江西上饶中学高中数学奥林匹克竞赛训练题182无_第1页
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江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（182）（无答案）第一试1、 填空题（每小题8分，共64分）1. 已知集合.则集合的所有元素之和为.2. 若，则的取值范围是.3. 已知.则.4. 在四面体中，已知，的面各分别为.则此四面体体积为.5. 小明、小红分别独立重复投掷均匀的色子，直到第一次出现6点为止.则小明和上红投掷的次数相差不超过1的概率为.6. 已知.则的最小值为.7. 在平面直角坐标系中，已知与交于两点，两圆半径之积为.若两圆均与直线和轴相切，则直线的方程为.8. 将具有如下性质的方格表称为“网格”：（1） 五个格填1，四个格填0；（2） 三行、三列以及两条对角线共八条线上至多有一条，其中三个数两两相等.则不同的网格共有个.二、解答题（共56分）9.（16分）已知函数且.证明：在区间上必有零点.10.（20分）已知双曲线的左、右焦分别为点，过定点作双曲线的切线，切点分别为，且点的横坐标小于点的横坐标.（1） 求直线的方程；（2） 证明：.11.（20分）已知实数满足.求的取值范围.加 试一、（40分）如图1，已知为凸四边形的最长边，点分别在上，且均平分四边形的面积.证明：线段平分对角线.2、 （40分）已知正数数列满足对于任意的正整数，有，且.证明：（1） 对于任意的正整数有；（2） 从某一个正整数开始均有.3、 （50分）设表示个数字均为1的十进制数（如），定义.（1） 对于任意正整数令，写出一个关于的递推关系式，并证明之；（2） 证明：对于任意正整数均可以被整除.4、 (50分)某国有53座城市,任意两座城市之间要么有一条双向公路直达,要么没有直接相连的公路.已知这53座城市之间共有312条公路,并且由任何一座城市出发通过公路均能到达其余各城市.每一座城市至多向其余12座城市引出公路,且每走一条公路需要缴纳10元路费.现甲
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