高二数学抛物线知识精讲人教实验B

高二数学抛物线知识精讲一. 本周教学内容：2.4抛物线二. 教学目的1、掌握抛物线的定义、标准方程及其几何性质；2、利用已学过的知识探究直线与抛物线的关系问题。三. 教学重点、难点重点：（1）抛物线的定义、标准方程及其几何性质；（2）直线与抛物线的位置关系问题及直线与抛物线相交所得弦的性质的探讨。难点：（1）抛物线的标准方程的推导及其几何性质的应用；（2）直线与抛物线相交所得弦的性质的探讨。四. 知识分析（一）抛物线1、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（Fl）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。说明与思考：（1）该定义用符号表示为：（其中d|MN|表示点M到直线l的距离）（2）同学们想一想，如果不强调“在平面内”，会得到什么？（3）如果定点F在直线l上，我们将得到什么？（过F且垂直于l的直线）因此在定义中我们强调了“Fl”。（4）过F向l作垂线FK，与抛物线交于点O，研究一下F，O，K三点有什么关系？（5）根据作图过程，思考一下直线FK与抛物线有什么关系？（6）如图2，在直线l上有一动点N，过N与l垂直的直线与线段NF的垂直平分线交于点M，请同学们研究一下，动点M的轨迹是什么？（显然，点M到直线l的距离等于|MF|，从而点M的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线）2、抛物线的标准方程推导方法：求曲线方程的一般步骤。建系：由定义可知直线KF是曲线的对称轴；所以把KF作为x轴可以使方程不出现y的一次项。因为线段KF的中点适合条件，所以它在抛物线上。因而以KF的中点为原点，就不会出现常数项。这样建立坐标系，得出的方程形式比较简单。（如图3）设标：设抛物线上动点M的坐标为（x，y）列关系：写方程：我们设焦点到准线的距离为|KF|p（p0），这样p的集合意义也就明确了，于是我们顺势得出焦点F和准线。这样，而我们就得到了方程：化简，整理：（p0）说明：它表示焦点在x轴正半轴上，坐标是，准线是的抛物线。事实上，抛物线的焦点还可以在x轴的负半轴、y轴的正半轴、y轴的负半轴上，会得到不同形式的抛物线的标准方程。3、设抛物线的焦点到准线的距离为p（p0），它的标准方程的四种形式及几何性质列表如下：图形标准方程y22px（p0）y22px（p0）x22py（p0）x22py（p0）对称轴x轴y轴顶点原点离心率e1（即所有的抛物线形状都相同）焦点坐标准线方程4、几个有用的结论：（1）顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线可设为y2mx或x2my。（2）过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦叫做抛物线的“通径”，利用抛物线的定义我们可以得到：抛物线的通径长等于其焦准距的2倍。如抛物线y22px（p0）的通径长等于2p。（3）设直线L为抛物线y22px（p0）过焦点的一条直线，且该直线与抛物线交于两点M，N，则利用抛物线的定义我们也可以得到，其中分别表示点M，N的横坐标。5、抛物线与双曲线比较：（1）从圆锥曲线的定义来看，虽然双曲线与抛物线有其共同点，但由于比值e的取值不同，从而双曲线与抛物线上的点的性质存在着差异；（2）曲线的延伸趋势不相同，当抛物线y22px（p0）上的点趋于无穷远时，它在这一点切线的斜率接近于x轴所在直线的斜率，也就是抛物线接近于与x轴平行；而双曲线上的点趋近于无穷远时，它的切线的斜率接近于它的渐近线的斜率；（3）双曲线有渐近线而抛物线没有渐近线（二）直线与抛物线1、直线与抛物线的位置关系（1）从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点。可通过将表示直线的方程，代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断直线L方程为Ax+By+C0，圆锥曲线方程f（x，y）0由消元（x或y），如消去y后得：ax2bxc0若a0，直线L与抛物线的对称轴平行（或重合）.若a0，设b24ac.2、直线与抛物线相交的弦长公式对于求一般弦长可以用以下求法：求弦长两交点间的距离弦长：（直线与圆锥曲线相交于A（x1，y1），B（x2，y2），直线斜率为k）（1）一般弦长公式（2）若弦过焦点：可用焦半径公式来表示弦长，简化运算如抛物线y22px（p0）：典型例题1. 判断曲线类型【例1】如图4所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线解：由于D1C1面BB1C1C，所以P到直线C1D1的距离等于P到点C1的距离。因此，“P到直线BC与直线C1D1的距离相等”实际上就是“P到定点C1的距离与到定直线BC的距离相等”。由于点P、点C1及直线BC在同一平面BB1C1C内，所以点P的轨迹所在的曲线是抛物线，选D。2. 求最值由于抛物线上的点到焦点的距离等于到其准线的距离，因此，在解决有关抛物线的最值问题时，合理转化，化折（线）为直（线），往往可以避繁就简，快速求解。【例2】若点A的坐标为（3，2），F为抛物线的焦点，点P是抛物线上一动点，则|PA|+|PF|取得最小值时，点P的坐标是（ ）A. （0，0）B. （1，1）C. （2，2）D. （0.5，1）解：如图5，点A在抛物线内部。由抛物线的定义知：|PF|等于P到准线的距离。图5根据几何关系易知|PA|+|PF|的最小值是由A点向抛物线的准线作垂线（B为垂足）时垂线段AB的长度。从而求得AB与抛物线的交点为（2，2），故选C。【例3】已知抛物线x24y，点P是抛物线上的动点，点A的坐标为（12，6），求点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和的最小值。解：如图6所示，易判断知点A在抛物线外侧。设P（x，y），则P到x轴的距离即为y的值。设P到准线y1的距离为d，则yd1。故|PA|+y|PA|+|PF|1。由图6可知，当A，P，F三点共线时，|PA|+|PF|取得最小值|FA|13。故所求距离之和的最小值为12。3. 求轨迹方程【例4】求圆心在抛物线y22x上且与x轴及抛物线的准线都相切的圆的方程。解：如图7，设圆心为P且A，F为切点，由|PA|PF|结合抛物线的定义知F为抛物线的焦点，即F。因此，P或P，从而圆的半径r1。故所求圆的方程为：或4. 求三角形的面积【例5】设O为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若|OF|a，|PQ|b，求OPQ的面积解：如图8所示，由题意知抛物线的方程为y24ax（a0），F（a，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），由抛物线的定义知：|PQ|PF|QF|所以。由得：。故。设过F的弦的斜率为k，则其方程为yk（xa），将其与抛物线方程联立知：ky24ay4a2k0。故若斜率不存在，则其两个交点为（a，2a）与（a，2a），同样有。那么因此，。（三）与抛物线的弦有关的问题常见的是求焦点弦（或非焦点弦）的弦长问题或弦中点轨迹问题。【例6】斜率为1的直线经过抛物线y24x的焦点且与抛物线相交于两点A，B，求线段AB的长解：方法一 由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F（1，0），所以直线AB的方程为yx1，将方程代入抛物线方程y24x，得（x1）24x化简，得：x26x10解之，得，将，的值代入方程，得，即A，B的坐标分别为A，B（）方法二 如图，由抛物线的定义可知由法一，可知由韦达定理，得代入式，得。方法三 同法二，有，由弦长公式，得点评：法一是求弦长的一般方法，但运算量较大，并对含有字母的方程不好处理；法二是从抛物线的定义入手，是数形结合的典型应用；法三利用了弦长公式，避免了求交点坐标，是求弦长的通解通法【例7】已知抛物线y22x，过点Q（2，1）作一条直线交抛物线于A、B两点，试求弦AB中点的轨迹方程解：方法一 设AB中点为M，并设A、B、M点坐标分别为（）（）（,y）根据题意有所求抛物线方程为。方法二 设AB的中点为M（x，y）、A（xx，yy）、B（xx，yy），则，。其中x0，得，又x0，。（以下同解法一）方法三 设过Q（2，1）的任意一条弦AB的方程为与联立，消去x，得方程的两个根y1、y2分别是弦AB两个端点A、B的纵坐标，由韦达定理可得。设AB的中点M（x，y），则有，。代入，整理得。若k不存在时，AB中点为（2，0）。（以下同解法一） 点评：本题上面给出的三种解法，都是解此类问题具有共性的方法，不管是哪一种方法都与A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），Q（2，1）点的坐标有关，并且都直接或间接的利用了如下的关系：从以上式子中消去参数x1、y1、x2、y2得到f（x，y）0，即为所求的轨迹方程。 1. 焦点为（0，）的抛物线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 2. 若抛物线（p0），经过点（2，4），则此抛物线的方程为（ ）A. B. C. D. 3. 已知抛物线，定点A（，1），动点P在抛物线上，则|PA|PF|（F为抛物线的焦点）的最小值为（ ）A. B. C. 1D. 2 4. 圆心在抛物线上，且与x轴及该抛物线的准线都相切的圆的方程为（ ）A. B. C. D. 5. 对于抛物线上任一点Q，点P（a，0）都满足，则a的取值范围是（ ）A. B. C. 0，2D. （0，2） 6. 过抛物线（a0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则的值等于（ ）A. B. 4aC. 2aD. 7. 已知点A（2，3）与抛物线的焦点的距离为5，则p_。 8. 顶点在原点，对称轴为x轴，顶点到准线的距离为的抛物线的方程是_。 9. 直线仅有一个公共点，则a_。 10. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，求抛物线的标准方程。 11. 由点P（2，0）向抛物线引弦，求弦的中点的轨迹方程。 12. k为何值时，抛物线上总存在两点，关于直线l：对称？ 13. 如图，正方形ABCD在直角坐标系内，已知一边AB在直线yx+4上，点C、D在抛物线上，求正方形的面积。 *14. 若抛物线上有三点A（2，），B（，4），C（6，），F为焦点，且|AF|、|BF|、|CF|成等差数列，求p、的值。参考答案 16：C A B B A B 7. 4 8. 9. 810. 解：双曲线的方程为，焦点F1（3，0），F2（3，0）若抛物线的焦点为F1（3，0），则抛物线的标准方程为：y212x；若抛物线的焦点为F2（3，0），则抛物线的标准方程为：y212x。 11. 解：设端点A（，），B（，），则，两式相减：，设AB中点坐标为（x，y）则，。又点（x，y）和点（2，0）在同一直线上，4，整理得。故得中点的轨迹方程为（在抛物线内的部分）。 12. 解：设抛物线