湖南雅礼中学高三第四次月考数学

长沙市雅礼中学高三年级第四次月考理科数学试卷命题人：刘德志卿科 审题人：陈建明卿科时量：120分钟 满分：150分（考试范围：集合与逻辑、函数、极限与导数、不等式、数列、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何）一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置.命题“若则”的逆否命题是A若，则 若，则C若，则 若，则已知集合，则下列正确的是 在等比数列中，其前项的积为，若，则等于 已知是两个不重合的平面，m,n是两条不重合的直线，下列命题中不正确的是 向量满足与的夹角为60，则1 已知满足约束条件： ,则的最小值是 定义行列式运算：将函数向左平移个单位（0），所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是 若函数的图象在x=0处的切线l与圆C:相离，则点与圆C的位置关系是在圆外 在圆内 在圆上 不能确定一避暑山庄占地的平面图如图所示，它由三个正方形和四个三角形构成，其中三个正方形的面积分别为18亩、20亩和26亩，则整个避暑山庄占地 100亩 136亩亩 128亩10已知，设函数的最大值是，最小值是，则 C 二填空题：本大题共5小题，每小题5分（第14、15题第一空2分，第二空3分），共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是12设在R内每一点处都连续，那么a13已知体积为的正三棱锥的外接球的球心为，满足,则三棱锥外接球的体积为 14已知定义在上的单调函数满足：存在实数，使得对于任意实数，总有恒成立，则（i）；（ii）的值为；15如下图，对一个边长分别为3、4、5的直角三角形进行如下操作：第一次操作，分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间一个阴影部分三角形（如图甲）；第二次操作，分别连接剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的阴影部分三角形（如图乙）；第三次操作，分别连接剩余的各个三角形的中点，再挖去各自中间阴影部分的三角形；如此操作下去，记第次操作后剩余图形的面积总和为（i）则数列的通项公式=（ii）如图乙，把第一次操作挖去的阴影部分三角形贴上数字标签“1”，第二次操作挖去的每个阴影部分三角形都贴上数字标签“2”，第三次操作挖去的每个阴影部分三角形都贴上数字标签“3”，第次操作挖去的每个阴影部分三角形都贴上数字标签“”，则第次操作后，所有标签的数字之和=三解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16（本小题满分12分）已知函数，（）求的最值和最小正周期；（）设，若是的充分条件，求实数的取值范围解：（） 分;T= 6分（）由题意可知: 在上恒成立，即， 9分，且，即的取值范围是 12分17（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，且平面，分别是的中点（）证明：平面；（）求二面角的大小解：（）以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴、 DC所在的直线为y轴、DP所在的直线为x轴， 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0）， P（0，0，1）， 2分,，所以所以，又，故平面 6分（）设平面FCE的法向量为，,由取，9分又平面的一个法向量为， 10分所以二面角是锐二面角，即二面角的大小是一个锐角，二面角的大小与是互补的故二面角的大小为12分解法二：几何法（略）18（本小题满分12分）某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区已知，曲线段是以点为顶点且开口向右的抛物线的一段如果要使矩形的相邻两边分别落在上，且一个顶点落在曲线段上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到）解：以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则抛物线方程令为而，代入则有 分 令，易求工业区面积 6分 求导解得 8分 当时，是的增函数，当时，是的减函数. 10分 所以当时，取得最大值，且 所以，把工业园区规划成长为，宽为的矩形时，工业园区的用地面积最大，最大的用地面积约为（强调作答） 12分19(本小题满分13分) 已知定义在上的函数满足：对任意实数，总有 恒成立，且对任意正整数，有，（）求数列的通项公式；（）记，比较与的大小关系，并给出证明；解：（）因为，所以又因为3分又 6分（）， 8分 10分（用数学归纳法也行）13分20（本小题满分13分）已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是此椭圆上的一动点，并且的取值范围是 （）求此椭圆的方程；（）点A是椭圆的右顶点，直线y = x与椭圆交于B、C两点(C在第一象限内)，又P、Q是椭圆上两点，并且满足0，试问：向量是否共线，并说明理由。解：（）设，其中，从而 3分由于，即 又已知， 所以从而椭圆的方程是 6分（）向量共线因为的平分线平行，所以PCQ的平分线垂直于轴. 8分由不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为-k，因此PC和QC的方程分别为，其中消去y并整理得 C(1，1) 在椭圆上，x = 1是方程(*) 的一个根. 从而 11分从而直线PQ的斜率为 又知A(2，0) ，B(1，1) ，所以 共线13分21（本小题满分1分）已知函数点均在函数的图象上，且，其公差为（）判断函数是否有极值，并说明理由；（）求证：ABC是钝角三角形；（）求ABC面积的最大值解：（）因为 ，所以，且，即函数在上是单调减函数，故函数没有极值3分 （）证明：据题意且x1x2f (x2)f (x3),