数学北师大版九年级上册2.5 一元二次方程根与系数的关系.ppt

2.5一元二次方程的根与系数的关系,陕西城固县沙河营初中向彦明,1.一元二次方程的一般形式是什么？,3.一元二次方程的根的情况怎样确定？,2.一元二次方程的求根公式是什么？,回忆,1.填表，观察、猜想,问题：你发现什么规律？用语言叙述你发现的规律；x2+px+q=0的两根X1，X2用式子表示你发现的规律。,根与系数关系,如果关于x的方程,的两根是,则:,如果方程二次项系数不为1呢?,问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；用语言叙述发现的规律；ax2+bx+c=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律：,一元二次方程的根与系数的关系：,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是X1,X2,那么X1+x2=,X1x2=,-,注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0,一元二次方程根与系数关系的证明：,X1+x2=,+,=,=,-,X1x2=,=,=,=,如果一元二次方程的两个根分别是、，那么：,这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理.,1、x2-2x-1=0,2、2x2-3x+=0,3、2x2-6x=0,4、3x2=4,x1+x2=2,x1x2=-1,x1+x2=,x1+x2=3,x1+x2=0,x1x2=,x1x2=0,x1x2=-,口答,1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？,练兵场,根与系数的关系的直接应用,判断对错，如果错了，说明理由,1)2x2-11x+4=0两根之和11，两根之积4,3）x2+2=0两根之和0，两根之积2,4）x2+x+1=0两根之和-1，两根之积1,2)4x2+3x=5两根之和两根之积,补充规律：,两根均为负的条件：X1+X2且X1X2.,两根均为正的条件：X1+X2且X1X2.,两根一正一负的条件：X1+X2且X1X2.当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac0,引申:1、若ax2bxc0(a00)（1）若两根互为相反数,则b0;（2）若两根互为倒数,则ac;（3）若一根为0,则c0;（4）若一根为1,则abc0;（5）若一根为1,则abc0;（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.,典题讲解：,例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1,x2。求：,(1)(2)x12+x22,解：,由题意可知x1+x2=-,x1x2=-3,(1),=,=,=,(2)(x1x2)2x12+x222x1x2,x12+x22(x1x2)2-2x1x2,(-)2,-2(-3)6,变式练习：设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。,（2）,（1）,（3）（x1-x2）2,典题讲解：,例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。,解：,设方程的另一个根为x1.,把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0,解这方程，得k=-2,由根与系数关系，得x123k,即2x16,x13,答：方程的另一个根是3,k的值是2。,典题讲解：,例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。,解二：,设方程的另一个根为x1.,由根与系数的关系，得,x12=k+1,x12=3k,解这方程组，得,x1=3,k=2,答：方程的另一个根是3,k的值是2。,试一试,1、已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。,2、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。,解：设方程的另一个根为x1,则x1+1=,x1=,又x11=,m=3x1=16,解：,由根与系数的关系，得,x1+x2=-2,x1x2=,(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=,3、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。,拓广探索,解：由方程有两个实数根，得,即-8k+40,由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2,X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4,由X12+x22=4，得2k2-8k+44,解得k1=0,k2=4,经检验，k2=4不合题意，舍去。,k=0,2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.,3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当时，才能应用根与系数的关系.,1.一元二次方程根与系数的关系是什么?,总结归纳,1.已知方程的一个根是