江苏淮安清江中学等四校高一数学期中联考

江苏省淮安市清江中学等四校2018-2019学年高一数学下学期期中联考试题（含解析）一、选择题：(每题4分，共40分)1.直线倾斜角为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由直线方程求出直线的斜率，再由斜率是倾斜角的正切值求解【详解】由直线xy+30，得其斜率为k1，设直线的倾斜角为（0），由tan1，得故选：A【点睛】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题2.在ABC中，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设Ak，B2k，C3k，由，得6k180，k30，A30，B60 ，C90，abcsin Asin Bsin C12故选C3.如图，在正方体中，直线与的位置关系是（ ）A. 平行B. 相交C. 异面但不垂直D. 异面且垂直【答案】D【解析】由图形可知，两条直线既不相交也不平行，所以是异面直线，故选D.4.棱长和底面边长均为1的正四棱锥的体积为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】底面边长和侧棱长均为1的正四棱锥SABCD中，连结AC、BD交于点O，连结SO，则SO底面ABCD，AO，由此能求出正四棱锥的体积【详解】如图，底面边长和侧棱长均为1的正四棱锥SABCD中，连结AC、BD交于点O，连结SO，则SO底面ABCD，S正方形ABCDABBC111，AO ， ，正四棱锥的体积：V故答案：C【点睛】本题考查正四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题5.若直线过第一、三、四象限，则实数满足（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形知a0且b0【详解】直线过第一、三、四象限，如图所示；则a0，-b0即a0且b0故选：C【点睛】本题考查了直线方程的应用问题，是基础题6.在ABC中，角的对边分别为a，b，c,若，则（ ）A. B. C. 3D. 【答案】C【解析】【分析】由3bcosCc（13cosB）利用正弦定理可得3sinBcosCsinC（13cosB），化简整理即可得出【详解】由正弦定理，设，3bcosCc（13cosB）3sinBcosCsinC（13cosB），化简可得 sinC3sin（B+C）又A+B+C，sinC3sinA，因此sinC：sinA3：1故选：C【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.7.已知m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是 ( )A. 若则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】试题分析：由A选项若.则直线可能是异面、相交或平行三种位置关系都可以.所以A不正确.选项B若，则直线可以垂直也可以不垂直.所以B选项不正确.选项C若，则直线平行.所以C选项不正确.因为，则成立.所以选D.考点：1.直线与平面的位置关系.2.平面与平面的位置关系.3.空间想象能力.8.已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（ ）A. 24B. 20C. 0D. 【答案】B【解析】两直线互相垂直，k1k21，1，m10.又垂足为(1，p)，代入直线10x4y20得p2，将(1，2)代入直线2x5yn0得n12，mnp20.故答案选B。9.如图，四边形是边长为1的正方形，且，为的中点则下列结论中不正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意，取中点，易知就是二面角的平面角，有条件可知，所以平面与平面不垂直，故C错误。故选C。10.已知点，O为坐标原点，P，Q分别在线段AB,BO上运动，则MPQ的周长的最小值为( )A. 4B. 5C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别作点M关于AB和OB的对称点M1，M2，则周长的最小值就是M1与M2两点间的距离【详解】过M（1，0）作直线AB的垂线，并延长到M1，连接PM1；过M作直线OB的垂线，并延长到M2，连接QM2，则PMPM1，QMQM2，所以MPQ的周长为：PQ+PM+QMPQ+PM1+QM2M1 M2，当且仅当M1、P、Q、M2四点共线时等号成立，直线，设根据对称性知道： 求得M1（3，2），M2（1，0）所以M1M2故选：C【点睛】本题考查了点关于直线对称的问题，属基础题点关于直线的对称点的求法，通常设出对称点的坐标，之后根据两点的中点在对称直线上，以及两点的斜率和已知对称直线互为负倒数，列出两个方程求解对称点即可.二、填空题：(每题6分，共36分)11.过点(1,0)且与直线x2y20垂直的直线方程是_【答案】【解析】【分析】根据题干可得到直线的斜率，再由点斜式方程的写法得到结果.【详解】过点(1,0)且与直线x2y20垂直的直线方程,可知直线的斜率为-2，根据点斜式方程的写法可得到直线方程为：.整理成一般式得到：故答案为：【点睛】这个题目考查了已知直线的位置关系，求直线方程，属于基础题目.12.在ABC中,已知30,则B等于_。【答案】【解析】【分析】根据三角形正弦定理得到角，再由三角形内角和关系得到结果.【详解】根据三角形的正弦定理得到，故得到角，当角时，有三角形内角和为，得到，当角时，角 故答案为：【点睛】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.13.表面积为3的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为_【答案】2【解析】【分析】设展开的半圆的半径为，底面圆的半径为，圆锥的表面积为侧面积加底面积，列式得到，【详解】设展开的半圆的半径为，底面圆的半径为，圆锥的表面积为侧面积加底面积，侧面积就是这个半圆的面积：，底面积为：，因为半圆的弧长等于底面圆周的周长，故，根据表面积为3得到：故底面直径为：2.故答案为：2.【点睛】这个题目考查了扇形的面积公式和圆锥的表面积的组成，属于简单题.14.已知点(x，y)在直线2xy50上运动，则的最小值是_.【答案】【解析】【分析】x2+y2的最小值可看成直线2x+y+50上的点与原点连线长度的平方最小值，由点到直线的距离公式可得【详解】x2+y2的最小值可看成直线2x+y+50上的点与原点连线长度的平方最小值，即为原点到该直线的距离平方d2，可看成直线2x+y+50上的点与原点连线的长度，由点到直线的距离公式易得d的最小值为，故答案为：.【点睛】本题考查点到直线的距离公式，转化是解决问题的关键，属基础题15.三棱柱中，两两成角，点分别为线段上的点，且，则三棱锥的体积与三棱柱体积之比为_。【答案】【解析】【分析】根据题干和体积公式，用得到相应的体积表达式，进而得到比值.【详解】设棱柱的高为：，棱锥的高为，棱锥的体积是，三棱锥的体积等于设三角形的高为，根据E点为中点得到三角形的高为， 三棱锥的体积等于 棱柱的体积为： 故体积之比为：.故答案为：【点睛】这个题目考查了三棱锥的体积的公式，棱柱的体积公式的应用，属于基础题.16.在中，则 【答案】【解析】试题分析： ，因此所以考点：正余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.三、解答题：17.如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PA平面ABCD，E为PD的中点 求证：（1）PB平面AEC；（2）平面PCD平面PAD【答案】（1）详证见解析；（2）详证见解析.【解析】【分析】（ 1）可通过连接交于，通过中位线证明和平行得证平面。（ 2）可通过正方形得证，通过平面得证，然后通过线面垂直得证面面垂直。【详解】（ 1）证明： 连交于O, 因为四边形是正方形 ,所以 ,连，则是三角形的中位线, ,平面， 平面 所以平面 . （2）因为平面 ,所以 , 因为是正方形，所以, 所以平面, 所以平面平面.【点睛】证明线面平行可通过线线平行得证，证明面面垂直可通过线面垂直得证。18.ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求角C；（2）若，ABC的面积为，求的值。【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式和正弦定理把化成，从而得到，也就是.（2）利用面积公式和余弦定理可以得到以及，配凑后得到也就是.解析：（1）由，得，由正弦定理得，角为的内角，.（2），的面积为，即，由余弦定理得，即，将代入得，.19.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积（3）求的平分线所在直线方程。【答案】（1）； （2）24； （3）.【解析】【分析】(1)根据中点坐标公式得到结果；（2）以为底，有点线距离求得四边形的高，进而得到面积；（3）根据正弦定理得到,再由向量坐标化得到点E的坐标，进而得到直线方程.【详解】(1)AC中点为，该点也为BD中点，设，根据中点坐标公式得到：解得：； （2）故得到斜率为：，代入点坐标可得到直线BC： ，A到BC的距离为， 又根据两点间距离公式得到： ，四边形ABCD的面积为. (3) 在三角形ACD中，设的平分线与CD交于点E，由角平分线定理可得,所以，设从而E的坐标为，又，所以所求的方程为。【点睛】这个题目考查了直线方程求法，点斜式方程的写法，以及点线距离公式的应用，角平分线定理的证明，即通过正弦定理得证的结论，属于有一定的综合性的题目.20.如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形.已知，.（1）设是上的一点，证明：平面平面；（2）当点位于线段什么位置时，平面？（3）求四棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时（3）24.【解析】试题分析：（1）证明面面垂直，首先根据判定定理，先找线面垂直，证明平面；（2）根据线面平行，线线平行，所以连接，连接，那么，先证明点的位置，再说明的位置；（3）根据前两问的过程，可知等边三角形的高，就是棱锥的高，求梯形的面积，试题解析：解：（1）平面平面，平面平面=AD（2）当M为PC的三等分点，即2CM=MP时，结论成立证明：连AC交BD与点O（3）易证平面考点：1面面垂直的判定；2线面平行的性质；3几何体的体积21.已知矩形ABCD的边AB=2，BC=1，以A为坐标原点，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，建立直角坐标系。将矩形折叠，使A点落在线段DC上，重新记为点(1)当点坐标为(1,1)时，求折痕所在直线方程.(2)若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；(3)当时，设折痕所在直线与轴交于点E，与轴交于点F，将沿折痕EF旋转使二面角的大小为，设三棱锥的外接球表面积为，试求最小值.【答案】（1）； （2）； （3）.【解析】【分析】（1）根据两个点关于直线对称得到对称直线的斜率，由中点坐标公式得到中点，代入直线可得到结果；（2）当时，此时A点与D点重合，折痕所在直线方程为；当时，A点落在线段同DC上的点记为G(，1)，根据对称性得到直线斜率和直线上的点，由点斜式得到结果；（3）根据题意可得到EF的中点G为外接球的球心，根据两点间距离公式可得到半径，进而求解.【详解】(1)折叠后，根据点关于线对称得到直线的斜率为：，两个点的中点为：在直线上，故易求所在直线方程为：.(2)当时，此时A点与D点重合，折痕所在直线方程为 当时，将矩形折叠后A点落在线段同DC上的点记为G(，1) ()，则A与G关于折痕所在直线对称，得 故线段OG中点，所以折痕所在直线方程为：即综上所述，所求折痕所在直线方程为.(3)由（2）当时，折痕所在直线与轴交于点E，与轴交于点F，则，记EF中点为G点，根据直角三角形中线的性质得到：，故得到G点为球的直径；球的直径即为，所以所以 , 所以最小值为.【点睛】这个题目考查了点关于直线的对称问题，以及翻折问题，翻折问题需要注意翻起之前和翻起之