江苏苏州第五中学高中数学第三章数系的扩充与复数的引入学案无苏教选修22

第3章 数系的扩充与复数的引入31 数系的扩充一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议数系的扩充了解在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系复数的概念理解学习复数的相关概念；体会复数abi是实数、虚数和纯虚数的条件 复数的相等理解理解两个复数相等的充要条件二、预习指导1预习目标了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件2预习提纲(1)回忆、归纳数系扩充的过程，体会实际需要与数学内部的矛盾对数系扩充的作用，感受数与现实世界的联系(2)对引入的新数有哪两项规定?_ ；_ (3)a=0是复数z=ab为纯虚数的充分条件吗?(4)两个复数相等的充要条件是_(5)阅读课本第103页至第105页内容，并完成课后练习(6)结合课本第104页的例1，学习复数的相关概念；结合课本第104页的例2，进一步体会复数ab是实数、虚数和纯虚数的条件；结合课本第105页的例3，感悟和体会两个复数相等的充要条件3典型例题(1)复数的相关概念 实数(b=0) 复数ab(a，bR) 纯虚数(a=0，且b0) 虚数(b0) 非纯虚数(a0，且b0)例1 实数x分别取什么值时，复数z= x2 x 6 (x2 2x 15)是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?分析：先明确复数的实部、虚部分别是什么，然后利用复数的相关概念即可解：由知：复数的实部为x2 x 6，虚部为x2 2x 15 (1) 要使z是实数，则x2 2x 15=0，从而当x= 3或5时，z是实数；(2) 要使z是虚数，则x2 2x 150，从而当时，z是虚数；(3)要使z是纯虚数，则 从而当x=5时，z是纯虚数；(4)要使z是0，则 从而当x= 3时，z是0点评：一般地，对于复数ab(a，bR)当b=0时，ab为实数；当时，ab为虚数；当a=0且时，ab为纯虚数对复数的分类要严格按照上述规律进行在讨论z为纯虚数时，不仅要考虑x2x 6=0而且要考虑x2 2x 150，当然a，b是实数的条件是必不可少的(2)复数相等的充要条件两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等一般地，两个复数只能说它们相等或不相等，而不能比较大小，只有当两个复数都是实数时，才能比较大小例2 求适合下列方程中的x与y(x，yR)的值(1) x2 2 (x 3) = y2 9 (y 2)；(2) 2x2 5x 3 (y2 y 6)= 0分析：先明确复数的实部、虚部，然后利用两个复数相等即实部、虚部分别相等解：(1)由x2 2 (x 3)= y2 9 (y 2)得：即：(2)由2x2 5x 3 (y2 y 6)= 0得：即：从而 或或或点评：两个复数相等的定义是实部、虚部分别相等，必须当心的是形如ab中的a，b是否为实数，否则容易引起错解例3 求使不等式m2(m23m)(m2 4m3)10成立的实数m的值分析：本题抓住“复数能够比较大小，必须都为实数”这一规则来求解解：由题意：解得所以m=34自我检测(1)若实数集记为R，纯虚数集记为I，复数集记为C，则下列各式中：RI=0；RI=；C=RI；，正确的序号有_(2)若x、y是实数，且2x1=y(3y)，则x=_，y=_(3)设复数z=ab(a2b2)(a、bR)，则a、b满足_时，z是纯虚数三、课后巩固练习A组1 若a、b是实数，则a=0是复数ab为纯虚数的_条件2 设,是虚数单位,则“”是“复数为纯虚数”的_条件.3若复数(a2a2)(|a1|1)(aR)不是纯虚数，则a的取值范围是_B组4满足方程x22x3(9y26y1)=0的实数对(x，y)表示的点的个数是_5 下列命题：1的平方根只有一个；i是1的四次方根；设复数z1=ab，z2=cd，则z1=z2的充要条件是a=c且b=d；若=0，则z1=z2=0；若a、bR且a=b，则(ab)(ab)是纯虚数其中正确的个数为_6当实数m分别取何值时，复数z = (1)m2(52)m615i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零7已知a是实数，b是纯虚数，且满足(22a)(13b) i=bi，求a、b8已知x，y，tR，t1，且t0，求满足时，点(x，y)的轨迹方程C组9已知关于x的方程x2(12i)x(3m1)i=0有实根，求纯虚数m的值10设复数z1=1sinx(1cosx)i，z2=，(x，yR)，若z1z2，求x、y的值知识点题号注意点复数的概念1-3，6注意体会复数abi是实数、虚数和纯虚数的条件 复数的相等5，7，9应用两个复数相等的充要条件时，注意各个字母的虚实综合问题4，8，10注意复数与其它知识的联系四、学习心得五、拓展视野16世纪意大利米兰学者卡当(Jerome Cardan15011576)在1545年发表的重要的艺术一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且讨论是否可能把10分成两部分使它们的乘积等于40，这需要解方程x(10x)=40尽管他写出了两个表达式，但却认为自己写的两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔(15961650)，他在几何学(1637年发表)中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来学完了本节，你会解x(10x)=40这个方程了吗?32 复数的四则运算一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议复数的四则运算理解结合多项式的四则运算法则，理解并掌握复数代数形式的四则运算法则，并能比较两者的异同；能熟练地运用复数的四则运算法则进行运算共轭复数理解弄清共轭复数的实部、虚部之间的关系二、预习指导1预习目标(1)了解复数的代数表示法；(2)能进行复数代数形式的四则运算2预习提纲(1)复数四则运算法则： 加法法则：_ ； 减法法则：_ ； 乘法法则：_ ；复数的乘法满足交换律、结合律和分配律吗? 除法法则：_ (2)复数的正整数指数幂的运算律： _ ； _ ； _ (3)我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为_；_数的共轭复数仍是它本身(4)你能总结出i的正整数指数幂的规律吗?(5)你能写出方程x3=1的三个根吗?(6)阅读课本第106页至第110页内容，并完成课后练习(7)结合课本第107页的例1，学习复数的加法法则和减法法则；结合课本第107页的例2，学习复数的乘法法则，体会复数的乘法满足结合律；结合课本第107页的例3，进一步运用复数的乘法法则，体会在复数范围内，对x2y2进行分解因式；结合课本第108页的例4，体会方程x3=1的三个根的相互关系；对于课本第109页的例5，解法1是运用复数的除法法则，解法2是使分母“实数化”，将复数除法化归为复数乘法，请仔细体会，并将两种解法作比较3典型例题(1)复数的加减运算两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)复数的加法运算是一种规定，减法是加法的逆运算复数的加减运算可类比多项式的加减运算，但不是多项式运算的合情推理，而是一种新的规定，它是数学建构过程中的重要组成部分，运算时可类比多项式合并同类项法则来理解和记忆例1 计算(23i)(45i) (2i)的值解：原式=(242)(351)i=8i(2)复数的乘法与乘方复数的乘法运算法则：乘法运算律：；(3)；(4)；(5)；(6)例2 计算：(1)(12i)(34i)(2i)； (2)()3；(3)()6()6分析：复数的乘法运算与多项式的乘法运算相类似，先两两结合展开，利用化简后，在再将复数的实部与虚部合并；而乘方运算应注意合理利用一些常用且有效的结论来处理解：(1)原式=(112i)(2i)=； (2)原式= 1； (3)原式= 2点评：在运算过程中，注意运用常用技巧及规律，如有关复数的方幂：i的周期性：i4n1=i；i4n2= 1；i 4n3= i；i4n=1()；若，则，1，10(3)共轭复数共轭复数的定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数共轭复数的性质： ； ； 对于复数z，z是实数； 若z为纯虚数，则例3 已知复数是共轭复数，求m的值分析：根据共轭复数的定义知：两个共轭复数的实部相同，虚部互为相反数解：由是共轭复数得：解得：从而m=1即m=1时，是共轭复数点评：共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性质的复数，应准确把握它的代数特征：虚部互为相反数例4 已知f(z)=2z3i，f(i)=63i，求f(z)的值分析：先利用f(z)=2z3i，f(i)=63i，得到复数z满足的等式，然后设z=abi()，利用复数相等得到关于实数a，b的方程组，解方程组即可解： f(z) = 2z3i， f(i)=又f(i)=63i，=6 3i，即=6i设，则，即3abi=6i由复数相等的定义知：解得：z=2i f(z)=2(2i)(2i)3i= 64i点评：本题中要求f(z)的值关键先求出z，求复数z时通常设复数，利用复数相等的定义将问题实数化，从而使问题得到解决(5)复数的除法满足(cdi)(xyi)=(abi)的复数xyi(x，yR)叫复数abi除以复数cdi的商，记为：(abi)(cdi)或者一般地，我们有=例5 已知，求实数a，b分析：要求两个未知数的值，必须列出两个方程，这可以由两个复数相等的充要条件而得到因此我们先得将已知等式变形解：已知左边=， 右边=， 所以=56i 由复数相等的定义知：点评：该例解答是否简便关键在于采取的变形方法表面上看对已知等式作如下的变形：，再施行复数运算较为简便但事实上不如上述解答简捷这是因为已知式的左边的分式并非杂乱无章的，只要我们仔细观察就会发现它是一个按一定规律排列的关于a，b对称的式子，因此就得到如此简捷的解法4自我检测(1)(12i)(23i)(34i)(20072008i)=_(2)已知复数满足则复数 _(3)设，且为正实数，则_(4)复数_(5)复数_三、课后巩固练习A组1 若,其中为虚数单位,则_.2 计算:=_(i为虚数单位).3 若复数满足,则_.4 设,则的值为_.5 若复数z满足，则z=_6已知，那么实数_ 7如果复数是实数，则实数_8若，其中a、bR，则=_96=_10设则复数为实数的充要条件是_11设复数：z1=1i，z2=x2i(xR)，若z1 z2为实数，则x= _12若复数满足方程，则_13分解为一次式的乘积为_14复数724i的平方根为_15已知复数z满足(3i)z3i，则z=_16已知复数，则_17 表示为abi(a，bR)，则ab= 18计算：(1)； (2)； (3)1； (4)； (5) ； (6)； (7)； (8)； (9)19计算： (1) (1i)(2i3)(3i5)(4i7)； (2) (i)2(i)2； (3) (abi)(abi)(abi)(abi) 20计算： (1)； (2)；(3) B组21复数zii2i3i4的值是_ 22已知，则z100z501=_23i1i2i3i4i2001= ，(1i)11的实部为 ，2001的虚部为 24已知是实数，是纯虚数，则=_25复数为纯虚数，则实数为_ 26设复数满足，则的实部是_27.已知复数满足，复数的虚部为，是实数，则=28复数的虚部是_29若为纯虚数，则实数a的值为_30已知其中m，n是实数，则_31复数的共轭复数是_32复数，为的共轭复数，则_ 33若，则复数=_ 34设z1=23i，z2=45i，则= _35若复数同时满足2，则=_36设z的共轭复数是，若z=4，z8，则=_ 37设，已知z2的实部是，则z2的虚部为 38若f(z)=，z1=34i，z2=2i，则的值为_39设为实数，且，求的值40已知x，yR，复数(3x2y)5xi与复数相等，求x，y的值 41已知复数z=1i，求实数a，b，使42已知，设，且，求 C组43已知求 44已知关于t的一元二次方程t2(2i)t2xy(xy)i=0(x，yR)(1)当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹方程；(2)求方程实根的取值范围 45求同时满足下列两个条件的所有复数：(1)是实数，且16；(2)z的实部和虚部都是整数46设z为虚数，是实数，且1w2，若设z=abi(b0)(1)求a2b2的值，及a的取值范围；(2)设，求证：u为纯虚数；(3)求wu2的最小值知识点题号注意点复数的四则运算130，39能熟练地运用运算律进行复数的四则运算共轭复数 3138，4042弄清共轭复数的实部、虚部之间的关系，会用共轭复数的性质解题综合问题4346注意复数知识的综合运用以及复数与其它知识的综合四、学习心得五、拓展视野如果a，b，c，d都是实数，那么关于x的方程：x2(abi)x(cdi)=0有实根的充要条件是什么?下面是某同学给出的解法：由题意知xR，且x2axc(bxd)i=0， 由(2)得，代入(1)得d2abdb2c=0以上解法是否正确?请给出你的评价33 复数的几何意义一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议复数的几何意义了解回顾向量的有关知识，了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数复数代数形式的加、减运算的几何意义了解了解复数代数形式的加、减运算的几何意义，增强数形结合的意识二、预习指导1预习目标(1)了解复数的几何意义；(2)了解复数代数形式的加、减运算的几何意义2预习提纲(1)我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做_ ，x轴叫做_，y轴叫做_(2)有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，我们可以用直角坐标系中的点_来表示复数z=abi(3)复数z=abi也可以用向量_来表示(4)你能画出复数z=abi、复平面内的点和平面向量之间的关系图吗?(5)z，与|z|之间有什么关系?(6)复数加法的几何意义_ ；复数减法的几何意义_ (7)阅读课本第112页至第114页内容，并完成课后练习(8)结合课本第113页的例1，学习复数的几何意义，学会用点和向量表示复数；结合课本第113页的例2，学习如何求复数的模，体会复数的模是实数，它们可以比较大小；结合课本第113页的例3，感悟复数的模的几何意义，体会数形结合的思想方法3典型例题(1)复数的几何形式实数与数轴上的点是一一对应的，因此实数可以用数轴上的点来表示确定一个复数需要确定它的实部和虚部，即一个复数对应着一个有序数对，而有序数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的，因此，可以用直角坐标系中的点来表示复数例1 复数，设z在复平面内对应的点为Z(1)若点Z在第三象限，求x的取值范围；(2)若点Z在直线x2y1=0上，求x的值解：由题意，(1)若点Z在第三象限，则所以解得(2)由题意，所以，所以解得(2)复数代数形式的加、减运算的几何意义由复数的几何意义知，一个复数与平面内的一个向量相对应，于是就可以得到复数加法的几何意义：向量的加法法则也即平行四边形法则对于复数减法的几何意义可通过加法来实现例2 已知复数，它们在复平面上的对应点分别为A、B、C，且A、B、C是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点D对应的复数z分析：(1)利用或者，求D点对应的复数(2)利用正方形的两条对角线交点是其对称中心求解解：法1 设，则 又，且，所以故第四个顶点D对应的复数解：法2 设，则点A与点C关于原点对称，原点O是正方形的中心O也是B、D连线的中点，于是有2ixyi=0x=2，y=1故第四个顶点D对应的复数点评：解题时要善于发现问题中可能被利用的条件，寻找最佳的解题方法本题解法2正是利用正方形是中心对称图形这一特点，寻得最佳解题思路(3)复数模的几何意义复数的模为，记作或，它表示复平面上复数z对应的点Z到原点的距离(如图)，这就是复数模的几何意义说明：复数的模是非负实数，可以比较大小，但是，两个复数，只要其中有一个不是实数，它们就不能比较大小；如果，那么就是实数，它的模等于(即实数的绝对值)；两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离例3 设，求在复平面上满足下列条件的点的集合所组成的图形分别是什么?(1)；(2)分析：根据复数模的几何意义，可以把复平面内的某些图形用适合某些条件的复数方程或不等式表示，反之，某些简单的复数方程或不等式也对应复平面上的某些图形解：(1)不等式的解在复平面中对应点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆的内部及其边界满足条件的点的集合是直线以上及以下的点组成的图形两者的公共部分即为所求，即以原点为圆心，2为半径的圆被直线所截得的两个弓形，但不包括边界上的点；(2)方程的解在复平面中对应点的集合是为圆心，以3为半径的圆周点评：解这类问题，要认真分析题设条件，正确理解复数的几何意义、复数的模、复数的实部与虚部等概念，结合解析几何中曲线的方程及一些函数性质，寻找解决问题的突破口例4 集合，(1)指出集合P在复平面内的对应点表示的图形；(2)求集合P中复数模的最小值解：(1)由可知，集合M在复平面中的对应点表示以点 为圆心，1为半径的圆的内部及边界；由可知， 集合N在复平面内的对应点表示以和为端点的线段的垂直平分线因此，集合P是圆截直线所得的一条线段(如图)；(2)过点O向引垂线，垂足在线段上，由(1)知，的方程为，则O到 的距离为，因此集合P中复数模的最小值为点评：利用复数模的几何意义，可以将抽象的代数式转化为具体的图形，便于问题的解决4 自我检测(1)复数z=m23(2m2)i对应点在第三象限，则实数m的取值范围是_(2)在复平面内，复数对应的点位于第_象限 (3)在复平面内，复数所对应的点在第_象限 (4)在复平面内，复数(1i)2对应的点位于第_象限(5)设z=1i，则= 三、课后巩固练习A组1已知复数的大小关系是 2复平面内的平行四边形ABCD中，A、B、C三点对应复数分别为2i，43i，35i，那么点D对应的复数为_，对角线对应的复数是_3已知平行四边形的三个顶点分别对应复数2i、44i、26i，求第四个顶点对应的复数4已知是复数，均为实数(为虚数单位)，且复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围5.复数z=在复平面内对应的点所在象限为_ B组6已知在复平面内，向量的复数为1i，把向右平移一个单位得向量，则 对应复数为_，点对应复数为_7已知复数,则|z|=_.8已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是_9若|z1|=5，z2=34i，且z1z2为纯虚数，则复数z1= _10若复数满足为虚数单位,则在复平面内所对应的图形的面积为_.11若|z|=1，则|z2|的取值范围是 12复数z满足2|=3|z5|，则复数对应点Z的轨迹方程为_13若复数满足|z1|=|z2|=|zi|，则z=_14若|zi|zi|=2，则u的最大值为_，最小值为_15已知关于x的方程x2zx43i=0有实数根，求复数z的模的最小值16已知复数z满足|z|1|z|1=0，且|z|23|z|40，求复数z对应点构成的图形的面积17若复数z满足，求的最大值和最小值18设，当取何值时，分别取得最大值和最小值?并求出最大值与最小值19若，求的最大值和最小值C组20若复数满足，求复数对应点的轨迹方程21若复数的实部为1， ，求：(1)的对应点的轨迹；(2)的对应点的轨迹；(3)若，求的对应点所在区域的面积知识点题号注意点复数的几何意义15注意用复平面内的点和向量来表示复数复数代数形式的加、减运算的几何意义617注意复数代数形式的加、减运算的几何意义，增强数形结合的意识综合问题1821灵活运用几何意义，注意数形结合四、学习心得五、拓展视野已知关于x的方程：2x23axa2a=0至少有一个模为1的根，求实数a的值分析：首先得明确根的特性，即是实数根还是虚数根；其次若是虚数根，则可有韦达定理来确定实数a的值解：如果R，则=(3a)28(a2a)0，a0或者a8又R，=1或1 当=1时，代入得：a22a2=0不可能 当= 1时，代入得：a24a2=0a=2(2不适合，舍去)如果是虚数，并且|=1，则也是此方程的根，于是：= 但是=|2=1，=1，解得：a=2或者a=1所以，所求的a=2，或者2或者1点评：由于实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，故是虚数根，则可借助于韦达定理求出实数a的值，也可以求出方程的根再利用条件得出实数a的值单元复习一、知识点梳理复数复数的概念复数与复数分类复数相等的充要条件共轭复数复数的模复数的运算复数的加法法则复数的减法法则复数的乘