重庆普通高等学校高三数学预测卷3理

2017年重庆市普通高等学校高考数学预测卷（理科）（3）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1在复平面内，复数的共轭复数对应的点坐标为（）A（1，3）B（1，3）C（1，3）D（1，3）2设集合M=x|y=，N=x|x|，则MN=（）AC，D，3过坐标原点O作单位圆x2+y2=1的两条互相垂直的半径OA、OB，若在该圆上存在一点C，使得=a+b（a、bR），则以下说法正确的是（）A点P（a，b）一定在单位圆内B点P（a，b）一定在单位圆上C点P（a，b）一定在单位圆外D当且仅当ab=0时，点P（a，b）在单位圆上4已知圆C1：（x+1）2+（y1）2=4，圆C2与圆C1关于直线xy1=0对称，则圆C2的方程为（）A（x+2）2+（y2）2=4B（x2）2+（y+2）2=4C（x+2）2+（y+2）2=4D（x2）2+（y2）2=45设三位数n=100a+10b+c，若以a，b，c1，2，3，4为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（）A12种B24种C28种D36种6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A24B12C8D67函数y=sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能的值为（）ABC0D8若如图框图所给的程序运行结果为S=28，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）Ak8Bk8Ck7Dk99已知是第三象限角，且sin4+cos4=，那么sin2等于（）ABCD10一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（）ABCD11从双曲线=1（a0，b0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|MT|等于（）AcaBbaCabDcb12若函数f（x）=x2+ax+在（，+）上是增函数，则a的取值范围是（）ABD时，f（x）=2xx2当x时，则f（x）= 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17数列an满足an=3an1+3n1（nN*，n2），已知a3=95（1）求a1，a2；（2）是否存在一个实数t，使得，且bn为等差数列？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由18某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标70，76）76，82）82，88）88，94）芯片甲81240328芯片乙71840296（I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元在（I）的前提下，（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率19如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，PD平面ABCD，E为PB上的点，且2BE=EP（1）证明：ACDE；（2）若PC=BC，求二面角EACP的余弦值20已知椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而以双曲线C2的左、右顶点分别是椭圆C1的左、右焦点（1）求双曲线C2的方程；（2）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C2相交于不同的两点E、F，若OEF的面积为2，求直线l的方程21已知函数f（x）=mexlnx1 （1）当m=1，xC，D，【考点】1E：交集及其运算【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中绝对值不等式的解集确定出N，找出两集合的交集即可【解答】解：由M中10，即1，解得：0x，即M=（0，由N中不等式变形得：x，解得：x，即N=，则MN=，故选：C3过坐标原点O作单位圆x2+y2=1的两条互相垂直的半径OA、OB，若在该圆上存在一点C，使得=a+b（a、bR），则以下说法正确的是（）A点P（a，b）一定在单位圆内B点P（a，b）一定在单位圆上C点P（a，b）一定在单位圆外D当且仅当ab=0时，点P（a，b）在单位圆上【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义【分析】根据点P到圆心O的距离判断点P与圆的位置关系【解答】解：易知|=，|=1|=OP=1又圆的半为1点P一定在单位圆上故选：B4已知圆C1：（x+1）2+（y1）2=4，圆C2与圆C1关于直线xy1=0对称，则圆C2的方程为（）A（x+2）2+（y2）2=4B（x2）2+（y+2）2=4C（x+2）2+（y+2）2=4D（x2）2+（y2）2=4【考点】J1：圆的标准方程；JA：圆与圆的位置关系及其判定【分析】先求出圆C1（1，1）关于直线xy1=0对称的点C2的坐标，再利用所求的圆和已知的圆半径相同，写出圆C2的标准方程【解答】解：根据题意，设圆C2的圆心为（a，b），圆C1：（x+1）2+（y1）2=4，其圆心为（1，1），半径为2，若圆C2与圆C1关于直线xy1=0对称，则点C1与C2关于直线xy1=0对称，且圆C2的半径为2，则有，解可得，则圆C2的方程为：（x2）2+（y+2）2=4，故选：B5设三位数n=100a+10b+c，若以a，b，c1，2，3，4为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（）A12种B24种C28种D36种【考点】D4：排列及排列数公式【分析】先考虑等边三角形情况，再考虑等腰三角形情况，列举可得【解答】解：先考虑等边三角形情况，共有a=b=c=1，2，3，4，此时n有4个，再考虑等腰三角形情况，若a，b是腰，即a=b，当a=b=1时，ca+b=2，则c=1，与等边三角形情况重复；当a=b=2时，c4，则c=1，3（c=2的情况等边三角形已有），此时n有2个；当a=b=3时，c6，则c=1，2，4，此时n有3个；当a=b=4时，c8，则c=1，2，3，有3个；故n有2+3+3=8个同理，a=c时，b=c时也都有8个n共有4+38=28个故选：C6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A24B12C8D6【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L!：由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图，可得该几何合格是四棱锥，且有一条侧棱与底面垂直，故其外接球，相当于一个长，宽，高分别为1，1，2的棱柱的外接球，进而得到答案【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何合格是四棱锥，且有一条侧棱与底面垂直，故其外接球，相当于一个长，宽，高分别为1，1，2的棱柱的外接球，故该几何体的外接球的表面积（12+12+22）=6，故选：D7函数y=sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能的值为（）ABC0D【考点】HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换可得函数y=sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案【解答】解：令y=f（x）=sin（2x+），则f（x+）=sin=sin（2x+），f（x+）为偶函数，+=k+，=k+，kZ，当k=0时，=故的一个可能的值为故选B8若如图框图所给的程序运行结果为S=28，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）Ak8Bk8Ck7Dk9【考点】EF：程序框图【分析】根据所给的程序运行结果为S=28，执行循环语句，当计算结果S为28时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论【解答】解：由题意可知输出结果为S=28，第1次循环，S=11，k=9，第2次循环，S=20，k=8，第3次循环，S=28，k=7，此时S满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为k8故选：A9已知是第三象限角，且sin4+cos4=，那么sin2等于（）ABCD【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用【分析】根据已知正弦和余弦的四次方和的值和要求的结论是sin2，所以把正弦和余弦的平方和等于1两边平方，又根据角是第三象限的角判断出要求结论的符号，得到结果【解答】解：sin2+cos2=1，sin4+cos4+2sin2cos2=1，角是第三象限角，sin2=，故选A10一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（）ABCD【考点】C7：等可能事件的概率【分析】由分步计数原理知从有8个球的袋中有放回地取2次，所取号码共有88种，题目的困难之处是列出其中（7，8），（8，7），（8，8）和不小于15的3种结果，也就是找出符合条件的事件数【解答】解：由分步计数原理知从有8个球的袋中有放回地取2次，所取号码共有88=64种，其中（7，8），（8，7），（8，8）和不小于15的有3种，所求概率为故选D11从双曲线=1（a0，b0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|MT|等于（）AcaBbaCabDcb【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】设F是双曲线的右焦点，连接PF利用三角形的中位线定理和双曲线的定义可得：|OM|=|PF|=（|PF|2a）=|PF|a=|MF|a，于是|OM|MT|=|MF|MT|a=|FT|a，连接OT，则OTFT，在RtFOT中，|OF|=c，|OT|=a，可得|FT|=b即可得出结论【解答】解：如图所示，设F是双曲线的右焦点，连接PF点M，O分别为线段PF，FF的中点，由三角形中位线定理得到：|OM|=|PF|=（|PF|2a）=|PF|a=|MF|a，|OM|MT|=|MF|MT|a=|FT|a，连接OT，因为PT是圆的切线，则OTFT，在RtFOT中，|OF|=c，|OT|=a，|FT|=b|OM|MT|=ba故选B12若函数f（x）=x2+ax+在（，+）上是增函数，则a的取值范围是（）ABD【考点】7C：简单线性规划【分析】先画出满足条件的平面区域，通过讨论x的范围，求出直线的表达式，结合图象从而求出z的范围【解答】解：画出满足条件不等式组的平面区域，如图示：，z=|x|+y=，当M（x，y）位于D中y轴的右侧包括y轴时，平移直线：x+y=0，可得x+y，当M（x，y）位于D中y轴左侧，平移直线x+y=0，可得z=x+y（1，所以z=|x|+y的取值范围为：故答案为：16设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=f（x）当x时，f（x）=2xx2当x时，则f（x）=x26x+8【考点】3L：函数奇偶性的性质；36：函数解析式的求解及常用方法【分析】由f（x+2）=f（x），得出4是f（x）的周期；由f（x）是R上的奇函数，得出f（0）=a=0；由x时，f（x）=2xx2，求出x时，f（x）的解析式，从而求出x时，f（x）的解析式【解答】解：对任意实数x，恒有f（x+2）=f（x）；用x+2代替x，则f=f（x+2）=f（x），即f（x+4）=f（x），f（x）是以4为周期的周期函数；又f（x）是定义在R上的奇函数，且x时，f（x）=2xx2+a，f（0）=a=0，f（x）=2xx2；当x时，x，f（x）=f（x）=2x+x2；当 x时，x4，f（x4）=2（x4）+（x4）2=x26x+8；又f（x）的周期是4，f（x）=f（x4）=x26x+8，在x时，f（x）=x26x+8；故答案为：x26x+8三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17数列an满足an=3an1+3n1（nN*，n2），已知a3=95（1）求a1，a2；（2）是否存在一个实数t，使得，且bn为等差数列？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由【考点】8C：等差关系的确定【分析】（1）将已知的递推关系中的n分别用2，3代替，列出方程组，求出a1，a2（2）求出bnbn1，令1+2t=0求出t的值，保证相邻两项的差为常数，解方程求出t的值【解答】解：（1）n=2 时，a2=3a1+321n=3 时，a3=3a2+331=95，a2=2323=3a1+8a1=56分（2）当n2 时 bnbn1=3t）=要使bn 为等差数列，则必需使， 即存在t=，使bn 为等差数列13分18某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标70，76）76，82）82，88）88，94）芯片甲81240328芯片乙71840296（I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元在（I）的前提下，（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；C7：等可能事件的概率【分析】（）分布求出甲乙芯片合格品的频数，然后代入等可能事件的概率即可求解（）（）先判断随机变量X的所有取值情况有90，45，30，15，然后分布求解出每种情况下的概率，即可求解分布列及期望值（）设生产的5件芯片乙中合格品n件，则次品有5n件由题意，得 50n10（5n）140，解不等式可求n，然后利用独立事件恰好发生k次的概率公式即可求解【解答】解：（）芯片甲为合格品的概率约为，芯片乙为合格品的概率约为 （）（）随机变量X的所有取值为90，45，30，15.； ； 所以，随机变量X的分布列为：X90453015P （）设生产的5件芯片乙中合格品n件，则次品有5n件依题意，得 50n10（5n）140，解得所以 n=4，或n=5设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A，则 19如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，PD平面ABCD，E为PB上的点，且2BE=EP（1）证明：ACDE；（2）若PC=BC，求二面角EACP的余弦值【考点】MR：用空间向量求平面间的夹角；LX：直线与平面垂直的性质【分析】（1）由线面垂直的定义，得到PDAC，在正方形ABCD中，证出BDAC，根据线面垂直判定定理证出AC平面PBD，从而得到ACDE；（2）建立空间直角坐标系，如图所示得D、A、C、P、E的坐标，从而得到、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组解出=（1，1，1）是平面ACP的一个法向量， =（1，1，1）是平面ACE的一个法向量，利用空间向量的夹角公式即可算出二面角EACP的余弦值【解答】解：（1）PD平面ABCD，AC平面ABCDPDAC底面ABCD是正方形，BDAC，PD、BD是平面PBD内的相交直线，AC平面PBDDE平面PBD，ACDE（2）分别以DP、DA、DC所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示设BC=3，则CP=3，DP=3，结合2BE=EP可得D（0，0，0），A（0，3，0），C（0，0，3），P（3，0，0），E（1，2，2）=（0，3，3），=（3，0，3），=（1，2，1）设平面ACP的一个法向量为=（x，y，z），可得，取x=1得=（1，1，1）同理求得平面ACE的一个法向量为=（1，1，1）cos，=，二面角EACP的余弦值等于20已知椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而以双曲线C2的左、右顶点分别是椭圆C1的左、右焦点（1）求双曲线C2的方程；（2）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C2相交于不同的两点E、F，若OEF的面积为2，求直线l的方程【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】（1）设双曲线的方程，由双曲线的性质，即可求得a和b的方程，即可求得双曲线的方程；（2）设直线l的方程，代入双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得丨EF丨，利用三角形的面积公式，即可求得k的值，求得直线l的方程【解答】解：（1）设双曲线C2的方程：，则c2=4，a2=42=2，由a2+b2=c2，则b2=2，故双曲线C2的方程：；（2）由题意可知：设直线l的方程y=kx+2，则，整理得：（1k2）x24kx6=0，直线l与双曲线相交于不同两点E，F，则，解得k1或1k，设E（x1，y1），F（x2，y1），则x1+x2=，x1x2=，则丨EF丨=，原点O到直线l的距离d=，则OEF的面积S=d丨EF丨=，由S=2，则=2，整理得：k4k22=0，解得：k=，满足k1或1k，故满足条件的直线l有两条，其方程为y=x+2或y=x+221已知函数f（x）=mexlnx1 （1）当m=1，x1，+）时，求y=f（x）的值域；（2）当m1时，证明：f（x）1【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求得m=1时，求出函数的导数，根据函数的单调性求出f（x）的值域即可；（2）：运用分析法证明，当m1时，f（x）=mexlnx1exlnx1要证明f（x）1，只需证明exlnx20，思路1：设g（x）=exlnx2，求得导数，求得单调区间，可得最小值，证明大于0即可；思路2：先证明exx+1（xR），设h（x）=exx1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0；证明xlnx10设p（x）=xlnx1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0，即可得证【解答】解：（1）m=1时，f（x）=exlnx1，f（x）=ex，故f（x）0在x1，+）恒成立，故f（x）在1，+）递增，f（x）的最小值是f（1）=e1，故f（x）在值域是e1，+）；（2）当m1时，f（x）=mexlnx1exlnx1要证明f（x）1，只需证明exlnx20以下给出三种思路证明exlnx20思路1：设g（x）=exlnx2，则g（x）=ex设h（x）=ex，则h（x）=ex+0，所以函数h（x）=g（x）=ex在（0，+）上单调递增因为g（）=20，g（1）=e10，所以函数g（x）在（0，+）上有唯一零点x0，且x0（，1）因为g（x0）=0时，所以=，即lnx0=x0当x（0，x0）时，g（x）0；当x（x0，+）时，g（x）0所以当x=x0时，g（x）取得最小值g（x0）故g（x）g（x0）=lnx02=+x020综上可知，当m1时，f（x）1思路2：先证明exx+1（xR）设h（x）=exx1，则h（x）=ex1因为当x0时，h（x）0，当x0时，h（x）0，所以当x0时，函数h（x）单调递减，当x0时，函数h（x）单调递增所以h（x）h（0）=0所以exx+1（当且仅当x=0时取等号）所以要证明exlnx20，只需证明（x+1）lnx20下面证明xlnx10设p（x）=xlnx1，则p（x）=1=当0x1时，p（x）0，当x1时，p（x）0，所以当0x1时，函数p（x）单调递减，当x1时，函数p（x）单调递增所以p（x）p（1）=0所以xlnx10（当且仅当x=1时取等号）由于取等号的条件不同