高二数学抛物线的定义标准方程及几何性质文人教实验B

高二数学 抛物线的定义；标准方程及几何性质（文）人教实验B版【本讲教育信息】一. 教学内容：抛物线的定义；标准方程及几何性质二. 本周学习目标 掌握抛物线的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求抛物线的方程，掌握抛物线的几何性质。了解抛物线的参数方程，能根据方程讨论曲线的性质，掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法，能够正确熟练地解决有关直线和抛物线的位置关系的一些问题。三. 考点分析（一）抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。（二）1. 抛物线的标准方程、图像及几何性质： 焦点在轴上，开口向右焦点在轴上，开口向左焦点在轴上，开口向上焦点在轴上，开口向下标准方程图 形顶 点对称轴轴轴焦 点离心率准 线通 径（是过焦点的所有弦中最短的弦）焦半径焦准 距2. 抛物线标准方程中p的几何意义是：焦点到准线的距离，故p03. 抛物线的标准方程中，一次项的变量决定对称轴，一次项的符号决定开口方向。4. 弦长公式：（1）过焦点F（,0）的弦长：x，x分别为弦AB的端点的横坐标，y,y分别为弦AB的端点的纵坐标，弦|AB|x+x+p，yyp（2）一般的弦长公式：类似于椭圆，x，x分别为弦PQ的横坐标，y,y分别为弦PQ的纵坐标，弦PQ所在的直线方程为y=kx+b,代入抛物线方程整理得Ax+Bx+C=0,则，若y,y分别为弦PQ的纵坐标，则5. 斜率为k的弦的中点的轨迹方程是：y=,一条平行于x轴且不包括端点在抛物线内部的射线。6. 与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切（2）设AB为焦点弦，端点在准线上的射影为A，B，M为准线与x轴的交点，则AMFBMF（3）若P为AB的中点，则PAPB（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。7. 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。【典型例题】 例1. 指出抛物线的焦点坐标、准线方程（1）（2）分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中的哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程。（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程解：（1），焦点坐标是（0，1），准线方程是： （2）原抛物线方程为： ， 当 时， ，抛物线开口向右，焦点坐标是 ，准线方程是： 当 时， ，抛物线开口向左，焦点坐标是 ，准线方程是： 综合上述，当 时，抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程是： 例2. 分别求满足下列条件的抛物线的方程。过点B（-3,2）；焦点在直线上解：（1）依题意，设所求抛物线的方程为抛物线过点B（-3,2），代入得代入得所求抛物线的方程为（2）令， 令抛物线的焦点坐标为（0，-2）或（4，0）当焦点坐标为（0，-2）时，抛物线的方程为当焦点坐标为（4，0）时，抛物线的方程为反思：抛物线的开口方向有四种，相应的标准方程的形式也就有四种，因此，在解题时要利用图形全面分析，防止遗漏符合题设条件的某个开口方向，从而防止遗漏符合题设条件的抛物线的标准方程。例3. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，抛物线上的点 到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和 的值。解法一：设抛物线方程为 ，则焦点为，由题设可得： 解得或 故抛物线方程为 的值为 解法二：设抛物线方程为 ，则焦点为，准线方程为 . 根据抛物线定义， 到焦点的距离等于5，也就是 到准线的距离等于5，则 因此抛物线方程为. 又点 在抛物线上，于是 点评：解法二利用抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，既快捷又方便，要善于转化。例4. 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段。AB的长。由抛物线的标准方程可知，焦点为，准线方程为. 由题设，直线 的方程为： . 代入抛物线方程 ，整理得： . 解法一：解上述方程得： ， 分别代入直线方程得： 即 坐标分别为 、 . 解法二：设 ， ，则： =解法三：设 、 . 由抛物线定义可知， 等于点 到准线 的距离 . 即 同理 点拨：解法一利用传统的基本方法求出 两点坐标，再利用两点间距离公式求出 的长。解法二没有直接求出A、B坐标。而是利用韦达定理找到 与 的关系，利用直线截二次曲线的弦长公式 求得，这是典型的设而不求的思想方法，比解法一先进，解法三充分利用抛物线的定义，把过焦点的这一特殊的弦分成两个半径的和，转化为准线的距离，这是思维产生质的飞跃的表现。例5. 过抛物线的顶点O作两条互相垂直的弦OA，OB。求证：直线AB过定点求AOB面积的最小值解：（1）设A（）、B（）,则若 则由OAOB得，AB过点M（1，0）若则由OAOB得，又故AB的方程为：即化简得：，故直线AB恒过定点M（1,0）（2） 直线AB：，消去得方程：，故 当t=0,即ABx轴时取最小值反思：与弦有关的问题内容十分丰富，基本内容有弦长，弦终点，最值，轨迹等问题，但解题思想都一致，即由直线方程与圆锥曲线方程联立并消元，利用判别式、韦达定理使所求问题转化为方程的问题求解，或用点差法求解。【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1. 以双曲线的右焦点为顶点，左顶点为焦点的抛物线方程为（ ）A. B. C. D. 2. 若AB为抛物线（）的焦点弦，是抛物线的准线，则以AB为直径的圆与的公共点的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 0或1或23. 若抛物线的准线与双曲线的右准线重合，则的值为（ ）A. -2 B. 4C. -8 D. 24. 抛物线上一点的横坐标为6，这点的焦半径为10，则焦点到准线的距离为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 325. 已知定点A（4，3），抛物线，F为抛物线的焦点，B是抛物线的动点，则取最小值时的B点的坐标为（ ）A. （2，3）B. （1，3）C. （4，4）D. （）6. 抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，其上一点P（）到焦点的距离为5，则抛物线的方程为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）7. 抛物线向右平移个单位得一曲线，再把曲线绕其焦点逆时针方向旋转，则所得曲线的方程为_。8. 9. AB是过抛物线的焦点的弦，则的最小值为_10. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为，则等于_三、解答题（本大题共4题，共50分）11. 抛物线与过点M（0，1）的直线交于A、B两点，O为坐标原点，若OA与OB的斜率之和为1，求直线的方程。（12分）12. 如果抛物线上存在关于直线对称的两个不同的点，求a的取值范围。（13分）13. 若抛物线y=ax2-1上总存在关于直线 l：x+y=0的对称点，求a的取值范围。（12分）14. 过抛物线的焦点F作弦AB，且，直线AB与椭圆相交于两个不同的点，求直线AB的倾斜角的范围。（13分）【试题答案】1. C2. B ，相切3. B 由4. B 如图，设P点是抛物线上一点，且，由抛物线定义，知P到准线的距离为10，从而得y轴到准线的距离为4，故F到准线的距离为8。5. D 如图，由抛物线定义，当B、C、A三点共线时，最小，此时B点的纵坐标与A点的纵坐标相等，从而可确定。 6. C提示：由点P（）所在的抛物线开口向上，又P到焦点的距离为5，根据定义知，从而7. 提示：方程为即，顶点（0，0），焦点绕焦点逆时针方向旋转，新顶点为开口向上，而焦点到顶点的距离不变故得方程8. k=-49. 的最小值即通径2p10. 如图，设，知，则由，知又，11. 解：设A（，），B（，） 得： ：12. 解：设P（），Q（）是抛物线上关于直线对称的两点，另设直线PQ的方程为（直线） 一方面，直线PQ与抛物线有两个交点，则 另一方面，由