重庆江北中学校高级高三数学测

重庆市江北中学校高2009级数学测试题（2008年7月）时间：120分钟 满分：150分 姓名 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1若（表示虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2设函数,集合M=,P=,若M P,则实数a的取值范围是 ( ) A (-,1) B.(0,1) C.(1,+) D. 1,+)3设（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D不充分也不必要条件4给出下列命题：对任意实数，都存在一个实数，使得；两个非零向量a与b垂直的充要条件是|a+b|=|a-b|；如果两条直线和平面满足，且，则；任意一个实数，使.其中真命题的序号是 ( )A B C D5在棱长为1的正四面体PABC中，棱PA与BC的距离是 （ ）A B C D6两位同学去某大学参加自主招生考试，根据右图学校负责人与他们两人的对话，可推断出参加考试的人数为 （ ）A19 B 20 C21 D227设定义在上的函数满足，若，则( ) 8设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）A2 B C D9（08年山东卷）函数y = lncosx (-x的图象是 （ ）10（08年北京卷）如图，动点在正方体的对角线上过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于设，则函数的图象大致是（ ）ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分11若的展开式中，第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 。12。13函数在处的导数值为 。14（08年湖南卷）设函数存在反函数,且函数的图象过点(1,2),则函数的图象一定过点 。15（08年福建卷）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 。16（08年北京卷）已知函数，对于上的任意，有如下条件：；其中能使恒成立的条件序号是 。三、解答题：本大题共6个小题，满分76分17（13分）（08年北京卷）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者（）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列18（13分）ACBP（08年北京卷）如图，在三棱锥中，（）求证：； （）求二面角的大小；（）求点到平面的距离19（13分）（08年天津卷）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为（）求乙投球的命中率；（）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率20（13分）有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚14 m时，梯子上端下滑的速度21（12分）（08年天津卷）如图，在四棱锥中，底面是矩形已知（）证明平面；（）求异面直线与所成的角的大小；（）求二面角的大小22（12分）函数的定义域为（为实数）. （）当时，求函数的值域； （）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围； （）求函数在上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1若（表示虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ D ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2设函数,集合M=,P=,若M P,则实数a的取值范围是 ( C ) A (-,1) B.(0,1) C.(1,+) D. 1,+)3设（ A ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D不充分也不必要条件4给出下列命题：对任意实数，都存在一个实数，使得；两个非零向量a与b垂直的充要条件是|a+b|=|a-b|；如果两条直线和平面满足，且，则；任意一个实数，使.其中真命题的序号是 ( B )A B C D5在棱长为1的正四面体PABC中，棱PA与BC的距离是 （ A ）A B C D6两位同学去某大学参加自主招生考试，根据右图学校负责人与他们两人的对话，可推断出参加考试的人数为 （ B ）A19 B 20 C21 D227设定义在上的函数满足，若，则( B ) 8设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ D ）A2 B C D9（08年山东卷）函数y = lncosx (-x的图象是 （ A ）10（08年北京卷）如图，动点在正方体的对角线上过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于设，则函数的图象大致是（ B）ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分11若的展开式中，第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为210 。12。13函数在处的导数值为 100! 。14（08年湖南卷）设函数存在反函数,且函数的图象过点(1,2),则函数的图象一定过点 。(-1,2)15（08年福建卷）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 。916（08年北京卷）已知函数，对于上的任意，有如下条件：；其中能使恒成立的条件序号是 。三、解答题：本大题共6个小题，满分76分17（13分）（08年北京卷）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者（）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列解：（）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是（）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是（）随机变量可能取的值为1，2事件“”是指有两人同时参加岗位服务，则所以，的分布列是13ACBEP18（13分）（08年北京卷）如图，在三棱锥中，（）求证：； （）求二面角的大小；（）求点到平面的距离解法一：（）取中点，连结，ACBDP，平面平面，（），ACBEP又，又，即，且，平面取中点连结，是在平面内的射影，是二面角的平面角在中，ACBDPH二面角的大小为（）由（）知平面，平面平面过作，垂足为平面平面，平面的长即为点到平面的距离由（）知，又，且，平面平面，在中， 点到平面的距离为解法二：（），又，平面平面，（）如图，以为原点建立空间直角坐标系ACBPzxyHE则设，取中点，连结，是二面角的平面角，二面角的大小为（），在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离如（）建立空间直角坐标系，点的坐标为点到平面的距离为19（13分）（08年天津卷）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为（）求乙投球的命中率；（）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率（）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B由题意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率为解法二：设设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B由题意得，于是或（舍去），故所以乙投球的命中率为（）解法一：由题设和（）知故甲投球2次至少命中1次的概率为解法二：由题设和（）知故甲投球2次至少命中1次的概率为（）由题设和（）知，甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中2次。概率分别为，所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为20（13分）有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚14 m时，梯子上端下滑的速度解:设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5,当下端移开1 4 m时，t0=,又s= (259t2)(92t)=9t,所以s(t0)=9=0 875(m/s)21（12分）（08年天津卷）如图，在四棱锥中，底面是矩形已知（）证明平面；（）求异面直线与所成的角的大小；（）求二面角的大小（）证明：在中，由题设可得于是.在矩形中，.又，所以平面（）解：由题设，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.在中，由余弦定理得由（）知平面，平面，所以，因而，于是是直角三角形，故所以异面直线与所成的角的大小为（）解：过点P做于H，过点H做于E，连结PE因为平面，平面，所以.又，因而平面，故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，从而是二面角的平面角。由题设可得，于是再中，所以二面角的大小为22（12分）函数的定义域为（为实数）. （）当时，求函数的值域； （）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围； （）求函数