湖南长沙长郡中学高三数学第三次调研考试理

长郡中学2019届高三第三次调研考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合A，求定义域得集合B，再根据交集定义求结果.【详解】因为=,所以,选B.【点睛】本题考查集合交集定义以及解不等式、求函数定义域，考查基本求解能力.2.已知复数（），其中i为虚数单位，若为实数，则的值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b比值.【详解】因为)，所以因为，所以，选B.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3.如图所示的茎叶图记录了长郡中学的甲、乙两名同学在校级运动会的五次一千米训练成绩（单位：秒），通过茎叶图比较两人训练成绩的平均值及方差，并从中推荐一人参加运动会，甲的成绩的平均值高于乙的成绩的平均值，推荐乙参加运动会甲的成绩的平均值低于乙的成绩的平均值，推荐甲参加运动会甲的成绩的方差高于乙的成绩的方差，推荐乙参加运动会甲的成绩的方差低于乙的成绩的方差，推荐甲参加运动会其中正确结论的编号为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据平均值及方差公式计算，推荐平均值差不多且方差小的参加运动会.【详解】甲同学平均值为，方差为乙同学平均值为，方差为，尽管乙同学平均值略低于甲同学，但乙同学方差远远小于甲同学，所以推荐乙参加运动会，选A.【点睛】均值大小代表水平高低，方差大小代表稳定性，本题考查基本求解能力，属基本题.4.函数的图象大致为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据奇偶性淘汰A,C，再根据函数最值确定选项.【详解】因为，所以为奇函数，不选A,C，又因为，所以选D.【点睛】由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复5.已知等比数列满足，且，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据条件确定首项与公比，再利用分组求和法求和.【详解】因为，所以，因为，所以，因此，选D.【点睛】本题采用分组转化法求和，将原数列转化为两个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型（如 ）6.执行如图所示的程序框图，若输出S的值为55，则判断框中m的值为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D【解析】【分析】执行循环，按终止循环条件列等式，解得结果.【详解】执行循环，得，所以，选D.【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先还原几何体，再根据圆锥以及柱体表面积公式求结果.【详解】还原几何体为两个圆锥与一个棱柱的组合体，其中小圆锥的底面半径为2，高为2；大圆锥的底面半径为2，高为4，棱柱的底面为正方形，边长为，高为1，因此该几何体的表面积为=，选D.【点睛】解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行求解.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，渐近线方程为，点N在圆上，则的最小值为A. B. 2 C. D. 3【答案】C【解析】【分析】先根据条件确定M在双曲线右支上，再根据圆的性质以及三角形不等关系求最值.【详解】因为，所以点M在双曲线C右支上，因为渐近线方程为，所以圆，即，设圆心为,则有，选C.【点睛】本题考查双曲线的定义以及圆的性质，考查基本分析转化能力，属中档题.9.已知直三棱柱的底面为等边三角形，且底面积为，体积为，点，分别为线段，上的动点，若直线平面，点为线段的中点，则点的轨迹长度为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由图像可知点M的轨迹为线段，两个端点分别为和的中点，即为等边三角形的高线，由底面积求出等边三角形边长，进而求出三角形的高线，即M的轨迹.【详解】由题意可作如下图像：因为直线PQ与平面无交点所以与此平面平行，所以，当点P、点Q分别在点、C处时，此时中点M为中点，当点P、点Q分别在点、处时，此时中点M为中点，若D、E、F分别为三条棱的中点，则点M的轨迹为等边三角形的中线，设底面边长为x，由底面面积可得：，解得，所以轨迹长度为.故选D.【点睛】本题考查立体几何中，动点的轨迹问题，由题意找出图形中两个临界点，由题意两点之间的线段即为所求，注意计算的准确性.10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，O1（1，0），阴影部分为不等式 表示的平面区域，PQ与阴影部分相切于点T，交x轴正半轴于点P，交y轴正半轴于点Q，设，的面积为，若关于t的不等式存在唯一整数解，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求，再根据两个函数图象关系确定实数a的取值范围.【详解】设，从而,由得，由得，作图可得,其中因为所以，选B.【点睛】本题考查函数关系式以及函数图象，考查综合应用分析能力以及灵活转化能力，属难题.11.已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，点P、Q均在椭圆上，且均在x轴上方，满足条件PF1QF2，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据椭圆定义求P点横坐标，再根据相似求Q横坐标，最后根据椭圆定义得结果.【详解】设，则由椭圆定义得，同理得，由，得，因为PF1QF2，所以，从而，选C.【点睛】本题考查椭圆定义以及直线与椭圆位置关系，考查等价转化思想与计算能力，属中档题.12.已知存在，且，使得，其中，则实数的值可能为A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】先根据诱导公式化简方程，再根据三角函数有界性得方程组，解方程组可得实数的取值范围，进而确定选项.【详解】由得,所以,即，因为，所以当时，舍去；当时，舍去；当时，舍去；当时，选D.【点睛】本题考查诱导公式、三角函数有界性以及三角函数特殊值，考查分类讨论思想与基本分析求解能力，属中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若的展开式中常数项为12，则_【答案】【解析】【分析】先根据二项式定理确定展开式常数项，解得a，再求定积分得结果.【详解】因为的展开式中常数项为，因此.【点睛】本题考查二项式定理以及定积分，考查基本分析求解能力，属基础题.14.在中，记，若，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】根据向量数量积得三角形边角关系，再利用三角形内角关系列函数关系式，最后利用基本不等式求最值，解得的最大值，即得的最大值.【详解】因为，所以,因此,因为,所以.即的最大值为【点睛】本题考查向量数量积、正弦定理、两角和正弦与正切公式、诱导公式以及基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属难题.15.长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_【答案】小学中级【解析】【分析】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，根据条件列不等式组，推出取法，根据取法推测队长的学段及职称.【详解】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，则所以，若则，若则矛盾队长为小学中级时，去掉队长则，满足；队长为小学高级时，去掉队长则，不满足；队长为中学中级时，去掉队长则，不满足；队长为中学高级时，去掉队长则，不满足；综上可得队长为小学中级.【点睛】本题考查不等式性质，考查论证推理能力，属难题.16.已知定义在上的函数满足，对任意，不等式恒成立，其中是的导数，则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】构造函数，根据条件研究性质：奇偶性与单调性，再根据性质解不等式，即得结果.【详解】构造函数,因为，所以 为上偶函数，由，得，所以因为，所以当时，由得，即时单调递增，由偶函数得当时单调递减，因此由不等式得或，所以或，解集为.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）17.已知数列的前n项和Sn满足，且（）求数列通项公式an；（）在数列的前100项中，是否存在两项，使得三项成等比数列？若存在，求出所有的m，n的取值；若不存在，请说明理由【答案】（）an2n1；（）取值为【解析】【分析】(1)先根据等差数列定义求 ，再根据和项与通项关系求an；(2)根据条件化简m，n关系式，再利用范围限制m取法，即得正整数解.【详解】(1)因为，所以，所以 Sn当时，因为，所以.(2)若三项成等比数列，则 ，因为，又为3 的奇倍数，所以，验证得.【点睛】应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.18.如图，已知五棱锥PABCDE，其中ABE，PCD均为正三角形，四边形BCDE为等腰梯形，BE2BC2CD2DE4，PBPE（）求证：平面PCD平面ABCDE；（）若线段AP上存在一点M，使得三棱锥PBEM的体积为五棱锥PABCDE体积的，求AM的长【答案】（）证明略；（）AM【解析】【分析】（1）取CD中点O，根据正三角形性质得,再取BE中点N,根据勾股定理计算得,由线面垂直判定定理得平面,最后根据面面垂直判定定理得结论，（2）先作M到平面的垂线，再根据锥体体积公式计算AM的长【详解】(1)取CD中点O，BE中点N,连PN,ON.因为PCD为正三角形，所以，因为PBPEBE4，所以，因为四边形BCDE为等腰梯形，所以，因为,所以，因为平面,所以平面,因为平面，因此平面 平面,（2）因为ABE为正三角形，四边形BCDE为等腰梯形，所以三点共线，过M作 于,则,因为平面,所以平面,因为三棱锥PBEM的体积为五棱锥PABCDE体积的，所以从而【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19.为了改善市民的生活环境，长沙某大型工业城市决定对长沙市的1万家中小型化工企业进行污染情况摸排，并出台相应的整治措施通过对这些企业的排污口水质，周边空气质量等的检验，把污染情况综合折算成标准分100分，发现长沙市的这些化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N（50，162），分值越低，说明污染越严重；如果分值在50，60内，可以认为该企业治污水平基本达标（）如图为长沙市的某工业区所有被调査的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图，请计算这个工业区被调査的化工企业的污染情况标准分的平均值，并判断该工业区的化工企业的治污平均值水平是否基本达标；（）大量调査表明，如果污染企业继续生产，那么标准分低于18分的化工企业每月对周边造成的直接损失约为10万元，标准分在18，34）内的化工企业每月对周边造成的直接损失约为4万元长沙市决定关停80的标准分低于18分的化工企业和60的标准分在18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失约有多少？（附：若随机变量，则， ，）【答案】（）基本达标；（）5092万元【解析】【分析】（ ）利用频率分布直方图计算平均数；（）利用正态分布分别计算标准分在18，34）内的化工企业与标准分低于18分的化工企业的概率，从而得到结果.【详解】（）该工业区被调査的化工企业的污染情况标准分的平均值：，故该工业区的化工企业的治污平均值水平基本达标；（）化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N（50，162）标准分在18，34）内的概率，60的标准分在18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失为:万元，标准分低于18分的概率，万元故长沙市决定关停80的标准分低于18分的化工企业和60的标准分在18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失约有【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了正态分布的应用问题，是中档题20.已知抛物线，圆过点（0，0），（2，2），（1，）（）求圆的方程；（）若直线l，m均过坐标原点O，且互相垂直，直线l交抛物线C于点M，交圆于点N，直线m交抛物线C于点P，交圆于点Q，点P，Q，M，N均不同于原点O，求达到最小值时直线l的方程【答案】（）圆的方程为；（）直线l的方程为【解析】【分析】(1)设圆一般方程，代入三点坐标，解得结果，(2)设直线l方程，与圆方程以及抛物线方程联立解得OM,ON,类似可得OP,OQ，再根据三角形面积公式求，最后根据函数最值得斜率k.【详解】(1)设圆,所以,所以圆的方程为；（2）设直线l方程,由得，由得，同理可得，所以，；，当且仅当时取等号，此时直线l的方程为.【点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.21.已知函数，且在处的切线的斜率为（）求的表达式，并求出函数的最大值；（）设，试问函数与函数的图象有几个交点？【答案】（）；（）当时，函数与函数的图象没有交点；当时，函数与函数的图象有一个交点；当时，函数与函数的图象有两个交点【解析】【分析】(1)先求导数，再根据导数几何意义列方程得a，再求导函数零点，根据导函数符号分析函数单调性，根据单调性确定最大值，(2)根据函数与函数的图象，分类讨论交点个数.【详解】（1）因为，所以，由得当时；当时；因此当时函数最大值；（2）, ，当时，函数与函数的图象没有交点；当