重庆市一中学年高二数学下学期期末考试试题文 (1)

重庆市一中2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题 文（含解析）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题意的）1.已知集合，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解出集合、，再利用集合的交集运算规律可得出集合。【详解】，故选：A。【点睛】本题考查集合的并集运算，解题的关键在于集合并集运算律的应用，在处理无限集之间的运算时，可以利用数轴来强化理解，考查计算能力，属于基础题。2.双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】从双曲线的标准方程中得出、，即可求出双曲线的离心率。【详解】由题意可知，因此，双曲线的离心率为，故选：D。【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，在利用双曲线的方程求双曲线的离心率时，应将双曲线的方程化为标准式，从方程中得出和，意在考查学生对双曲线标准方程的理解和掌握，属于基础题。3.“是第二象限的角”是“是钝角”的（ ）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】利用举特例来判断两条件之间的充分必要性关系。【详解】取，则是第二象限角，但不是钝角，若是钝角，则是第二象限角，因此，“是第二象限的角”是“是钝角”的必要不充分条件，故选：B。【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，一般转化为集合间的关系来进行判断，其关系如下：（1），则“”是“”的充分不必要条件；（2），则“”是“”的必要不充分条件；（3），则“”是“”的充要条件；（4），则“”是“”的既不充分也不必要条件。4.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据幂函数和指数函数和三角函数的奇偶性，以及单调性得到结果.【详解】是奇函数，故A排除；是非奇非偶函数，C排除；是偶函数，但在上有增也有减，B排除，只有D正确.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性以及单调性的判断，属于基础题.5.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在分式的分子分母中同时除以，将等式转化为有关的方程，可解出的值。【详解】由题意可知，解得，故选：B。【点睛】本题考查正弦、余弦分式齐次式求值问题，关键是通过除法运算结合弦化切思想求解，是常考题型，属于基础题。6.函数的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出函数的定义域，求导，然后解不等式可得出所求的单调递增区间。【详解】函数的定义域为，解不等式，即，解得，所以，函数的单调递增区间为，故选：A。【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，解题时注意导数符号与函数单调区间之间的关系，再者就是求出导数不等式的解集后必须与定义域取交集才行，考查计算能力，属于中等题。7.已知(其中为自然对数底)，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先将三个数与零进行大小比较，确定三个数的正负，再将两个正数与进行大小比较，从而可得出三个数、的大小关系。【详解】函数在其定义域上是增函数，则，函数在其定义域上是增函数，且，函数在其定义域是增函数，则，即，因此，故选：B。【点睛】本题考查比较数的大小，考查指数函数与对数函数的单调性，这类问题一般采用中间值、建立大小关系并结合不等式的传递性来得出数的大小关系，是常考题型，属于中等题。8.已知函数的极大值为，则实数的值为（ ）A. 1B. C. D. （其中为自然对数的底）【答案】C【解析】分析】对函数求导，求方程的根，讨论函数的单调性，得出极大值点，求出极大值，即可得出的值。【详解】函数的定义域为，.由于函数有极大值，则，令，得，则，.当时，；当时，.所以，函数在处取得极大值，且极大值为，解得.故选：C。【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，利用导数取出极值点后，还要讨论函数在该点左右附近的单调性，确定导数极值点的属性，考查运算求解能力，属于中等题。9.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.10.已知，若存在三个不同实数使得，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出函数的图象，令，设，由对数的运算性质得出，并求出的取值范围，从而得出的取值范围。【详解】令，则、可视为直线与曲线的三个交点的横坐标，如下图所示：当时，；当时，由.由可得，得，即，所以，.结合图象可知，因此，的取值范围是，故选：C。【点睛】本题考查函数零点的取值范围，考查对数的运算性质，解本题的关键就是计算时去绝对值，并充分利用了对数的运算性质，其次再解这类问题时，可充分利用参数来表示零点，并构造新函数来求解。11.在四面体中，则它的外接球的表面积A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由勾股定理得出，得知为该三棱锥外接球的直径，再利用球体的表面积公式可计算出该外接球的表面积。【详解】如下图所示：，所以，为该三棱锥的外接球球心，为球的直径，设其半径为，则，因此，三棱锥外接球的表面积为，故选：D。【点睛】本题考查多面体的外接球，考查球体表面积的计算，解本题的关键在于找出外接球球心的位置，找出外接球的一条直径，考查逻辑推理能力，属于中等题。12.已知函数的导函数是偶函数，若方程在区间(其中为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由导函数为偶函数，得出，由，得出，将问题转化为当直线与函数在区间上的图像有两个交点时，求实数的取值范围，然后作出函数在区间上的图象，利用数形结合思想求出实数的取值范围。【详解】，导函数的对称轴为直线，由于该函数为偶函数，则，令，即，得.问题转化为当直线与函数在区间上的图像有两个交点时，求实数的取值范围。，令，得，列表如下：极大值所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，又，显然，如下图所示：结合图象可知，当时，即当时，直线与函数在区间上有两个交点，因此，实数的取值范围是。故选：B。【点睛】本题考查利用导数研究函数零点个数问题，本题的关键在于利用参变量分离的方法，将问题转化为直线与函数的图象的交点个数，在画函数的图象中，需要用到导数研究函数的单调性、极值以及端点值，通过这些来确定函数图象，考查数形结合思想，属于中等题。二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.复数（其中为虚数单位）的共轭复数为_.【答案】【解析】【分析】先利用复数的除法将复数表示为一般形式，然后利用共轭复数的定义得出答案。【详解】，因此，复数的共轭复数为，故答案为：。【点睛】本题考查共轭复数，考查复数的除法，对于复数问题，一般要通过复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，明确复数的实部与虚部，考查计算能力，属于基础题。14.已知是上的偶函数，且在，单调递增，若，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由偶函数的性质将不等式表示为，再由函数在区间上的单调性得出与的大小关系，解出不等式即可。【详解】函数是上的偶函数，所以，由，得，函数在区间上单调递增，得，解得，因此，实数的取值范围是，故答案为：。【点睛】本题考查函数不等式的求解，对于这类问题，一般要考查函数的奇偶性与单调性，将不等式转化为（若函数为偶函数，可化为），结合单调性得出与的大小（或与的大小）关系，考查推理能力与分析问题的能力，属于中等题。15.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则=_.【答案】1【解析】【分析】先利用辅助角公式将函数解析式进行化简，利用三角函数变换规则得出函数的解析式，即可得出的值。【详解】，将该函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，故答案为：。【点睛】本题考查三角函数图象变换，在解题时要将函数解析式化为或的形式，然后由变换规则求出所得函数的解析式，考查分析问题的能力，属于中等题。16.已知椭圆:的右焦点为，为椭圆的左顶点，为椭圆上异于的动点，直线与直线交于第一象限的点.若与的面积之比为，则点的坐标为_.【答案】【解析】【分析】设直线的方程为，设点、，求出直线与椭圆的交点坐标，由与的面积比为，可求出的值，于此可得出点的坐标。【详解】易知点，设直线的方程为，设点，则点，将直线的方程与椭圆的方程联立，消去，化简得，易知，则点的坐标为，由于和的面积之比为，得，解得，所以，因此，点的坐标为，故答案为：。【点睛】本题考查直线与椭圆中的三角形的面积比值问题，在求解有关三角形面积的比问题，共顶点的两个三角形的面积比可转化为底边长之比，考查转化与化归思想，考查计算运算求解能力，属于中等题。三、解答题;共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.（）求的值；（）求的值.【答案】（）；（）2【解析】【分析】（）根据三角函数的定义求出、的值，再利用诱导公式将所求代数式化简，将角的三角函数值代入进行计算可得出结果；（）利用二倍角公式求出的值，利用半角公式求出的值，再代入所求代数式进行计算即可。【详解】（）由题意得：原式 （），=。【点睛】本题考查三角函数定义、诱导公式、二倍角公式以及半角公式，在三角求值时，充分利用相关公式进行化简，朝着已知角进行化简计算，着重考察学生对三角公式的掌握和应用水平，属于中等题。18.二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：使用年数246810售价16139.574.5（）试求y关于x的回归直线方程；（参考公式：，；参考数据：）（）已知每辆该型号汽车的收购价格为w0.05x21.75x17.2万元，根据（）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大？【答案】（I）；（II）预测当时,销售利润取得最大值【解析】分析：（1）按所给系数公式计算系数即得；（2）由利润得的二次函数，由二次函数性质可得详解：由已知：， 则，所以回归直线的方程为 ， 所以预测当时，销售利润z取得最大值点睛：本题考查线性回归直线方程，求此方程只要按所给公式计算出各系数即可，19.如图所示的五面体中，平面平面, ,，,，（）求证：平面；（）求四棱锥的体积.【答案】（）见解析；（）【解析】【分析】（）由可证明出平面，再利用直线与平面平行的性质定理得出，再利用直线与平面平行的判定定理可证明平面；（）取中点，连接，由平面与平面垂直的性质定理得出平面，由平面，得知点到平面的距离等于，并计算出四边形的面积，然后利用锥体的体积公式可计算，可得出答案。【详解】（）因为，平面，平面， 所以平面又因为平面，平面平面，所以因为平面，平面，所以平面（）取中点，连接在中， 所以.因为平面平面，平面平面，平面,所以平面又因为，所以.因为，所以.所以.【点睛】本题考查直线与平面平行，以及锥体体积的计算，在计算锥体体积时，若高不方便计算时，可以利用直线与平面平行，将所求的点利用平行线进行转移，利用等高来进行处理，考查计算能力与逻辑推理能力，属于中等题。20.已知点到抛物线准线的距离为2.（）求的方程及焦点的坐标；（）设点关于原点的对称点为点，过点作不经过点的直线与交于两点，求直线与的斜率之积.【答案】（），的坐标为；（）2【解析】【分析】（）利用已知条件得出的值，可得出抛物线的方程，并求出抛物线的焦点的坐标；（）求出点的坐标，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式并代入韦达定理求出直线与的斜率之积。【详解】（）由已知得，所以所以抛物线的方程为，焦点的坐标为；（II）设点,，由已知得，由题意直线斜率存在且不为0.设直线方程为 . 由得，则,因为点在抛物线上，所以， 故.【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程以及直线与抛物线中的定值问题，常用韦达定理设而不求法来求解，本题中，计算斜率时，充分利用抛物线方程，将点的坐标进行转化，能起到简化计算的作用，考查运算求解能力，属于中等题。21.已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围【答案】（）；（）见解析【解析】【分析】（）利用导数求出的值，作为切线的斜率，求出，确定切点坐标，再利用点斜式写出所求切线方程；（）由不等式对任意的恒成立转化为对任意的恒成立，并构造函数，利用导数求出函数在区间上的最小值，于此可求出实数的取值范围。【详解】（）因为，所以，所以曲线在点处的切线方程；（）即对任意恒成立.当时，显然成立， 当时，等价于，令，.则 令， 则 对任意恒成立，故在单减，于是即.从而 在单减，故 所以综上所述，【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，以及利用导数研究函数不等式恒成立问题，通常利用参变量分离法进行转化为定函数的最值问题来求解，考查分析问题的能力与计算能力，属于难题。选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分.22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴