湖南高中数学竞赛

2008年，湖南省高中数学竞赛试题多项选择题(10题，每题5题，每题40题。每项中给出的四个答案中只有一个符合问题的要求。)1.定义设置操作：集合，集合中所有元素的总和为()公元前16年，公元前20年，公元22年2.称为几何级数，数值范围是()A.学士学位如果3.5名志愿者进入3个不同的奥运场馆参与接待工作，每个场馆至少有一名志愿者的概率为(a.b.c.d)4.已知的非零非共线向量，设定条件；在所有情况下，不平等都成立。那么(a)必要和不充分条件(b)充分和不必要条件C.充分和必要条件5.设置上面的函数定义，并给出以下三个命题：(1)满足条件的函数图像关于该点对称；(2)满足条件的函数图像关于直线对称；(3)一个函数的像在与该函数的像相同的坐标系中关于一条直线对称，其中真命题的数量是()A.0 B.1 C.2 D.36.连接球体上两点的线段称为球体的弦。半径为4的球体的两个弦AB和CD的长度分别等于和的中点，并且每两个弦的两端在球体上移动。有如下四个命题：(1)弦，可相交于点(2)弦，可相交于点的最大值为5，的最小值为1真正的命题是()A.7.设置、的大小为()工商管理硕士疾病预防控制中心8.设置函数，然后，然后()A.2 B.1 C.0 D2.填空(共6项，每项8分，共48分。请在横线上填写正确答案。)9.在平面直角坐标系中，如下定义点之间的“直角距离”如果点与的“直角距离”相等，其中实数满足，则满足条件的所有点的轨迹长度之和为。10.给定集合，如果点和点满足和如果集合中的点满足不存在的其他点优于，则由所有这些点形成的集合为。11.合并相似项后多项式的展开系数为。(用数字回答)12.六角棱镜的底面是正六边形，其侧边垂直于底面。众所周知，六棱柱的顶点都在同一个球面上，如果六棱柱的体积为，底面的周长为3，球的体积为。13.将棋盘上的八个小方块染成黑色，这样每一行和每一列都正好有两个黑色方块。有不同的染色方法。(用数字回答)14.一所学校的数学课外活动小组在坐标纸上设计了一个在沙漠中植树的计划如下：第一棵树是在当时，其中，整数部分表示实数，例如，根据此方案，2008年树的种植点的坐标为。3.回答问题(共4项，共62分。需要必要的回答过程。)15.(该项的满分为14分)设置一个实数进行验证：等号是一个正实数，当且仅当或为真。16.(本项满分为14分)甲、乙双方打乒乓球单打，采用五盘三胜制(即胜者先赢三盘)。对于每一组比赛，甲赢的概率是，乙赢的概率是。如果“乙赢得冠军”的事件被称为“意外惊喜”，试着找出在这个事件中意外惊喜的概率。17.(该项的满分为16分)区间上已知函数的最小值为，阶，验证：18.(该项满分为18分)直线上的点是椭圆的切线，切点分别是、和连接(1)当一个点在一条直线上移动时，证明该直线通过该固定点。(2)当时，不动点平分线段参考答案描述：1.批改试卷时，请遵循这个评分标准。选择题和填空题应严格按照标准评分。不得设置中间等级点。2.如果考生的答题方式与此不同，只要思路合理，步骤正确，考生将根据此评分标准的相应等级进行评分。多项选择题(10题，每题5题，每题40题。每项中给出的四个答案中只有一个符合问题的要求。)1.解决方案：集合的元素：所以集合中所有元素的总和是16。选择一个2.然后，进一步求解由：设定的公共比率。因此，数字序列是以前导项和公比为单位的几何级数。显然，选择c。3.解决方案：5名志愿者有多种方式进入3个不同的奥运场馆。每个场馆至少有一名志愿者的情况可分为两类：第一类：一个场馆有3名志愿者，另两个场馆有1名志愿者。有几种这样的方法。在第二类中，一个人去一个地点，每个地点留两个人。有几种方法。因此，每个场馆至少有一名志愿者的可能性是。d.4.解：设，为与共线的任意向量，表示直线上任意点的距离，表示点到点的距离。那时，从一点和一条直线之间最短的垂直距离开始，不等式保持不变。相反，如果不等式保持不变，它必须是从一个点的垂直距离，也就是说，选择C。5.解决方法：替换中间，得到。如果点在图像上，那么点的对称点也在图像上。反之亦然，所以才是真正的命题。替换中间，得到。如果点在图像上，那么关于点的对称点也在图像上，所以是真正的命题。从是真命题，不难推断也是真命题。因此，这三个命题都是真正的命题。选择d6.解决方案：假设。相交于点。共面，所以.四个点是共圆的，弦穿过圆的中点处的弦的长度显然是错误的，所以是错误的。很容易证明，当直径的圆形表面平行于直径的圆形表面且在球中心的两侧时，最大值为5，所以是正确的。当直径的圆形表面平行于直径的圆形表面且在球中心的同一侧时，最小值为1，因此是正确的。显然是对的。因此，选择了A。7.解决方案：因为，因此，；因此，选择b。8.解：从，到，是奇数函数，单调递增。然而，所以，所以，也就是说，因此，选择d。2.填空(共6项，每项8分，共48分。请在横线上填写正确答案。)9.解决方法：1)从条件出发当时，(1)成，无解；当时，(1)成，无解；那时，变成了如果是，线段的长度为1；如果是，线段的长度为；如果是，则线段长度为4。总而言之，由点的轨迹形成的线段长度之和是。填写。10.解决方案：优于，也就是说，它位于左上角，并且“不存在的其他点优于”，也就是说，“不存在于点的左上角的点”。因此，满足条件的点集是填写。11.解答：根据多项式乘法法则，问题可以转化为求解方程。自然数解的组数不超过100。显然，方程的自然数解的个数是让我们找出方程(1)的自然数解的组数超过100。因为总和是150，所以100以上只能有一个数。让我们将等式(1)设为记住，方程的自然数解的数量是因此，的系数为0.7651。12.解决方案：因为底面的周长是3，底面的边长是，底面的面积是。因为体积是，高度是。球的直径是球的体积。填写。13.解决方案：第一行用两种黑格染料染色。第一行染色后，有如下三种情况：(1)第二行染色的黑格与第一行染色的黑格在同一行，其他行只有一种染色方法；(2)第二排染色的黑格不同于第一排染色的黑格。此时，在第三行中有一种染色方法，并且第四行中的染色方法将被相应地确定。(3)第二行染色的黑格正好有一列与第一行染色的黑格相同。有四种染色方法。在第一行和第二行染色后，第三行染色的黑格必须有一列不同于上面染色的黑格。此时此刻15.证明：从对称性出发，我们也可以设定、排序、引起和获得(3分)设定，然后寻求指导，得到.(6分)很容易知道，在那个时候，它单调地减少了。当时，有一个9点单调增加。因此，在或处有一个最大值，两者相等。因此，最大值为。(12分)从、到，其中等号仅有效或有效。(14分)16.解决方法：如果一方赢了或，如果没有竞争力的一方被替换，比赛结果不会受到影响。因此，问题就变成了：“乙方在五场比赛中至少赢三场的概率”.(3分)赢五盘的概率是：(6分)赢四场比赛输一场比赛的概率是：(9分)输掉三场比赛中两场的概率是(12分)以上结果加起来就是b赢五盘中至少三盘的概率(14分)17.解答：(1)因为，函数的定义域是，(2分)又.(5分)当时，也就是说，上面是减法函数，所以(8分)因为，所以.(12分)很容易证明，所以,(14分)。(16分)18.证明：(1)如果.设置后，椭圆交点的切线方程分别为(3分)因为两条切线相交，所以有嘿。这表明两者都在直线上。直线由两点决定，方程是直线方程，其中满足直线方程。(1)当一个点在直线上移动时，可以理解为取所有实数，对应的是代入并消去得到对于所