重庆育才中学高三数学一轮复习65推理与证明学案理

65 推理与证明 一、学习内容：选修22，P109132；选修45，P2631；二、课标要求：(1)合情推理与演绎推理： 了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理 掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异(2)直接证明与间接证明： 了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点 了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点(3)数学归纳法：了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题三、基础知识1. 合情推理（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.（3）合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.2. 演绎推理（1）演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.（2）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：、大前提已知的一般原理;、小前提所研究的特殊情况;、结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断1. 证明（1）证明分为直接证明与间接证明.直接证明包括综合法、分析法等；间接证明主要是反证法.（2）综合法:一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.（3）分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等）.这种证明的方法叫做分析法.（4）反证法：一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.2. 直接证明（1）综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性.用综合法证明题的逻辑关系： (A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论),它的常见书面表达是“,”或“”.（2）分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知.3. 间接证明用反证法证明问题的一般步骤:、反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；（否定结论）、归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；（推导矛盾）、结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立.(结论成立)3数学归纳法的适证对象数学归纳法是用来证明关于 命题的一种方法，若n0是起始值，则n0是 4数学归纳法的步骤用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：(1)当n (n0N*)时，验证命题成立：(2)假设n 时命题成立，推证n 时命题也成立，从而推出对所有的nn0，nN命题成立，其中第一步是 ，第二步是 ，二者缺一不可四、典型例题分析1、（2013湖北理14）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3，6，10，第个三角形数为. 记第个边形数为，以下列出了部分k边形数中第个数的表达式：三角形数 ，正方形数 ，五边形数 ，六边形数 ， 可以推测的表达式，由此计算_. 1000 2、（2013陕西理14）. 观察下列等式: 照此规律, 第n个等式可为 . 3、（2013四川理15）设为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点到点的距离之和最小，则称点为点的一个“中位点”例如，线段上的任意点都是端点的中位点则有下列命题：若三个点共线，在线段上，则是的中位点；直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；若四个点共线，则它们的中位点存在且唯一；梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点其中的真命题是_（写出所有真命题的序号） 4、（2013广东理19）.（本小题满分14分） 设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1， （1）求a2的值（2）求数列an的通项公式a1（3）证明：对一切正整数n，有【解析】() 依题意,又,所以； () 当时, 两式相减得 整理得,即,又 故数列是首项为,公差为的等差数列,所以,所以. () 当时,； 当时,； 当时,此时 综上,对一切正整数,有.5、（2013新课标卷24）（本小题满分10分）选修45；不等式选讲设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（）（）6(2011福建理21)（本小题满分7分）设不等式的解集为M（I）求集合M；（II）若a，bM，试比较ab+1与a+b的大小解析：本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分。解：（I）由所以（II）由（I）和，所以故7、设数列an的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn1)2anSn.(1)求S1，S2，S3；(2)猜想Sn的表达式并证明解析(1)由(S11)2S得：S1；由(S21)2(S2S1)S2得：S2；由(S31)2(S3S2)S3得：S3.(2)猜想：Sn.证明：当n1时，显然成立；假设当nk(k1且kN*)时，Sk成立则当nk1时，由(Sk11)2ak1Sk1得：Sk1，从而nk1时，猜想也成立综合得结论成立五、基础练习 1用数学归纳法证明不等式1(nN*)成立，其初始值至少应取()A7 B8 C9 D10解析1，整理得2n128，解得n7，初始值至少应取8.2用数学归纳法证明：(n1)(n2)(nn)(nN*)的第二步中，当nk1时等式左边与nk时的等式左边的差等于_答案3k2解析nk1比nk时左边变化的项为(2k1)(2k2)(k1)3k2.3在数列an中，a1，且Snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()A. B. C. D.答案C解析由a1，Snn(2n1)an，得S22(221)a2，即a1a26a2，a2，S33(231)a3，即a315a3a3，a4.故选C.4n为正奇数时，求证：xnyn被xy整除，当第二步假设n2k1命题为真时，进而需证n_，命题为真答案2k15观察(x2)2x，(x4)4x3，(cosx)sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)()Af(x) Bf(x) Cg(x) Dg(x)D解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(x)g(x)6设函数f(x)，类比课本推导等差数列前n项和公式的推导方法计算f(4)f(3)f(0)f(1)f(4)f(5)的值为() A. B. C. D.B解析 f(x)，f(x)，f(x1)，则f(x)f(x1)，f(4)f(5)f(3)f(4)f(2)f(3)f(1)f(2)f(0)f(1)，原式的值为5.故选B.7观察下列等式：132332，13233362根据上述规律，第五个等式为_132333435363212解析 观察可知，第n个等式的左边是从1开始的连续n1个自然数的立方和，而右边是这连续n1个自然数和的平方，即132333(n1)3(123n1)2，第5个等式为132333435363212.8已知等差数列an中，有，则在等比数列bn中，会有类似的结论_.解析 由等比数列的性质可知，b1b30b2b29b11b20，.9（2013江苏）10分.已知0,求证:证明: 又0,0, 10(13分)数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(nN)用演绎推理的方式证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.证明：(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.2，(小前提)故是以2为公比，1为首项的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知4(n2)，Sn14(n1)4Sn14an(n2)，(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论)(第(