迹的方程（2）解：假设存在点满足题设条件由可知，直线与的斜率互为相反数，即 直线的斜率必存在且不为，设, 由得由,得或设，则由式得 ,即消去，得, , , 存在点使得【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.已知.（1）若，讨论函数的单调性；（2）当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）的定义域为，且，据此确定函数的单调性即可；（2）由题意可知在上恒成立，分类讨论和两种情况确定实数b的取值范围即可.【详解】（1）的定义域为，当时，；时，函数在上单调递减；在上单调递增.（2）当时， 由题意，在上恒成立若，当时，显然有恒成立；不符题意.若，记，则,显然在单调递增，（i）当时，当时，时，（ii）当，存在，使.当时，时，在上单调递减；在上单调递增当时，不符合题意综上所述，所求的取值范围是【点睛】本题主要考查导数研究函数