重庆高三数学学业质量调研抽测二诊文

重庆市2019届高三数学学业质量调研抽测4月二诊试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，则复数（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分子分母同乘分母共轭复数，化简即可.【详解】解：因为复数故选：D.【点睛】本题考查了复数的运算，属于基础题.2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先写出集合M和N，然后求交集即可.【详解】解：集合集合所以故选：B.【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题.3.已知向量，则向量与的夹角是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先写出向量与，再计算其夹角即可.【详解】解：因为，所以所以所以向量与的夹角为故选：C.【点睛】本题考查了平面向量坐标运算，夹角公式，属于基础题.4.将甲、乙、丙三名学生随机分到两个不同的班级，每个班至少分到一名学生，则甲、乙两名学生分到同一班级的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由等可能事件的概率直接求出答案即可.【详解】解：将甲、乙、丙三名学生随机分到两个不同的班级，每个班至少分到一名学生，则必有一人分到一个班，另两人分到一个班，共三种情况，且每种情况是等可能的所以甲、乙两名学生分到同一班级的概率故选：B.【点睛】本题考查了古典概型，属于基础题.5.设等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为20，则（ ）A. 127B. 64C. 63D. 32【答案】C【解析】【分析】先求出等比数列的首项和公比，然后计算即可.【详解】解：因为，所以因为与的等差中项为，所以，即，所以故选：C.【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，属于基础题.6.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，且，则C. 若，且，则D. 若直线与平面所成角相等，则【答案】B【解析】【分析】结合空间中平行于垂直的判定与性质定理，逐个选项分析排除即可.【详解】解：选项A中可能，A错误；选项C中没有说是相交直线，C错误；选项D中若相交，且都与平面平行，则直线与平面所成角相等，但不平行，D错误.故选：B.【点睛】本题考查了空间中点线面的位置关系，属于基础题.7.在中，角的对边分别为，已知，则边的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由三角形中诱导公式求出，再用正弦定理解出即可.【详解】解：因为，所以在中由正弦定理，所以故选：B.【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，属于基础题.8.把“正整数除以正整数后的余数为”记为，例如.执行如图的该程序框图，输出的值为（ ）A. 32B. 35C. 37D. 39【答案】C【解析】【分析】由流程图一步步向后判断推理即可.【详解】解：输入值，第一次判断为否，得；第二次判断为否，得；第三次判断为是，然后第一次判断为否，得；第四次判断为否，得；第五次判断为否，得；第六次判断为否，得；第七次判断为否，得；第八次判断为是，然后第二次判断为是，得到输出值故选：C.【点睛】本题考查了流程图中的循环结构，属于基础题.9.已知，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由结合角的范围解出、，然后求出，再用二倍角公式求出即可.【详解】解：由，且，解得所以，故选：B.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于基础题.10.在长方体中，分别为棱上的点，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，用空间向量求解即可.【详解】解：如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，因为，设所以点，所以，所以因为异面直线角为锐角或直角所以异面直线与所成角的余弦值为故选：A.【点睛】本题考查了空间中异面直线的夹角，异面直线夹角可以通过平移异面直线找到夹角再计算，也可以直接利用空间向量转化为向量夹角计算.11.已知函数（且）的图像恒过定点，设抛物线上任意一点到准线的距离为，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出定点，由抛物线的定义得，因为两点之间线段最短，所以最小值为.【详解】解：因为，所以函数的图像恒过定点又因为点M在抛物线上，抛物线焦点，所以点到准线的距离为所以由两点之间线段最短，所以最小值为故选：C.【点睛】本题考查了指数函数的定点，抛物线的定义，属于中档题.12.已知定义在上的奇函数在上是减函数，且对于任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由函数的性质分析出函数在上单调递减，然后将转化为，得，参变分离得对任意的恒成立，再用换元法求的最大值，得到的范围.【详解】解：由定义在上的奇函数在上是减函数，得在上是减函数所以所以，即对任意的恒成立记，则所以因为，当且仅当时取等号所以当的最大值为所以故选：A.【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性及其应用，不等式的恒成立，恒成立问题中参变分离可有效避免分类.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.曲线在点处的切线的斜率为_（为自然对数的底数）【答案】【解析】【分析】先求导，利用切点处的导数即为该点切线的斜率得出答案.【详解】解：由，得所以所以曲线在点处的切线的斜率为故答案为：.【点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题.14.若实数满足不等式组，则的最大值为_【答案】16【解析】【分析】先由简单线性规划问题求出的最大值，然后得出的最大值.【详解】解：由不等式组画出可行域如图中阴影部分然后画出目标函数如图中过原点虚线，平移目标函数在点A处取得最大值解得点所以最大为4所以的最大值为16故答案为：16.【点睛】本题考查了简单线性规划问题，指数复合型函数的最值，属于基础题.15.已知实数，函数的定义域为，若该函数的最大值为1，则的值为_【答案】【解析】【分析】先用辅助角公式，再结合函数定义域求出函数的最大值列出方程求解即可.【详解】解：因为，由，得，所以函数的最大值，即故答案为：【点睛】本题考查了辅助角公式，正弦型三角函数的最值，属于基础题.16.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为_【答案】7【解析】【分析】先由双曲线渐近线求出，记双曲线的右焦点为，利用，得，再由两点之间线段最短求出的最小值，然后得出答案.【详解】解：由双曲线方程，得，所以渐近线方程为比较方程，得所以双曲线方程为，点记双曲线的右焦点为，且点在双曲线右支上，所以所以由两点之间线段最短，得最小为因为点在圆上运动所以最小为点F到圆心的距离减去半径2所以所以的最小值为7故答案为：7.【点睛】本题考查了双曲线的定义与方程，双曲线的渐近线，平面中线段和最小问题，利用双曲线定义进行线段转化是解本题的关键，属于中档题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等差数列的公差，前3项和，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，且成等比数列列式求解出和，然后写出；（2）由，用错位相减法求和即可【详解】（1），又成等比数列，由解得：，（2），两式相减，得【点睛】本题考查了等差数列基本量的计算，错位相减法求和，属于中档题.18.为改善人居环境，某区增加了对环境综合治理的资金投入，已知今年治理环境（亩）与相应的资金投入（万元）的四组对应数据的散点图如图所示，用最小二乘法得到关于的线性回归方程.（1）求的值，并预测今年治理环境10亩所需投入的资金是多少万元？（2）已知该区去年治理环境10亩所投入的资金为3.5万元，根据（1）的结论，请你对该区环境治理给出一条简短的评价.【答案】（1），预测今年治理环境10亩所需投入的资金是7.35万元.（2）见解析.【解析】【分析】（1）先求出，由过点，可求出，再代入得出所需投入的资金；（2）结合（1）中尽量投入资金，对比去年资金做出合理评价即可.【详解】解：（1）由散点图中的数据，可得，代入，得从而回归直线方程为当时，（万元）预测今年治理环境10亩所需投入资金是7.35万元.（2）由（1）预测得今年治理环境10亩所需投入的资金是7.35万元，而去年该区治理环境10亩所投入的资金为3.5万元，今年增加了资金一倍以上，说明该区下了大决心来改善人居环境，值得赞扬.【点睛】本题考查了线性回归方程及其应用，实际问题的分析与评价，属于基础题.19.已知离心率为的椭圆：的右焦点为，点到直线的距离为1.（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆相交于不同的两点，当时，求直线的斜率的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由离心率为和点到直线的距离为1列出方程组解出，得出椭圆方程；（2）设出直线方程，联立椭圆方程得到韦达定理，用弦长公式求出列出不等式，解出的范围即可.【详解】解：（1）由题意：得，即又，即，椭圆的方程为（2）设，由，得由，得（*），即，结合（*），得或【点睛】本题考查了椭圆的方程与几何性质，直线与椭圆的相交弦长，属于中档题.20.如图，在三棱台中，已知两两互相垂直，点为的中点，.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，易证得平面，从而，又易证四边形是菱形，得，所以平面；（2）由，故只要求出和即可.【详解】解：（1）证明：如图，取的中点，连接，点为的中点，平面由已知，可得，四边形是菱形，平面（2）由已知，可得，设点到平面的距离为，即点到平面的距离为.【点睛】本题考查了线面垂直的证明，点到面的距离，点到面的距离常采用体积交换法求解，合理构造三棱锥并求出其体积是关键.21.已知函数，其中为自然对数的底数.（1）讨论单调区间；（2）若，设函数，当不等式在上恒成立时，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）求导，分和解不等式和，得函数单调区间；（2）由求出，代入参变分离得在上恒成立，记，用导数求出的最大值即可.【详解】（1）当时，由，得，由，得的增区间为，减区间为当时，得，由，得的增区间为，减区间为（2），不等式在上恒成立，即在上恒成立.设函数，该函数的定义域为.当时，当时，在上是增函数，在上是减函数时，在上取得最大值不等式在上恒成立时，实数的取值范围是.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，含参数时需要分类讨论，也可尝试参变分离处理.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，设点，已知，求实数的值.【答案】（1）直线: ，曲线:（2）【解析】【分析】（1）在直线的参数方程中消去参数t得直线的一般方程，在曲线的极坐标方程为中先两边同乘，得曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程直接代入曲线的直角坐标方程中，得到韦达定理，由，列方程求出答案.【详解】解：（1）因为直线的参数方程为消去t化简得直线普通方程：由得，因为，所以，所以曲线的直角坐标方程为（2）将代入得即，则，满足【点睛】本题考查了直线的参数方程，曲线极坐标方程与直角坐标方程得转化，直线与圆的位置关系，属于中档题.23.选修4-5：不等式选讲已知函数，.（1）