湖南长沙长郡中学高三数学第一次适应性考试一模文

湖南省长沙市长郡中学2019届高三数学下学期第一次适应性考试（一模）试题 文（含解析）第I卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。2.已知集合若，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。【详解】由得：或.所以集合.由得：.又，所以（舍去）或.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。3.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如11，323，4334等.在所有小于150的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】列出所有小于150的三位回文数，从中选取两个得到基本事件总数，再从中找出两个回文数的三位数字之和均大于3的个数即可求解。【详解】列出所有小于150的三位回文数如下：101,111,121,131,141.从中任取两个数共有10种情况如下：（101,111），（101, 121），（101, 131），（101, 141），（111, 121），（111, 131），（111, 141），（121,131），（121,141），（131,141）.两个回文数的三位数字之和均大于3的有：（121,131），（121,141），（131,141）共3种情况.两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为：.故选：C【点睛】本题主要考查了古典概型概率计算，还考查了新概念知识，属于基础题。4.已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，若右支上有点满是，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，在及中利用余弦定理，分别表示出.再利用双曲线定义列方程即可求解。【详解】设， 由题可得：,在中，由余弦定理可得：，整理得：.在中，由余弦定理可得：，整理得：.由双曲线定义得：，即：.整理得：.故选:A【点睛】本题主要考查了余弦定理及双曲线定义，属于基础题。5.长郡中学某次高三文数周测，张老师宣布这次考试的前五名是：邓清、武琳、三喜、建业、梅红，然后让五人分别猜彼此名次邓清：三喜第二，建业第三；武琳：梅红第二，邓清第四；三喜：邓清第一，武琳第五；建业：梅红第三，武琳第四；梅红：建业第二，三喜第五张老师说：每人的两句话都是一真一假已知张老帅的话是真的，则五个人从一到五的排名次序为（ ）A. 邓清、武琳、三喜、建业、梅红 B. 邓清、梅红、建业、武琳、三喜C. 三喜、邓清、武琳、梅红、建业 D. 梅红、邓清、建业、武琳、三喜【答案】B【解析】【分析】对邓清说的话一真一假分类逐一分析即可得到答案.【详解】假设邓清说话中：三喜第二为真，建业第三为假.则：梅红说话中：建业第二为真，三喜第五为假.这与邓清说话中：三喜第二为真，建业第三为假矛盾.所以邓清说话中：三喜第二为假，建业第三为真.则：梅红说话中：建业第二为假，三喜第五为真.则：三喜说话中：邓清第一为真，武琳第五为假则：武琳说话中：梅红第二为真，邓清第四为假.则：建业说话中：梅红第三为假，武琳第四为真.故选：B【点睛】本题主要考查了逻辑推理及分类讨论思想，属于基础题。6.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的的值满足（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由程序框图逐一执行即可求解。【详解】，,由程序框图逐一执行得：.不满足.不满足.不满足.满足.故.故选：B【点睛】本题主要考查了程序框图知识及裂项求和方法，还考查计算能力.属于基础题。7.已知在等比数列中，则的个位数字是（ ）A. B. 7 C. 8 D. 9【答案】D【解析】【分析】由求得，由求得，即可求得，列出，即可发现它们的个位数字是以4为周期重复出现的，问题得解。【详解】设等比数列的公比为，首项为由得：.解得：.即：， 由得：，所以，所以，所以：，由此可得的个位数是以4为周期重复出现的.所以的个位数字是的个位数字，即的个位数字是：9.故选：D【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式，还考查了周期性，属于基础题。8.函数某相邻两支图象与坐标轴分别变于点，则方程所有解的和为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点可求得，从而得到，求出函数及的对称点，从而发现它们都关于点对称，在同一坐标系中，作出与的图像，结合图像即可求解。【详解】由函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点，可得：.解得：.所以将代入上式得：=0，解得：=，又，所以.所以.令=，则所以的图像关于点对称。令，且=，解得：.所以的图像关于点对称.所以函数与的图像关于点对称.在同一坐标系中，作出与的图像，如图：由图可得：函数与的图像在上有两个交点，这两个交点关于点对称.所以方程有且只有两个零点，且 .所以方程所有解的和为：.故选：A.【点睛】本题主要考查了三角函数图像以及三角函数性质，考查了转化思想及方程思想，考查计算能力，属于中档题。9.已知某长方体的三视图如图所示，在该长方体的一组相对侧面上取三点，其中为侧面的对角线上一点(与对角线端点不重合)，为侧面的一条对角线的两个端点.若以线段为直径的圆过点，则的最小值为（ ）A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D【解析】【分析】求出点P到直线AB的最短距离，由线段为直径的圆过点列不等式即可求解。【详解】如图：连接HF与AB的中点NM，由长方体可得：线段NM是直线HF与AB的公垂线段.当点P在对角线HF的中点时，点P到直线AB距离最短为2.又以线段为直径的圆过点，则，即，解得：.所以的最小值为：.故选：D【点睛】本题主要考查了空间思维及转化能力，考查三视图知识，属于基础题。10.已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过点作直线交抛物线于两点，若且，则的值为（ ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】B【解析】【分析】假设存在，设直线AB的方程为：，代入抛物线方程，可得根与系数的关系，由可求得，再利用即可求解。【详解】当不存在时，直线与抛物线不会交于两点。当存在时，设直线AB的方程为：，则有：，联立直线与抛物线方程得：，整理得：，所以，所以，又，所以，整理得：，即：.解得：因为，所以又，代入得：.解得：故选：B【点睛】本题主要考查了韦达定理及向量垂直的坐标关系，考查方程思想及抛物线定义，考查计算能力及转化能力，属于中档题。11.小明站在点观察练车场上匀速行驶的小车的运动情况，小车从点出发的运动轨如图所示.设小明从点开始随动点变化的视角为，练车时间为，则函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】过点O作曲线的切线，切点为B,E，再过点O作一直线CD与曲线部分重合，如图，从图像分析即可得到选项。【详解】过点O作曲线的切线，切点为B,E，再过点O作一直线CD与曲线部分重合，如图，当小明从点行驶到点B时，递增，当小明从点行驶到点C时，递减，当小明从点C行驶到点D时，为常数，当小明从点D行驶到点E时，递减，当小明从点E行驶到点P时，递增，故选：D【点睛】本题主要考查了图像特征，考查了分析能力及转化能力，属于基础题。12.定义，已知为函数的两个零点，若存在整数n满足，则的值（ ）A. 一定大于 B. 一定小于 C. 一定等于 D. 一定小于【答案】D【解析】【分析】由为函数的两个零点可得：，.令，得到.即：，将变形为，从而可得.问题得解。【详解】由题可得：.又为函数的两个零点，所以，.将函数图像往上平移时，开口大小保持不变，如图当函数图像往上平移时，变大，即：当时，越大，又由二次函数的对称性得：当时，最大令，则：，就是。又 = 由已知得，所以一定小于，所以一定小于.故选：D【点睛】本题主要考查了韦达定理及方程与函数关系，考查了计算能力及转化能力，属于中档题。第卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.在平行四边形中，点是的中点，点是的中点，记，用表示，则_.【答案】【解析】【分析】将写成的线性和的形式，解方程组求得的表达式.【详解】画出图像如下图所示，由图可知,解由组成的方程组，求得.【点睛】本小题主要考查平面向量的加法和减法运算，考查向量在几何图形中的应用，属于基础题.14.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组或来表示，设是阴影中任意一点，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】直接利用线性规划知识求最值。【详解】如图，作出直线：，当直线往上平移至与阴影部分的圆的边界相切时，最大，此时圆心到直线的距离等于半径1，即： .解得：【点睛】本题主要考查了线性规划知识，考查转化能力及直线与圆相切的几何关系，属于基础题。15.已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为_.【答案】【解析】【分析】根据题意作出如下图形：由圆方程求出圆心连线斜率为：，计算出圆心距，再利用外公切线的斜率为7求出圆心连线与公切线的夹角，从而在直角三角形中列方程求得，联立方程即可求出，问题得解。【详解】根据题意作出如下图形：AB为两圆的公切线，切点分别为A,B.当公切线AB与直线平行时，公切线AB斜率不为7，即不妨设过作AB的平行线交于点E，则：，且,直线的斜率为：，所以直线AB与直线的夹角正切为：.在直角三角形中，所以，又,整理得：，解得：，又，解得：，所以=.【点睛】本题主要考查了圆的公切线特点及两直线夹角公式，还考查了解三角形知识及计算能力、方程思想，属于中档题。16.在中，角，所对的边分别为，若，则，必须满足_【答案】【解析】【分析】由整理得：，从而可判断，利用余弦定理得，整理得：，再利用不等式的性质即可得解。【详解】因为,所以,整理得：,所以,即边最大，又，所以，整理得：.所以，又，所以.即：【点睛】本题主要考查了两角和差的正弦、余弦公式，考查了余弦定理及不等式的性质，考查了转化思想，属于中档题。三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答17.设正项数列的前项和，且是与的等比中项，其中.（）求数列的通项公式；（）设，记数列的前项和为，求证：.【答案】（）（）详见解析【解析】【分析】（）由是与的等比中项列方程整理，可得出：数列是首项为1，公差为1的等差数列，问题得解。（）整理，代入的表示式子即可求解。【详解】解：（）是与的等比中项，等时，.当时， ，整理得.又，即数列是首项为1，公差为1的等差数列.（）， .【点睛】本题主要考查了法的应用及等差数列概念，通项公式，还考查了数列裂项求和，属于基础题。18.随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额，依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：(1)假如小红某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记表示总收入，表示应纳的税，试写出调整前后关于的函数表达式；(2)某税务部门在小红所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；（3）小红该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小红算一下调整后小红的实际收入比调整前增加了多少?【答案】（1）调整前关于的表达式为.调整后关于的表达式为.（2）；（3）220.【解析】【分析】（1）调整前，将收入分成三类，根据税率计算表计算出关于的表达式.调整后，将收入分成两类，根据税率计算表计算出关于的表达式.（2）先利用分层抽样得出及各抽取的人数，然后利用列举法以及古典概型概率计算公式计算出所求的概率.（3）根据（1）求得的关于的表达式，令代入两个表达式，求得调整前后所缴纳的税费，由此求得收入增加的值.【详解】解：（1）调整前关于的表达式为.调整后关于的表达式为.（2）由频数分布表可知从及的人群中按分层抽样抽取人，其中占人，分别记为，中占人分别记为，再从这人中选人的所有组合有： ,共种情况，其中不在同一收入人群的有,共种.所以所求概率为.（3）由于小红的工资、薪金等税前收入为元，由（1）得：调整前元，调整后元，故实际收入增加了元.【点睛】本小题主要考查分段函数问题，考查函数在实际生活中的应用，属于中档题.19.如图，在多边形中（图1），为长方形，为正三角形，现以为折痕将折起，使点在平面内的射影恰好在上（图2）.图1 图2（）证明：平面；（）若点在线段上，且，当点在线段上运动时，求三棱锥的体积.【答案】（）详见解析（）3【解析】【分析】（）利用点在平面内的射影恰好在上，过P作AD的垂线段PO，由此证得，再计算出，从而证得，命题得证。（）求出点到底面的距离，利用计算，问题得解。【详解】解：（）过点作，垂足为.由于点在平面内的射影恰好在上，平面.四边形为矩形，.又，平面，.又由，可得，同理.又，且，平面.（）设点到底面的距离为，则.由，可知，.又，.【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质、线面垂直的判定，考查了转化思想，体积计算，考查计算能力，属于基础题。20.已知椭圆的左、右焦点分别为且椭圆上存在一点，满足.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知分别是椭圆的左、右顶点，过的直线交椭圆于两点，记直线的交点为，是否存在一条定直线，使点恒在直线上?【答案】（1）（2）存在，点在定直线上【解析】【分析】（1）对三角形应用余弦定理即可求得，结合椭圆定义求得，问题得解。（2）设，利用及列方程，整理得：，由整理得：，从而表示出，联立直线与椭圆方程，由韦达定理得：，代入上式得：，解得：，问题得解.【详解】（1）设，则内，由余弦定理得，化简得，解得，故，得，所以椭圆的标准方程为.（2）已知，设，由，两式相除得.又，故，故，设的方程为，代入整理，得，恒成立.把代入， 得，得到，故点在定直线上.【点睛】本题主要考查了余弦定理及椭圆的定义、简单性质，还考查了两点斜率公式及转化思想，还考查了韦达定理及方程思想，考查计算能力，属于中档题。21.设函数.(1)求函数的极值点个数；(2)若，证明 .【答案】（1）2个（2）详见解析【解析】【分析】(1)由是奇函数，把问题转化成的极值点个数问题，求出，把的正负问题转化成正负来处理，求出，判断的单调性，结合函数零点判断方法即可判断在区间上存在唯一的使.在上不存在使得，问题得解。(2)利用（1）中的结论可知：在区间内恒成立.令，可将问题转化成 ，问题得证。【详解】解：（1）因为为奇函数，其图像关于原点对称，所以只需考虑上的极值点个数，时，.令，当时，单调递减，当时，单调递增，.取，在区间上存在唯一的使.在区间上单调递减，在区间上单调递增.又为奇函数，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，的极值点共2个.（2）由（1）可知在区间内单调递减，且恒成立.时，即得.又令，得. 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的极值，还考查了奇函数的特点及转化思想，函数零点判断，还考查了不等式的应用及等比数列求和，属于难题。(二)