第二章函数的单调性和奇偶性教案示例人教

第二章 函数的单调性和奇偶性教案示例http:/www.DearEDU.com1本节知识结构：2教学目的与要求： （1）使学生了解增函数、减函数的概念，能判断某些常见函数的增减性（2）使学生了解偶函数、奇函数的概念，并能判断某些简单函数的奇偶性3教材分析与教学建议：（1）本小节计划三课时，可以第一课时学习函数单调性的概念与简单函数的单调性的判定，第二课时学习函数奇偶性概念与奇（或偶）函数的图象性质，第三课时学习函数的单调性与奇偶性的证明（2）本小节教材的重点是函数的单调性、奇偶性的有关概念；学生学习中可能遇上的难点是利用这些概念证明或判断函数的单调性或奇偶性，其主要原因还是对概念理解的深度不够以及代数变换技能不过关（3）学习函数的单调性时，可安排学生做如下的活动： 用图形计算器或计算机作出函数yx2的图象； 观察函数yx2的图象，并描述该图象的变化规律（可引导学生观察图象的升降情况）； 在函数yx2的图象上任找一点P，并测出其坐标； 当点P在函数的图象上 “按横坐标（即自变量）x增大”的方向移动时，观察点P的纵坐标（即函数值）y的变化规律； 图210 由学生总结规律后，导出增（减）函数的描述性定义：在区间I上，若随着自变量x增大函数值y也增大，则称函数在区间I上是增函数；在区间I上，若随着自变量x增大函数值y减少，则称函数在区间I上是减函数以上的过程，一定要在教师的引导下由学生在图形计算器或计算机上实践，只有由学生自己获得“自变量x增大时函数值y也增大（减少）”这一变化规律后，再给出增（减）函数的描述性定义，才会让学生觉得自然，并且印象深刻 这样，也完成了单调函数用图形语言表述到用符号语言表述的描述性定义的过渡（4）要使学生从单调函数的描述性定义自然过渡到教材上的定义，可安排如下活动： 让学生在区间0，上，从0开始，每隔一个单位取一个自变量的值，然后用图形 计算器或计算机算出其对应的函数值，得到下表：图211 让学生在区间0，上，从9开始，每隔01个单位取一个自变量的值，然后用图形计算器或计算机算出其对应的函数值，得到下表：图212让学生在区间0，上，从10开始，每隔10个单位取一个自变量的值，然后用图形计算器或计算机算出其对应的函数值，得到下表：图213让学生在区间0，上，任选一个自变量的值作起点，等间隔地取一批自变量的值，然后用图形计算器或计算机算出其对应的函数值，得到一个表，如：图214让学生结合函数单调性的描述性定义，观察以上表格，然后表述自己发现的规律；期望学生或引导学生得出结论：四个表格都说明，任选两个自变量的值，自变量大的函数值也大；给出增函数的定义；让学生自行研究减函数的定义 （5）本小节例1的答案是，f（x）在区间5，2，1，3上是减函数；在区间2，1，3，5上是增函数学生很可能提出这样的一个问题：在两个区间的公共端点处，比如在点x2处，这个函数是增函数还是减函数?这里应向学生讲清楚，函数的单调性是对某个区间而言的对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题另一方面，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以必须注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点 （6）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，有些函数在整个定义域内具有单调性例如，例3中的函数ykx32，当k0时就是这样一个函数 有些函数在定义域内某些区间上是增函数，而在另一些区间上是减函数如教材中例1，又例如函数yx2在（，0）是减函数，在（0，）是增函数 有些函数没有单调区间，或者它的定义域根本就不是区间例如函数y5x，（x1，2，3） （7）本小节中例2证明了函数f（x）在区间（0，）上是减函数，同样可以证明它在（，0）上也是减函数，这可布置给学生作课堂练习 注意：x0不属于函数f（x）的定义域因此，切不可把这里的区间（0，） 误写成（0，），也不可说f（x）在区间（，）上是减函数（8）函数的单调区间是不能求并的，即使单调性相同的区间也如此 如例1中，f（x）在区间5，2，1，3上都是减函数，但不能说f（x）在集合5，21，3上是减函数（9）教材在给出函数的奇函数与偶函数的定义前，给出的图215、图216，可作为学生的活动内容 学生在活动中，通过改变点P的位置，自己发现：点P与点P是关于y轴（或原点）对称的一对点，它们都在函数的图象上；若将函数yx2与函数yx3的定义域在数轴上用点表示出来，都是关于原点对称的点的集合；利用图215，可获得f（x） f（x）；利用图216可获得f（x） f（x） 图215 图216 学生的以上发现，不仅为给出奇函数和偶函数的定义作好了准备，也解决了奇函数与偶函数的图象的对称性问题（10）判断一个函数是奇函数，或者是偶函数，或者既不是奇函数也不是偶函数，叫做判断函数的奇偶性这是在研究函数的性质时应予考察的一个重要方面对于一个奇函数或偶函数，根据它的图象关于原点或y轴对称的特性，就可由自变量取正值时的图象和性质，来推断它在整个定义域内的图象和性质 结合讲解奇函数与偶函数的定义，可以分析一下最简单的几个函数的奇偶性例如：yx与yx1是奇函数；yx2与yx2是偶函数；y与y既不是奇函数也不是偶函数，因为它们的定义域分别是0， 与（0，） ，即x取负值时函数无意义，所以不能满足奇函数与偶函数的定义当然，也可以让学生用计算机或计算器分别画出上述函数的图象，由函数图象是否关于原点或y轴对称来判定函数是奇函数还是偶函数 （11）教材中例4是根据奇函数、偶函数的定义判断函数的奇偶性有时也可以根据下面的式子来判断函数的奇偶性：f（x）f（x）0对于定义域内任意一个x，有 f（x）f（x）0成立，则f（x）为偶函数； 对于定义域内任意一个x有f（x）f（x）0成立，则f（x）为奇函数教学例4时，函数的图象可由学生用图形计算器或计算机自己画出 （12）教材中例5的证明是个难点讲解时要紧扣奇函数与增函数的定义，同时要层次分明，思路清晰比如，可按以下步骤引导学生思考： 把题目的要求具体化设x1，x2（，0），即x10，x20 ，且设x1x2，要判断f（x1）与f（x2）的大小 为利用f（x）在（0，）上所具有的性质，转而考虑x1，x2的相反数x1，x2，易知x10，x20，且x1x2 因为f（x）在（0，）上是增函数，所以f（x1）f（x2） 根据f（x）是奇函数的条件，有f（x1）f（x1），f（x2）f（x2），所以，由上面的式子可知f（x1）f（x2），即证得f（x）在（，0）上是增函数 （13）教材中“奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称”这两个结论是通过观察图象得出的为了不增加教学上的难度，此处没有给予证明，如果学生复习了初中学过的平面内任意一点P（x，y）与点P（x，y）关于坐标原点对称；点P（x，y）与点P（x，y）关于y轴对称的知识，这两个结论证明也是不难的下面的证明供参考： 设函数f（x）是奇函数，则有f（x） f（x）如图24（1），在f（x）的图象上任取一点P（a，f（a），那么点关于原点的对称点是点P（a，f（a），即点P（a， f（a）而点P（a， f（a）是函数f（x）的图象上的点这就是说，函数f（x）图象上任意一点关于原点的对称点都在函数f（x）的图象上，所以函数f（x）的图象关于原点成中心对称图217偶函数的图象关于y轴成轴对称图形，证明过程可以仿照上述证明过程证得（14） 通过教材中的图213，可以让学生认识到有的函数既是增函数又是奇函数，由此，教学中可进一步启发学生思考以下问题：是否存在既是减函数又是奇函数的函数? 若存在，找出一个符合这样条件的函数；若不存在，说明理由；是否存在既是增函数又是偶函数的函数? 若存在，找出一个符合这样条件的函数；若不存在，说明理由；是否存在既是减函数又是偶函数的函数? 若存在，找出一个符合这样条件的函数；若不存在，说明理由；是否存在既是奇函数又是偶函数的函数? 若存在，找出一个符合这样条件的函数；若不存在，说明理由学生思考中，可以给他们下列函数让他们作出图象以帮助思考： yx3，yx2，yx1，y2x，y0（1x1）教师要帮助学生总结出以下结论：yx3既是减函数又是奇函数；y0（1x1）既是奇函数又是偶函数；既是增函数又是偶函数，或既是减函数又是偶函数的函数是不存在的 这是因为，对函数定义域中任意的两个自变量的取值x1、x2（x1x2），增（或减）函数都有f（x1）f（x2）若f（x）是偶函数，则必有f（x1）f（x1），且f（x2）f（x2），但x1x1与x2x2是不可能同时成立的，否则x1x20（15）本节的“数学实验”，是研究函数f（x）的性质 在学生活动中，要指导学生总结的不同取值对函数性质的影响 由于图形计算器或计算机的使用，使得函数的性质的研究变得自然且方便，所以，可视教学的具体情况补充一些问题 如：设aR，函数f（x）x3ax在区间1，上单调，求a的取值范围图218此问题的解决步骤如下：利用图形计算器或计算机作出函数f（x）x3ax的图象，图象可由a的变化而变化通过变化a，观察函数f（x）x3ax的图象的变化，对a的范围可作出猜想：a3下面证明：当函数f（x）x3ax在区间1，上单调时，a的取值