江苏苏州第五中学高中数学1.4导数在实际生活中的应用学案无答案苏教选修21

14 导数在实际生活中的应用一、学习内容、要求及建议知识、方法要求学习建议导数在实际问题中的应用掌握导数在实际生活中主要是解决最优化的问题，建立函数模型是关键，而解决模型的过程实质上就是上一节的内容学生应该在具体问题中，理清各个量的关系，建立适当的函数模型二、预习指导1预习目标 通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决实际问题中的作用，促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值2预习提纲(1)回顾利用导数求函数最值的方法步骤；回顾将实际问题转化为数学问题的方法(2)阅读课本第35至第38页例题，思考以下问题： 利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤： 利用导数解决实际问题中的最值问题时应注意哪些问题? 3典型例题(1)面积、体积最值问题例1 用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少?分析： 就用容器的高x作为自变量，建立一个关 于高的目标函数，容器的底面是矩形，长宽分别为902x，482x于是得出体积的函数，再用导数方法求解解： 设容器的高为x，容器的体积为V， 则V=(902x)(482x)x，(0x24) =4x3276x24320xV(x)=12 x2552x4320由V(x)=12 x2552x4320=0得x1=10，x2=36 当0 x 0，y0，则另一个在抛物线上的顶点为(x，y)，在x轴上的两个顶点为(x，0)、(x，0)，其中0 x2设矩形的面积为S，则S2 x(4x2)，0 x2由S(x)86 x20，得x或x(舍)，当0x 0；当x2时，S(x)0，所以当x是S在(0，2)上的极值点，即是最大值点，所以这种矩形中面积最大者的边长为和点评： 应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件，本题的关键是利用抛物线的方程，求出矩形的另一边长(2)费用最省问题例3 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)关于行驶速度(千米/小时)的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?分析： 根据距离比速度等于时间，求出全程所用时间，根据单位时间内的耗油量与全程时间的积等于全程耗油量，列出目标函数，转化为利用导数求函数的最小值解：(1)当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时， 要耗没(升) 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油175升(2)当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升， 依题意得 令得 当时，是减函数； 当时，是增函数 当时，取到极小值 因为在上只有一个极值，所以它是最小值答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少为1125升点评： 本题(1)是(2)的铺垫，本题(2)是导数完成的应用性问题，对于这类问题，学生往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍，运算不过关，得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路，在此还需要我们依据问题本身提供的信息，运用所谓的动态思维，去寻求有利于问题解决的变换途径和方法，并从中进行一番选择 例4 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在何处才能使水管费用最省?分析： 本题考查复合函数的导数及导数的应用适当选定变元，借助图象寻找各条件间的联系，构造相应的函数关系式，建立数学模型，通过求导和其他方法求出最值解：法一 根据题意，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总的水管费用最省，设C点距D点x km，则AC=(50x) km又BD=40 km， BC=， 又设总的水管费用为y元，依题意，则y=3a(50x)5a(0x50)y=3a，令y=0，解得x=30在(0，50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50x=20(km)供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省法二 设BCD=，则BC=， CD=40cot(0)，AC=5040cot设总的水管费用为f() ，依题意，有f()=3a(5040cot)5a=150a40a，f ()=40a令f ()=0，得cos=0， 0cos1，cos在(0，1)上只有一个极值点根据问题的实际意义，当cos=时，函数取得最小值，此时sin=，cot= AC=5040cot=20(km) ，即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省点评： 当要求的最大(小)值的变量y与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为x，然后再根据条件x来表示其他变量，并写出y的函数表达式f(x)另外本题的第一种解法中也可以用判别式法求出y的最小值而解法二中可以用数形结合的思想求解的最小值，此式化为，对于，视为动点(sin，cos)与定点(0，)连成的斜率，利用圆的切线求解(3)利润最大问题例5 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=1004q，价格p与产量q的函数关系式为p=25，求产量q为何值时，利润L最大分析： 利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格，由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润解：法一 收入，利润L=RC=()(1004q) =21 q100(0q200)，则=21，令=0，即21=0，解得q=840q0；当84q200时，0)若C处在连接两烟囱的线段AB上(不包括端点)，若C处距A烟囱xkm，C处的烟尘浓度为y(1)写出y关于x的函数关系式；(2)是否存在这样的C处，使该处的烟尘浓度最低?若存在，求出C处到A烟囱的距离；若不存在，请说明理由O120请您设计一个帐篷它下部的形状是高为1m的正六棱 柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大?21请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm(1)若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。22某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A，B 及CD的中点P 处，已知AB=20km，CB =10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上(含边界)，且A，B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP ，设排污管道的总长为km(1)按下列要求写出函数关系式：设BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；设OP (km) ，将表示成的函数关系式(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短23某园林公司计划在一块为圆心，(为常数)为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形区域用于观赏样板地，区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元花木地(1) 设，分别用，表示弓形的面积；观赏样板地(2) 园林公司应该怎样规划这块土地，才能使总利润最大?(参考公式:扇形面积公式)草皮地草皮地知识点题号注意点导数在实际问题中的应用122建立函数模型是关键，应该在具体问题中，理清各个量的关系，建立适当的函数模型四、学习心得五、拓展视野在一定条件下，“利润最大”“用料最省”“面积最大”“效率最高”“强度最大”等问题，在生产、生活中经常用到，在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题除了常见的求最值的方法外，还可用求导法求函数的最值但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割， 焊接成一个长方形无盖容器(切、焊损耗忽略不计)，有人应用数学知识作了如下设计，如图1(1)，在钢板的四个角处各切一个小方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图1(2)(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积；(2)由于上述设计存在缺陷(材料有的浪费)，请你重新设计切焊方法，使材料浪费最少，而且所得长方体容器的容积分析 (1)是利用题中给出的方案，利用导数求容器的最大值(2)主要考查动手实践能力解 (1)设切去的正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为42x，高为x，所以=(42x)2x=4(x34x2