江苏苏州第五中学高中数学3.2空间向量的应用学案苏教选修21

32 空间向量的应用一、学习内容、要求及建议知识、方法要求学习建议直线的方向向量与平面的法向量理解理解直线的方向向量与平面的法向量；会用待定系数法求平面的法向量空间线面关系的判定理解将空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，用直线的方向向量和平面的法向量来表述，是一个“符号化”的过程，应在明确方向向量和法向量含义的基础上，借助图形自己“翻译”完成空间的角的计算理解能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题；体会向量方法在研究几何问题中的作用二、预习指导1预习目标(1)理解直线的方向向量与平面的法向量；(2)会用待定系数法求平面的法向量；(3)能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系； (4)能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)；(5)能用向量方法判定空间线面的平行和垂直关系；(6)能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题2预习提纲(1)直线的方向向量：我们把直线上的非零向量以及与共线的非零向量叫做直线的方向向量(2)平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量(3)用向量描述空间线面关系：设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面的法向量分别为，则有如下结论：平 行垂 直与与与(4)空间的角的计算：两条异面直线所成的角与它们的方向向量所成的角相等或互补；法向量在求线面角中的应用原理：设平面的斜线与平面所的角为1，斜线与平面的法向量所成角2，则1与2互余或与2的补角互余；法向量在求面面角中的应用原理：一个二面角的平面角1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角2相等或互补3典型例题例1 如图，在正方体中，分别是的中点，求证：分析：用向量方法处理，只要证明，建立空间直角坐标系，得出的坐标后，用向量数量积的坐标运算证明证明：设已知正方体棱长为个单位，以为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），则，所以，点评：建立空间直角坐标系后，确定点的坐标是关键例2 棱长为的正方体中，在棱上是否存在一点，使面?解：以为原点建立如图所示的坐标系，设点，要使面， 只要，且，即， ，即点与重合点与重合时，面点评：用向量法证明垂直问题，只要计算两向量的数量积为零例3 在三棱锥中， 求与所成角的余弦值解：如图，取为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则有，得，设与所成的角为，即与所成角的余弦值为例4 如图，已知是上、下底边长分别为2、2，高为的等腰梯形，且、成等比数列，将此梯形沿对称轴折成直二面角，(1)证明：；ABCDOO1ABOCO1D(2)设二面角的平面角为当时，求的值ABOCO1Dxyz解：(1)证明：OAOO1，OBOO1AOB是所折成的直二面角的平面角，OAOB以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(，0，0)，B(0，0)，C(0，)O1(0，0，)，、，ACBO1(2)BO1OC，ACBO1，BO1平面OAC，是平面OAC的一个法向量设是平面O1AC的一个法向量，由得 得，cos，=点评：利用向量求二面角的大小方法：方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角(注意：要特别关注两个向量的方向)如图：二面角的大小为，则方法二：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角如图：已知二面角，在内取一点， PABl过作，及，连，则成立，就是二面角的平面角 用向量可求出及，然后解三角形求出方法三：转化为求二面角的两个半平面的法向量的夹角如图：为二面角内一点，作，则与二面角的平面角互补 例5 如图，直二面角中，四边形是边长为2的正方形，为上的点，且平面求二面角的余弦值解：以线段的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图面面，在的中点， 设平面的一个法向量为，则解得令得是平面的一个法向量又平面的一个法向量为，设二面角的大小为，则=，二面角的余弦值为例6 如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，(1)求证：面；(2)求二面角的大小的余弦值解： 以为原点，所在直线分别为 轴，轴，轴，建立直角坐标系，则，分别是的中点(1)， 取，显然面， ，又面 面(2)过作，交于，取的中点，则设，则，又，由，及在直线上，可得： 解得， ， 即，与所夹的角等于二面角的大小，ACDBPO，故二面角的大小的余弦值为例7 如图，在三棱锥，点分别是的中点，底面(1)若，试求异面直线与所成角余弦值的大小；(2)当取何值时，二面角的大小为?ACDBPOxyz解：连结底面，又， 从 而，以为坐标原点， 建立空间直角坐标系(1)设，则， 则 则异面直线与所成角的余弦值的大小为 (2)设，平面，为平面的一个法向量不妨设平面的一个法向量为， 由，不妨令，则，即， 则，而，当，二面角的大小为4自我检测(1)在正方体中，求证：是平面的法向量(2)在正方体中，求证：(3)在正方体中，是的中点，求对角线与所成角的余弦值(4)在正方体中，是底面的中心，是的中点求证：是平面的法向量；求二面角的大小(5)在正方体中，是的中点 求证：； 求与所成的角；求与平面所成的角三、课后巩固练习A组1已知点是平行四边形所在平面外一点，若，(1)求证：是平面的法向量；(2)求平行四边形面积2如图，长方体中，点分别是的中点，求异面直线与所成的角3如图，平面，且，求异面直线与所成角的正切值 4如图，正四棱柱中，求异面直线所成角的余弦值B组5正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为，求这个棱柱的侧面对角线与所成的角6如图，、是互相垂直的异面直线，是它们的公垂线段点在上，在上，(1)证明；(2)若，求与平面所成角的余弦值7正方体中，求：(1)与平面所成角大小；(2)与平面所成角的正切值8正三棱锥中，底面边长等于1，侧棱，分别为中点，求：(1)异面直线与所成角的余弦值；(2)与平面所成角的正弦值9在底面是菱形的四棱锥中，点在上，且：= 2：1，在棱上是否存在一点， 使平面?证明你的结论10是正方形所在平面外一点，若分别在上，且(1)求证：平面；(2)求与所成角的大小11如图，四面体中，分别是的中点，(1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的大小的余弦值12如图，为直角梯形，是平面外一点，平面，若，(1)求证：；(2)求异面直线与所成角的余弦值大小13在如图所示的几何体中，平面，平面，是的中点(1)求证：；(2)求与平面所成的角14如图是一个直三棱柱(以为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为已知，(1)设点是的中点，证明：平面；(2)求二面角的大小15如图所示，分别是、的直径与两圆所在的平面均垂直，是的直径，(1)求二面角的大小；(2)求直线与所成角的大小的余弦值16如图，在直三棱柱中，(1)证明：；(2)求二面角的大小17如图，正三棱柱的所有棱长都为2，为中点(1)求证：面；(2)求二面角的大小的余弦值ABCDEFOPH18如图，是边长为1的正六边形所在平面外一点，在平面内的射影为的中点(1)证明；(2)求面与面所成二面角的大小的余弦值ADPCB19如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，(1)求证：平面；(2)求二面角的大小的余弦值20正方体中，(1)求二面角的大小；(2)分别为与中点，求平面和底面所成角的余弦值21如图，在长方体，中，点在棱上移动(1)证明：；(2)等于何值时，二面角的大小为22如图，平面平面是正三角形，求二面角的正切值23如图，在直四棱柱中， ，垂足为(1)求二面角的大小；(2)求异面直线与所成角的大小的余弦值24如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD(1)证明AB平面VAD；(2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小的余弦值25如图，四边形是直角梯形，90，1，2，又1，120，直线与直线所成的角为60建立如图空间直角坐标系(1)求二面角的大小的余弦值；(2)求三棱锥的体积26已知斜三棱柱的底面是直角三角形，且，侧棱与底面成角，以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系(1)证明：平面；(2)求此三棱柱的体积27如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，为的中点 (1)求直线与所成角的余弦值；(2)在侧面内找一点，使面，并求出点到和的距离28如图，在三棱锥中，底面，是的中点，且，(1)求证：平面平面 ；(2)当角变化时，求直线与平面所成的角的取值范围29 如图1，在RtABC中，C=90，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE=2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图，2(1)求证：A1C平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由30 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，以的中点为球心、为直径的球面交于点(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求点到平面的距离知识点题号注意点求角230注意线线角，线面角和二面角所定义的范围，要分清是两向量的夹角还是其补角求点到面的距离27，30合理运用求体积25，26关键还是求点面得距离，记忆多面体的体积公式证明平行与垂直1，6，1014，1621，28，30注意运用平面的法向量四、学习心得五、拓展视野运用空间向量计算距离(1)向量法在求异面直线间的距离的运用：设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为，与这两条异面直线都垂直的向量为，则两异面直线间的距离是在方向上的正射影向量的模(2)向量法在求点到平面的距离中的运用：设分别以平面外一点与平面内一点为起点和终点的向量为，平面的法向量为，则到平面的距离等于在方向上正射影向量的模先求出平面的方程，然后用点到平面的距离公式：点到平面的距离d为：例1 直三棱柱的侧棱，底面中，求点到平面的距离解法一：如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：，设平面的一个法向量为，则，即所以，点到平面的距离解法二： 建系设点同上(略)，设平面的方程为，把点三点坐标分别代入平面方程得，平面的方程为，又，设点到平面的距离为，则例2 (2010年江苏高考)如图，四棱锥中，平面，1 求证：2 求点到平面的距离解