陕西汉中重点中学高三数学下学期联考试卷文

陕西省汉中市重点中学2019届高三数学下学期3月联考试卷 文（含解析）考生注意：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。2.请将各题答案填写在答题卡上。3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。第卷一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解不等式化简集合B，根据交集的定义写出AB【详解】因为，所以.故选B.【点睛】本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题2.设复数（为虚数单位），则的虚部是（ ）A. B. C. -4D. 4【答案】C【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案【详解】z=(5+i)(1-i)=6-4i，的虚部是-4，故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题3.双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线经过点(1,22)，则该双曲线的离心率为（ ）A. 2B. 3C. 22D. 23【答案】B【解析】【分析】根据双曲线方程，可得它的渐近线方程为y=bax，结合题意得点(1,22)在直线y=bax上，可得b22a再利用平方关系算出c=3a，由此结合双曲线离心率公式即可算出该双曲线的离心率的值【详解】双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0，b0)该双曲线的渐近线方程为y=bax，又一条渐近线经过点(1,22)，22=ba1，得b22a，由此可得c=a2+b2=3a，双曲线的离心率e=ca=3，故选：B【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质中的渐近线与离心率，求双曲线的离心率的值的关键是找到a，b，c的关系，属于基础题4.某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如下表所示：不喜欢喜欢男性青年观众3010女性青年观众3050现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n=（ ）A. 12B. 16C. 20D. 24【答案】D【解析】【分析】利用分层抽样的定义，建立方程，即可得出结论【详解】由题意3030+10+30+50=30120=6n，解得n=24.故选D.【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法，考查学生的计算能力，属于基础题5.若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）A. 2B. 22C. 2D. 4【答案】A【解析】【分析】由轴截面是面积为1的等腰直角三角形，得到底面半径及母线长即可得到该圆锥的侧面积.【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由题可知，r=h=22l，则122r2=1，r=1，l=2侧面积为rl=2故选：A【点睛】本题考查圆锥的计算；得到圆锥的底面半径是解决本题的突破点；注意圆锥的侧面积=rl的应用6.阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）A. 5B. 26C. 667D. 677【答案】D【解析】【分析】由算法的程序框图，计算各次循环的结果，满足条件，结束程序【详解】根据程序框图，模拟程序的运行，可得a1，满足条件a100，执行循环体，a2，满足条件a100，执行循环体，a5，满足条件a100，执行循环体，a26，满足条件a100，执行循环体，a677，不满足条件a100，退出循环，输出a的值为677，故选：D【点睛】本题考查了应用程序框图进行简单的计算问题，属于基础题7.设x，y满足约束条件x+2y40xy102x+y+10，则z=2x+y的最大值是（ ）A. 1B. 4C. 6D. 7【答案】D【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=-2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可【详解】由条件画出可行域如图：z=-2x+y表示直线在y轴上的截距，当：y=2x+z平移到过点A时，最大，又由x+2y=42x+y+1=0，解得A(-2,3)此时，zmax=7.故选D.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题8.已知函数f(x)=sinx,x4cosx,x4，则下列结论正确的是（ ）A. f(3)=f(116)B. f(23)+f(23)=0C. f(x)的图象关于直线x=4对称D. f(x)在x=52处取得最大值【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的表达式结合三角函数值及其性质，对选项一一作出判断【详解】对A选项：f-3=sin-3=-32,f116=cos116=32, 不满足f-3=f116，故A不正确；对B选项：f-23=sin-23=-32,f23=cos23=-12,不满足f(-23)+f(23)=0，故B不正确；对C选项：因为f(2-x)=f(x)，所以f(x)的图象关于直线x=4对称. 故C正确；对D选项：f52=cos52=0,不满足f(-23)+f(23)=0，不是f（x）的最大值，故D不正确；故选C.【点睛】本题主要考查正余弦函数值及其性质：奇偶性、对称性及函数的最值，属于基础题9.函数f(x)=x2+0.25x4的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再根据特殊函数值即可求出【详解】因为f(x)=-x2+0.25x4，所以f(-x)=f(x)，即f(x)为偶函数，排除B，D.取x=0.1，f(x)0，排除C.故选A.【点睛】本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性，以及函数值的变化情况是关键，属于基础题.10.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，若b=1，a(2sinB3cosC)=3ccosA，A为钝角，点D是边BC的中点，且AD=132，则ABC的面积为（ ）A. 334B. 34C. 23D. 3【答案】D【解析】【分析】先由正弦定理将已知化简得A=23，再利用中线的向量定理得到AD=12(AB+AC)，平方运算得c=4，可得ABC的面积.【详解】由正弦定理将边化为角得到：2sinAsinB-3sinAcosC=3sinCcosA，即2sinAsinB=3sinB，又B为三角形的内角，sinB0，sinA=32，A=23.因为AD=12(AB+AC)，所以AD2=14(AB+AC)2，即AD2=14(b2+c2+2bccosA)，当A=23时，解得c=4，所以ABC的面积为12bcsinA=3.故选D.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了三角形中线的求法、三角形面积公式，属于中档题.11.已知抛物线C：y2=6x，直线过点P(2,2)，且与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点恰好为点P，则直线的斜率为（ ）A. 13B. 54C. 32D. 14【答案】C【解析】【分析】由题意可知设M（x1，y1），N（x2，y2），代入抛物线方程作差求得：(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2)，由中点坐标公式可知：x1+x24，y1+y24，代入求得直线MN的斜率【详解】设M(x1,y1)，N(x2,y2)代入C：y2=6x，得y12=6x1(1)y22=6x2(2)，（1）-（2）得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2).因为线段MN的中点恰好为点P，所以x1+x2=4y1+y2=4，从而4(y1-y2)=6(x1-x2)，即的斜率为y1-y2x1-x2=32.故选C.【点睛】本题考查中点弦所在直线的斜率求法，考查“点差法”的应用，中点坐标公式的应用，考查运算能力，属于中档题12.已知x0，函数f(x)=(exa)2+(ex+a)2exex的最小值为6，则a=（ ）A. -2B. -1或7C. 1或-7D. 2【答案】B【解析】【分析】将f(x)化简成ex-e-x+2a2+2ex-e-x-2a，利用基本不等式求得最小值，即可得到a.【详解】f(x)=e2x+e-2x-2a(ex-e-x)+2a2ex-e-x =(ex-e-x)2-2a(ex-e-x)+2a2+2ex-e-x=ex-e-x+2a2+2ex-e-x-2a 22a2+2-2a=6，（当且仅当ex-e-x=2a2+2时等号成立），即a2-6a-7=0，解得a=-1或7.故选B.【点睛】本题考查了函数的最值，考查了基本不等式的应用，将函数进行合理变形是关键，属于中档题.第卷二、填空题.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量a，b不共线，m=2a3b，n=3a+kb，如果m/n，则k=_【答案】92【解析】【分析】利用向量共线定理即可得出【详解】因为m/n，所以2a-3b=(3a+kb)，则3=2，k=-3，所以k=-92.故答案为-92.【点睛】本题考查了向量的运算和共线定理，属于基础题14.若sincos=34，则sin2=_【答案】1316【解析】【分析】由sin-cos=34两边同时平方，利用同角三角函数关系式能求出sin2【详解】因为sin-cos=34，所以1-sin2=316，即sin2=1316.故答案为1316.【点睛】本题考查三角函数值的求法，是基础题，注意同角三角函数关系式的合理运用15.已知函数f(x)满足f(x2)=x33x，则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为_【答案】18xy16=0【解析】【分析】先求得f(x)及f(1),再求导求得f(1)即为切线的斜率，最后利用点斜式写出曲线在点(1,f(1)处的切线方程.【详解】令t=x2，则x=2t，所以f(t)=8t3-6t，即f(x)=8x3-6x.且f(1)=2，又f(x)=24x3-6，f(1)=18.所以切线方程为y-2=18(x-1)，即18x-y-16=0.故答案为18x-y-16=0.【点睛】本题考查了函数解析式的求法，考查了导数的运算法则和导数几何意义，属于中档题16.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为_【答案】20【解析】【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是如图的三棱锥，过其中两个面的外心分别作面的垂线交于O，即为外接球的球心，结合正弦定理及勾股定理可求出它的半径与表面积【详解】由三视图可推知，几何体的直观图为三棱锥A-BCD如图：令ABD的外心为F，BCD的外心为E，过E、F分别作面BCD、面ABD的垂线，交于O，则O到点A、B、C、D的距离相等，A-BCD的外接球的球心为O，半径为R，且OE平面BCD，OF平面ABD.又ABD是顶角为120的等腰三角形，由正弦定理得23sin120=2r=2FA，可得FA=2，所以R=OB=22+12=5，外接球的表面积为4(5)2=20.故答案为20.【点睛】本题考查了根据几何体的三视图还原几何体，考查了棱锥的外接球问题，其中找球心是解题的关键，是中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列an为等差数列，a7a2=10，且a1，a6，a21依次成等比数列.（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=1anan+1，数列bn的前n项和为Sn，若Sn=225，求n的值.【答案】(1) an=2n+3 (2) n=10【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得bn=1anan+1=1(2n+3)(2n+5)=12（12n+3-12n+5），运用裂项相消求和可得Sn，解方程可得n【详解】（1）设数列an的公差为d，因为a7-a2=10，所以5d=10，解得d=2.因为a1，a6，a21依次成等比数列，所以a62=a1a21，即(a1+52)2=a1(a1+202)，解得a1=5.所以an=2n+3.（2）由（1）知bn=1anan+1=1(2n+3)(2n+5)，所以bn=12(12n+3-12n+5)，所以Sn=12(15-17)+(17-19)+.+(12n+3-12n+5) =n5(2n+5)，由n5(2n+5)=225，得n=10.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比中项性质，考查裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题18.随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活.在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式.某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数（单位：人）与时间（单位：年）的数据，列表如下：123452427416479（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到0.01）.（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式 ，参考数据.（2）建立关于的回归方程，并预测第六年该公司的网购人数（计算结果精确到整数）.（参考公式： ，）【答案】(1)见解析；(2) 网购人数约为91人【解析】【分析】（1）由已知数据求得r值，由r值接近1可得y与t的线性相关程度很高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系（2）求出b与a的值，得到线性回归方程，取t6求得y值得答案【详解】（1）由题知t=3，y=47，i=15tiyi=852，i=1n(ti-t)2=10，i=1n(yi-y)2=2278，则r=i=1n(ti-t)(yi-y)i=1n(ti-t)2i=1n(yi-y)2 i=1ntiyi-ntyi=1n(ti-t)2i=1n(yi-y)2=14722780=14725695147150.940.970.75.故y与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合.（2）由（1）得b=i=1ntiyi-ntyi=1nti2-nt2=14.7，a=47-14.73=2.9.所以y与的回归方程为y=14.7t+2.9.将t=6带入回归方程，得y=91.191，所以预测第6年该公司的网购人数约为91人.【点睛】本题考查线性回归方程，考查学生读取图表的能力及运算求解能力，是中档题19.在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，AA1平面ABCD，AB=2AD=4，DAB=3.（1）证明：平面D1BC平面D1BD；（2）若直线D1B与底面ABCD所成角为6，M，N，Q分别为BD，CD，D1D的中点，求三棱锥CMNQ的体积.【答案】(1)见证明；(2) VCMNQ=36【解析】【分析】（1）推导出D1D平面ABCD，D1DBC，ADBD，由ADBC，得BCBD，从而BC平面D1BD，由此能证明平面D1BC平面D1BD（2）由D1D平面ABCD得D1BD=6，可以计算出D1D，再利用锥体体积公式求得VQ-CMN，根据等体积法即为VC-MNQ.【详解】（1）D1D平面ABCD，BC平面ABCD，D1DBC.又AB=4，AD=2，DAB=3，BD=22+42-224cos3=23，AD2+BD2=AB2，ADBD.又AD/BC，BCBD.又D1DBD=D，BD平面D1BD，D1D平面D1BD，BC平面D1BD，而BC平面D1BC，平面D1BC平面D1BD；（2）D1D平面ABCD，D1BD即为直线D1B与底面ABCD所成的角，即D1BD=6，而BD=23，DD1=2.又VC-MNQ=VQ-CMN=14VQ-BDC，VC-MNQ=1413122321=36.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的定义及求法，考查了三棱锥体积的常用求法，涉及空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20.顺次连接椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的四个顶点恰好构成了一个边长为3且面积为22的菱形.（1）求椭圆C的方程；（2）过点Q(0,2)的直线与椭圆C交于A，B两点，kOAkOB=1，其中O为坐标原点，求AB.【答案】(1) x22+y2=1 (2) AB=42111【解析】【分析】（1）利用已知建立a，b的方程，解出a，b即可.（2）先考虑斜率不存在时，则kOA与kOB不存在，可设直线为y=kx-2，与椭圆联立，利用韦达定理结合条件解得k，再利用弦长公式计算AB即可.【详解】（1）由题可知2ab=22，a2+b2=3，解得a=2，b=1.所以椭圆C的方程为x22+y2=1.（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，当直线斜率不存在时，明显不符合题意，故设的方程为y=kx-2，代入方程x22+y2=1，整理得(1+2k2)x2-8kx+6=0.由=64k2-24(2k2+1)0，解得k232，所以x1+x2=8k1+2k2，x1x2=61+2k2.kOAkOB=y1y2x1x2=k2x1x2-2k(x1+x2)+4x1x2=-1，解得k2=5.AB=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=42111.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，设而不求，利用韦达定理是解决此类问题的常见方法，考查运算能力，属于中档题21.已知函数f(x)=lnx+12x2(m+1)x+m+12.（1）设x=2是函数f(x)的极值点，求m的值，并求f(x)的单调区间；（2）若对任意的x(1,+)，f(x)0恒成立，求m的取值范围.【答案】(1) f(x)在(0,12)和(2,+)上单调递增，在(12,2)上单调递减. (2) m1【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用函数的极值，推出m，然后求出函数的解析式，通过导函数的符号，求解函数的单调区间（2）求出导函数，对m分类讨论分别判断函数的单调区间以及极值，求解即可【详解】（1）f(x)=lnx+12x2-(m+1)x+m+12(x0)，f(x)=x+1x-m-1.因为x=2是函数f(x)的极值点，所以f(2)=2+12-m-1=0，故m=32.令f(x)=x+1x-52=2x2-5x+22x0，解得0x2.所以f(x)在(0,12)和(2,+)上单调递增，在(12,2)上单调递减.（2）f(x)=x+1x-m-1，当m1时，f(x)0，则f(x)在(1,+)上单调递增，又f(1)=0，所以lnx+12x2-(m+1)x+m+120恒成立；当m1时，易知f(x)=x+1x-m-1在(1,+)上单调递增，故存在x0(1,+)，使得f(x0)=0，所以f(x)在(1,x0)上单调递减，在(x0,+)上单调递增，又f(1)=0，则f(x0)0恒成立矛盾.综上，m1.【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性、极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C1:x=a(1+sin