重庆北碚区高三数学上学期第一次诊断性考试

重庆市北碚区2020届高三数学上学期第一次诊断性考试试题考试时间：120分钟；分数：150分注意：本试卷包含、两卷。第卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。一、选择题1. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点 A. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8个单位长度B. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4个单位长度C. 横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平行移动4个单位长度D. 横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动8个单位长度2. 已知集合A=0,1，B=z|z=x+y,xA,yA，则B的子集个数为A. 3B. 4C. 7D. 83. 已知角的终边经过点P(5,12)，则sin(32+)的值等于 A. -513B. -1213C. 513D. 12134. 函数f(x)=2x+log2|x|的零点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 35. 若f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在区间(-,1上递减，则a的取值范围为()A. 1,2)B. 1,2C. 1,+)D. 2,+)6. 若cos=45，是第三象限的角，则1+tan21tan2=()A. 12B. 12C. 2D. 27. 已知函数f(x)=exxmx(e为自然对数的底数，若f(x)0在(0,+)上恒成立，则实数m的取值范围是()A. (,2)B. (,e24)C. (,e)D. (e24,+)8. 非零向量a，b满足；|ab|=|a|，a(ab)=0，则ab与b夹角的大小为()A. 135B. 120C. 60D. 459. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足ACAB=BCAC=5120.618.后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在ABC内任取一点M，则点M落在APQ内的概率为()A. 512B. 52C. 514D. 52210. 在ABC中，AB=3AC=6，tanA=3，点D，E分别是边AB，AC上的点，且DE=3，记ADE，四边形BCED的面积分别为S1，S2，则S1S2的最大值为()A. 14B. 38C. 13D. 51211. 设f(x)是定义在R上的函数，其导函数为，若 1/，f(0)=2018，则不等式exf(x)ex+2017(其中e为自然对数的底数的解集为()A. (,0)(0,+)B. (,0)(2017,+)C. (2017,+)D. (0,+)12. 已知ABC是边长为2的正三角形，点P为平面内一点，且|CP|=3，则PC(PA+PB)的取值范围是()A. 0,12B. 0,32C. 0,6D. 0,3二、填空题13. 已知实数a0，b0，2是8a与2b的等比中项，则1a+2b的最小值是_14. 已知函数，关于x的方程fx=mmR有四个不同的实数解x1,x2,x3,x4，则x1x2x3x4的取值范围为_15. 如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，CBA=60，ABD=45，CD=xOA+yBC，则x+y=_16. 已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC平面ABC，BC=3，PB=22，PC=5，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为_三、解答题17. 等比数列an的各项均为正数，2a5，a4，4a6成等差数列，且满足a4=4a32求数列an的通项公式；设bn=an+1(1an)(1an+1)，nN，求数列bn的前n项和Sn18. 如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PA平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD(1)求证：AF/平面PEC；(2)求证：平面PEC平面PCD19. 已知直线l的参数方程为x=1+ty=3+2t(t为参数，曲线C的极坐标方程为sin216cos=0，直线l与曲线C交于A，B两点，点P(1,3)，(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)求1PA+1PB的值20. 已知函数f(x)=3sin2x+2sin2x.求函数f(x)的单调增区间；将函数f(x)的图象向左平移12个单位，再向下平移1个单位后得到函数g(x)的图象，当x6,3时，求函数g(x)的值域21. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A(1)求该椭圆的方程：(2)过点D(2,2)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值22. 如图所示，直角梯形ABCD中，AD/BC，ADAB，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形，CF=3，平面EDCF平面ABCD求证：DF/平面ABE；求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值；在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查三角函数的诱导公式和函数y=Asin(x+)的图象变换规律，属于基础题由可得解【解答】解：将函数y=2cos(2x4)的图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍，得到，再向右平行移动个单位长度，即可得到的图象故选B2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了集合的子集个数问题，若集合有n个元素，其子集有2n个先求出集合B中的元素，从而求出其子集的个数【解答】解：由题意可知，集合B=z|z=x+y,xA,yA=0,1，2，则B的子集个数为：23=8个故选D3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义及诱导公式，属于基础题利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得sin(32+)的值【解答】解：角的终边经过点P(5,12)，则sin(32+)=cos=(513)=513故选C4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题由题意可得，本题即求函数y=2x的图象和函数的图象的交点个数，数形结合可得结论【解答】解：函数的零点个数，即为函数y=2x的图象和函数的图象的交点个数如图所示：数形结合可得，函数y=2x的图象和函数的图象的交点个数为2，所以的零点个数为2，故选C5.【答案】A【解析】解：令u=x22ax+1+a，则f(u)=lgu，配方得u=x22ax+1+a=(xa)2a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：由图象可知，当对称轴a1时，u=x22ax+1+a在区间(,1上单调递减，又真数x22ax+1+a0，二次函数u=x22ax+1+a在(,1上单调递减，故只需当x=1时，若x22ax+1+a0，则x(,1时，真数x22ax+1+a0，代入x=1解得a0，且函数u=x22ax+1+a在区间(,1上应单调递减，这样复合函数才能单调递减本题考查复合函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，复合函数单调性遵从同增异减的原则6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力，属于基础题将欲求式1+tan21tan2中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同【解答】解：由cos=45，是第三象限的角，可得sin=35，则1+tan21tan2=cos2+sin2cos2sin2=1+sincos=13545=12，故选A7.【答案】B【解析】解：若f(x)0在(0,+)上恒成立，则m0)，h(x)=ex(x2)x3，令h(x)0，解得：x2，令h(x)0，解得：0x2，故h(x)在(0,2)递减，在(2,+)递增，故h(x)min=h(2)=e24，故me24，故选：B问题转化为m0)，根据函数的单调性求出m的范围即可本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题8.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式根据题意，设a=OA，b=OB，则ab=OAOB=BA，结合题意分析可得OAB为等腰直角三角形，结合向量夹角的定义分析可得答案【解答】解：根据题意，设a=OA，b=OB，则ab=OAOB=BA，若|ab|=|a|，a(ab)=0，即|BA|=|OA|，且OABA，则OAB为等腰直角三角形，则ab与b的夹角为18045=135，故选：A9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了阅读能力及几何概型中的面积型，属中档题先阅读题意，理解“黄金分割”，再结合几何概型中的面积型可得：BQ=512a，CP=512a，所以PQ=BQ+CPBC=(52)a，SAPQ：SABC=PQ：BC=(52)a：a=52，则在ABC内任取一点M，则点M落在APQ内的概率为SAPQSABC=52，得解【解答】解：设BC=a，由点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，所以BQ=512a，CP=512a，所以PQ=BQ+CPBC=(52)a，SAPQ：SABC=PQ：BC=(52)a：a=52，由几何概型中的面积型可得：在ABC内任取一点M，则点M落在APQ内的概率为，故选B10.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角形的面积计算，基本不等式的应用，属于中档题可设AD=x，AE=y，利用余弦定理与基本不等式求解【解答】解：由题意可知A=120，SABC=1226sin120=33设AD=x(0x6)，AE=y(0g(0)可解得【解答】解：令g(x)=exf(x)ex，则g(x)=exf(x)+exf(x)ex=ex(f(x)+f(x)1)，f(x)+f(x)1，f(x)+f(x)10，g(x)0，g(x)在R上为单调递增函数，g(0)=f(0)1=20181=2017原不等式可化为g(x)g(0)，根据g(x)的单调性得x0故选D12.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量的数量积，辅助角公式，三角函数图像与性质，考查数形结合的数学思想，化归与转化思想，属于中档题根据要求画出草图，以点B为坐标原点建立直角坐标系，写出A，B，C三点的坐标；设出P的坐标，显然P在以C为圆心，半径为3的圆上，用三角函数表示P点坐标，再写出PB,PA,PC的坐标，利用坐标运算，借助辅助角公式，三角函数图像与性质写出范围【解答】解：如图，以点B为坐标原点建立直角坐标系，故A(1,3)，C(2,0)，设P(x,y)，因为|CP|=3，所以x22+y2=3，令则，所以PC(PA+PB)，因为，所以，即PC(PA+PB)的取值范围为0,12，故选A13.【答案】5+26【解析】【分析】本题考查了等比数列的性质、指数运算性质、乘1法与基本不等式的性质，属于中档题实数a0，b0，2是8a与2b的等比中项，8a2b=2，可得3a+b=1.再利用乘法与基本不等式的性质即可得出【解答】解：实数a0，b0，2是8a与2b的等比中项，8a2b=2，23a+b=2，解得3a+b=1，则1a+2b=(3a+b)(1a+2b)=5+ba+6ab5+2ba6ab=5+26，当且仅当b=6a=62，a=363时取等号故答案为：5+2614.【答案】(0,1)【解析】【分析】本题考查函数零点与方程的根，考查数形结合的思想，属于中档题作函数的图象，从而可得x3x4=1，推出x1x2的范围即可求解结果【解答】解：作函数的图象如下，设直线y=m与f(x)的图象的从左到右的四个交点的横坐标分别为x1,x2,x3,x4，则x1x20x3x4结合图象可知，log2x3=log2x4，所以x3x4=1，令x22x=0得，x=0或x=2，令x22x=1得，x=1，所以x1+x2=2,x1x20，2a5，a4，4a6成等差数列，2a4=2a5+4a6，2a4=2a4(q+2q2)，化为：2q2+q1=0，q0，解得q=12，又满足a4=4a32，a1q3=4(a1q2)2，化为：1=4a1q，解得a1=12，an=(12)n(nN*)；)bn=an+1(1an)(1an+1)=2n(2n1)(2n+11)=12n112n+11，nN*，数列bn的前n项和Sn=(1211221)+(12211231)+(12n112n+11)=112n+11，nN*【解析】本题考查了“裂项求和”方法、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题设等比数列an的公比为q0，由2a5，a4，4a6成等差数列，可得2a4=2a5+4a6，化为：2q2+q1=0，q0，解得q.又满足a4=4a32，化为：1=4a1q，解得a1，可得an；)bn=an+1(1an)(1an+1)=2n(2n1)(2n+11)=12n112n+11，nN*，利用“裂项求和”方法即可得出18.【答案】证明：(1)取PC的中点G，连结FG、EG，FG为CDP的中位线，FG/CD，FG=12CD四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，AE/CD，AE=12CDFG=AE，FG/AE，四边形AEGF是平行四边形，AF/EG又EG平面PEC，AF平面PEC，AF/平面PEC；(2)PA=AD，F是PD的中点，AFPD，PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，又因为CDAD，APAD=A，AP，AD平面APD，CD平面APD，AF平面APD，CDAF，又AFPD，且PDCD=D，PD，CD平面PDC，AF平面PDC，由(1)得EG/AF，EG平面PDC，又EG平面PEC，平面PEC平面PCD【解析】本题主要考查了空间线面平行、面面垂直的判定，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题(1)取PC的中点G，连结FG、EG，AF/EG又EG平面PEC，AF平面PEC，AF/平面PEC；(2)由(1)得EG/AF，只需证明AF平面PDC，即可得到平面PEC平面PCD19.【答案】解：(1)直线l的参数方程为x=1+ty=3+2t(t为参数，消去参数，可得直线l的普通方程y=2x+1，曲线C的极坐标方程为sin216cos=0，即2sin2=16cos，所以曲线C的直角坐标方程为y2=16x；(2)直线l的参数方程改写为为参数，代入y2=16x，得，设A、B对应的参数分别为，则【解析】本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题(1)利用三种方程的转化方法，求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程即可；(2)直线的参数方程改写为为参数，代入y2=16x，利用参数的几何意义求1|PA|+1|PB|的值20.【答案】解：f(x)=3sin2x+2sin2x=3sin2x+1cos2x=2(32sin2x12cos2x)+1=2sin(2x6)+1由2+2k2x62+2k，kZ，解得6+kx3+k,kZ函数f(x)的单调增区间为6+k,3+k，kZ；将函数f(x)的图象向左平移12个单位，得y=2sin2(x+12)6+1=2sin2x+1，再向下平移1个单位后得到函数g(x)=2sin2x，由x6,3，得2x3,23，sin2x32,1，则函数g(x)的值域为3,2.【解析】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查y=Asin(x+)型函数的图象和性质，属中档题利用倍角公式降幂后再由两角差的正弦公式化简由相位在正弦函数的增区间内求得x的取值范围，可得函数f(x)的单调增区间；由函数的伸缩和平移变换求得g(x)的解析式，结合x的范围求得相位的范围，进一步求得函数g(x)的值域21.【答案】解：(1)由题意可知：椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)，焦点在x轴上，2c=2，c=1，椭圆的离心率e=ca=22，则a=2，b2=a2c2=1，则椭圆的标准方程：x22+y2=1；(2)证明：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，A(2,0)，当斜率不存在时，x=2与椭圆只有一个交点，不合题意由题意PQ的方程：y=k(x2)2，则联立方程y=k(x2)2x22+y2=1,整理得：(2k2+1)x2(42k2+42k)x+4k2+8k+2=0，由韦达定理可知：x1+x2=42k2+42k2k2+1，x1x2=4k2+8k+22k2+1，则y1+y2=k(x1+x2)22k22=2222k2k2+1，则kAP+kAQ=y1x12+y2x22=y1x2+y2x12(y1+y2)x1x22(x1+x2)+2，由y1x2+y2x1=k(x12)2x2+k(x22)2x1=2kx1x2(2k+2)(x1+x2)=4k2k2+1，kAP+kAQ=y1x2+y2x12(y1+y2)x1x22(x1+x2)+2=4k2k2+122222k2k2+14k2+8k+22k2+1242k2+42k2k2+1+2=1，直线AP，AQ的斜率之和为定值1【解析】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆位置关系，韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题(1)由题意可知2c=2，c=1，离心率e=ca，求得a=2，则b2=a2c2=1，即可求得椭圆的方程；(2)则直线PQ的方程：y=k(x2)2，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的斜率之和为定值22.【答案】解：证明：四边形EDCF为矩形，DECD，平面EDCF平面ABCD，平面EDCF平面ABCD=CD，DE平面ABCD由题意，以D为原点，DA所