第二章函数教案示例二人教

第二章 函数教案示例二http:/www.DearEDU.com1本节知识结构：2教学目的与要求： （1）使学生理解函数的概念，明确决定函数的三个要素，即定义域、值域和对应法则 能区别由解析式（如yx2、y2x）所确定的对应法则，能判断这些对应法则是不是函数（2）掌握函数的三种主要表示方法，即解析法、列表法、图象法 使学生能用这些方法表示一些简单的函数，如用解析法表示中心在原点，半径为1的圆位于x轴的上面部分；用列表法和图象法表示各学期的数学考试成绩，等等（3）会求某些函数的定义域，如求用多项式、分式、根式、绝对值等所表示的函数的定义域（4）会画一些简单函数的图象，特别是借助图形计算器或计算机画出给定了解析式的函数图象（5）使学生学会用函数观点解释某些事物的变化规律，养成用运动、变化的观点研究事物变化的习惯如利用图表研究股市中的股票的走势，利用解析式研究物体平抛运动中时间与距离的关系， 等等3教材分析与教学建议：（1）本小节计划两课时，第一课时学习函数的概念与表示法，第二课时学习函数的表示法与函数图象的画法（2）本小节的重点是在映射的基础上理解函数的概念，可能遇上的难点是函数的表示法，如对记号yf（x）的理解（3）本小节从初中学过的函数概念说起，然后用映射概念来理解函数概念（为了便于比较，下面称它为函数的近代定义而称用变量叙述的定义为函数的传统定义）在复习传统定义时，可以给学生安排以下学习情境：用图形计算器或计算机画出yx2的图象，在yx2的图象上任取一点P，测出点P的坐标（x，y），然后拖动点P的位置，观察点P的横坐标x与纵坐标y的关系 图24通过这一活动，使学生认识到函数的本质中蕴含着运动与变化，并且这种运动与变化通常是有规律的在图24中，随着点P位置的改变，点P的横坐标x与纵坐标y都在变化，但无论点P在哪个位置，点P的横坐标x的平方总等于纵坐标y（即自变量x的平方等于函数值y） （4）用映射刻划函数的近代定义可以这样叙述：设A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：AB就叫做A到B的函数，记作 yf（x）其中xA，yB原象集合A叫做函数yf（x）的定义域，象集合C叫做函数yf（x）的值域很明显， 函数的近代定义与传统定义在实质上是一致的两个定义中的定义域与值域的意义完全相同，两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同传统定义是从运动变化的观点出发，其中的对应法则是将自变量的每一取值与唯一确定的函数值y对应起来；近代定义的对应法则是映射，即从集合、对应的观点出发，其中的对应法则是将原象集合中的任一元素与象集合中的唯一确定的元素对应起来从历史上看，传统定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性，而要说清楚变量以及两个变量问相依变化的关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了不必要的限制如果只根据变量观点，有些函数就很难进行深入研究例如 f（x）对这个函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强，也说不出x的物理意义是什么但用集合、对应的观点来解释，就十分自然从这个意义上来说，函数的近代定义更具一般性实际上，我们在这里说的传统定义，已经渗透了集合、对应的观点如“按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应”，已经十分接近近代定义了不过，由于用变量观点描述函数比较生动、直观，所以现在仍然广泛使用着传统定义，今后，为了方便，我们有时也仍然使用传统定义 当然，更重要的是由函数的近代定义可知，函数f：AB只不过是集合A，B是非空的数的集合的一种特殊的映射 由于映射在近代数学中是一个极其重要且应用广泛的概念，所以了解一下函数与映射的上述关系是有好处的，可以为今后进一步学习各类映射作好准备但不必引伸更多的内容 普通高中数学课程标准（实验）指出：“函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质。函数概念的引入一般有两种方法，一种方法是先学习映射，再学习函数；另一种方法是通过具体实例，体会数集之间的一种特殊的对应关系，即函数。考虑到多数高中学生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，建议采用后一种方式，从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念。再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解。像函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用。”由于本书在2.1节已经学习了映射的概念，注意到以上的要求，让学生“通过具体实例，体会数集之间的一种特殊的对应关系”，连续列举了三个对应关系的例子。在教学时，还可以让学生“联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数”再举出一些例子，但是要抓住“两个集合、一个对应关系”函数的三要素这一特征，认识函数概念的本质：“都涉及到两个集合A与B，并且对于集合A中的每一个元素，集合B中都有惟一的元素y与它对应，这样的对应称为A到B的函数。”这里还需要注意集合A与B都是数集。由于分段函数学生接受比较困难，但是分段函数又是普遍存在，比较重要的一类函数，因此书中列举了两个分段函数的例。教学上不必要求学生的认识一次完成，可以根据学生的具体情况，采取不同的要求。 （5）对应法则、定义域和值域是函数的三要素 一般地说，在函数记号yf（x）中，f代表对应法则等式yf（x）表明，对于定义域中的任意x，在“对应法则f”的作用下，即可得到y当情况比较简单时，对应法则f可用一个解析式来表示但在不少问题中，对应法则f也可能不便用或不能用一个解析式来表示，这时，就必须采用其他方式，如数表或图象等 定义域（或原象集合）是自变量x的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分定义域不同而解析式相同的函数，是两个不同的函数例如，二次函数yx2，它的定义域通常是实数集但当考察正方形的边长与面积的关系时，它的定义域是正实数集显然，这两个函数是不同的函数它们的不同也可从它们的图象相异来得到验证，又如y和y，同样可由它们的定义域与图象来验证它们是不同的函数在中学阶段，所研究的函数通常都是能够用解析式表示的如果未加特别说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x 的集合在实际问题中，还必须考虑自变量x 所代表的量的允许值范围 值域是全体函数值所成的集合，在多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定 （6）函数符号yf（x）是学习的难点教学时首先要强调符号“yf（x）”为“y是x的函数”这句话的数学表示，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于与x的乘积”，f（x）也不一定是解析式；其次要用具体的函数来说明符号yf（x）的含义，符号f（a）与f（x）既有区别又有联系，f（a）表示当自变量xa 时函数f（x）的值，是一个常量，而f（x）是自变量x的函数在一般情况下，它是一个变量，f（a）是f（x）的一个特殊值 （7）函数的表示方法主要介绍三种常用的表示方法，即解析法、列表法和图象法 解析法就是将两个变量的函数关系，用一个等式表示在中学阶段，所研究的函数主要是能够用解析式表示的函数解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值 列表法就是列出表格来表示两个变量的函数关系这种方法学生是熟悉的，初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表等都是用列表法表示函数关系的学生生活中也遇到过列表法，如银行中利率表、列车时刻表等等，都是列表法表示的教材中国民生产总值表也是其中的一种列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，这种表格常常用到实际生产和生活中去图象法就是用图象来表示两个变量的函数关系这种方法的优点是直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质教材中图24是我国人口出生率变化曲线，它可以直观地表现出我国从60年代开始控制人口增长以来，人口出生增长率基本是下降的图象法也常常用到生产和生活中去，如工厂的生产图象以及股市走势图等都是这样的例子（8）例2是求函数定义域的例子教学时，可先让学生用图形计算器或计算机画出函数的图象，再通过观察图象得出定义域的直观印象，再用课本上的方式进行表述 例如，例2（1）的图形如下：图25由图可直观地知道函数的定义域为x| x2解答书写如下： 因为x2时，分式没有意义；而x2时，分式有意义所以，这个函数的定义域是x| x2 这样书写紧扣函数定义域的含义其他几个例子也要说明这种因果关系，进而得到所求定义域（9）在教学例4、例5、例6时，要注意下面几点：例4是一个三种函数表示法都能表示的函数，可让学生自行总结，并给出列表法；三个例子的图象应由学生借助图形计算器或计算机自行画出；函数的图象不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可以是一些点，一些线段，一段曲线等；表示函数的式子也可以不止一个（见例5），对于这类分几个式子表示的函数，应注意不要把它误认为是“几个函数”，而是分段函数； 在教学例6时，可以给学生创设以下学习情境：让学生先用图形计算器或计算机作出给定了值的函数图象，在观察所作图象的特征后，自己再给一些的值画图（也可以在图形计算器或计算机上作出函数的图象随值变化的动态效果图），由所作图自行总结出一些有规律性的东西，如：k0时，图象在第一、三象限，与坐标轴没有交点；k0时，四个象限都有函数的图象，图象与x轴有两个关于原点对称的交点，等等（10） 函数的三种表示法各有优点，有的函数三种表示法都能用，有的函数则只能用某些表示法来表示中学遇到的函数大多数有解析表示法，并且大多数能借助于图形计算器或计算机画出函数的图象所以，在教学函数表示法时，应让学生用图形计算器或计算机多画一些给定了解析式的函数的图象，这样，不仅有利于学生理解函数解析式的意义，也可以加强学生数形结合的观念 例如，可补充如下函数，让学生用图形计算器或计算机画出图象：y；y；y； y上述四个函数的图象依次为：图26图27图28图29 （11）本节提供的“数学实验”，是例