高三数学备考数列通项公式的求法理

高三数学数列的通项公式【教学目标】一、 知识目标1、解决形如 通项公式的确定。 2、通过学习让学生掌握和理解几种类型的通项公式的求法。 二、能力目标 在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导入数列通项公式，培养学生类比思维能力。通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。通过归纳总结，促进学生自主学习和归纳的能力。三、 情感目标通过公式的推导使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊，体现“归纳推理”的思想方法。【教学重点】：通过学习让学生能够熟练准确的掌握通项公式的求法，并能解决实际问题。【教学难点】：1、 如何将转化为我们熟悉的等差和等比数列。2、 理解和掌握此类型的数列通项公式确定的数学思想方法。【知识点梳理】1. 数列的通项公式 如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子anf(n)来表示，那么这个公式叫 做这个数列的通项公式2Sn与an的关系 已知Sn，则an在数列an中，若an最大，则若an最小，则 3、已知求数列通项公式用累加法4、已知求数列通项公式用累乘法5、已知求数列通项公式（1）：可转化为令，则成等比数列；（2）：可转化为，则为等比数列【典型例题】题型一：由数列的前几项写出数列的通项公式例1、根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：解析： 点拨：（1）解决这类问题需要我们从多角度、全方位观察、广泛联系，一般要将原数列变形后化为基本数列或特殊数列，要熟知一些基本数列，如数列等（2）归纳得出的数列的通项公式适合前几项即可，并且通项公式也不一定唯一【变式练习】1.写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)1，；(4)3,33,333,3 333，.审题视点 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项之间的关系，项与前后项之间的关系解(1)各项减去1后为正偶数，所以an2n1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23，24，所以an.(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为21，偶数项为21，所以an(1)n.也可写为an(4)将数列各项改写为：，分母都是3，而分子分别是101,1021,1031，1041，所以an(10n1)题型二：由递推关系求通项（1）累加法：已知求数列通项公式用累加法例1 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。【变式练习】1 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。2. 已知数列中，求数列的通项公式；【解题思路】已知关系式，可利用迭加法或迭代法；【解析】（累加法）， （2）累乘法：已知求数列通项公式用累乘法例2 已知数列中，求数列的通项公式.【解析】由得，.【变式练习】1.已知数列中: a11，anan1(n2), 确定数列an的通项公式【解析】anan1(n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)个式子相乘得 ana1.2. 已知数列满足=，求【解析】由已知得，分别令n=1，2，3，.(n-1),代入 上式得n-1个等式累乘，即= 所以，又因为也满足该式，所以。【方法与技巧总结】累加法适用于求递推关系形如“”； 累乘法适用于求递推关系形如“；累加法、累乘法公式： .（3）转化法: 1. （A、B为常数）型，可化为=A（）的形式.例3、已知数列中，求的通项公式解析：方法一：转化法故是首项为2，公比为2的等比数列，即方法二：引入新数列法两式相减得故数列是首项为公比为2的等比数列，即 再用累加法得：【变式练习】1. 设数列的首项，=，(n=2、3、4) 求的通项公式解：构造新数列，使之成为的等比数列即= 整理得：=满足=得 = p=-1 即新数列首项为，的等比数列 = 故 =+12. 已知数列中，=2，= 求的通项公式。解：构造新数列，使之成为的等比数列= 整理得：=+使之满足已知条件 =+2解得 是首项为 的等比数列，由此得= =2 .（A、B、C为常数，下同）型，可化为=）的形式.例4 在数列中，求通项公式。解：原递推式可化为： 比较系数得=-4，式即是：.则数列是一个等比数列，其首项，公比是2. 即.【变式练习】1.已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入式得由及式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。2. 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得整理得。令，则，代入式得由及式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。3.型，可化为的形式例5在数列中，当， , 求通项公式.解：原递推式可化为：比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.式可化为：则是一个等比数列，首项=2-2（-1）=4，公比为3.利用上题结果有：.【变式练习】1.已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式解：（I）证明：是以为首项，2为公比的等比数列（II）解：由（I）得 4、型，可化为的形式例6在数列中，=6 求通项公式.解 原式可化为： 比较系数可得：=-6， 式为是一个等比数列，首项，公比为.即 故.【变式练习】1.在数列中，=2，= ，求数列的通项解：构造新数列，使之成为q=4的等比数列，则= 整理得：=满足=，即得新数列的首项为，q=4的等比数列 5、形如型（1）若（d为常数），则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，分奇偶项来分求通项.例7数列满足,求数列an的通项公式.分析 1：构造 转化为型解法1：令则.时,各式相加:当n为偶数时，.此时当n为奇数时，此时,所以.故 解法2：时，两式相减得：.构成以,为首项，以2为公差的等差数列;构成以,为首项，以2为公差的等差数列. 评注：结果要还原成n的表达式.【方法与技巧总结】原数列既不等差，也不等比。若把中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出。该法适用于递推式形如=或=或= 其中b、c为不相等的常数 （4）取对数法:例7已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以。在式两边取常用对数得设将式代入式，得，两边消去并整理，得，则，故代入式，得 由及式，得，则，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此则。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。【变式练习】1.若数列中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=解 由题意知0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列， ，即.（5）开平方法:（换元法）例8已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则故，代入得即因为，故则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得。评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。【变式练习】1.若数列中，=2且（n），求它的通项公式是.解 将两边平方整理得。数列是以=4为首项，3为公差的等差数列。因为0，所以。（6）倒数法: 形如（都为的一次式，且中无常数项）的递推公式可用倒数变换，将其转化为等差或等比数列例9 数列中，解析：取倒数，得：为首项公差的等差数列【变式练习】1.已知数列满足，且（），求数列的通项公式。解：把原式变形成 两边同除以得即 构造新数列，使其成为公比q= 的等比数列即整理得： 满足式使 数列是首项为，q= 的等比数列 。题型三：由与的关系求通项例10数列的前项和求其通项公式解析：法一、，由得：法二：由得： 为等比数列点拨：（1）利用与的关系 （2）若和在一个等式中，一般可利用与的关系，消去或，构造关于或的递推公式，再进一步确定或【变式练习】1. 已知为数列的前项和，求下列数列的通项公式： ； .【解题思路】已知关系式，可利用，这是求数列通项的一个重要公式.【解析】当时，当时，.而时，.当时，当时，.而时，.2. 已知为数列的前项和， ，求数列的通项公式.【解析】当时，当时，.是以为公比的等比数列，其首项为，题型四：求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如是常数）的数列 形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为 若有二异根，则可令是待定常数） 若有二重根，则可令是待定常数） 再利用可求得，进而求得例11已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得， 例12已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得， 【变式练习】1.已知数列满足，求数列的通项公式。解：的相应特征方程为，解之求特征根是，所以。由初始值，得方程组求得 ， 从而， 。评注：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出，从而可得数列的通项公式。二、形如的数列对于数列，是常数且） 其特征方程为，变形为 若有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值 这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得 若有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值 这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得此方法又称不动点法例14 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。例15 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的不动点。因为，所以，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故。评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的根，进而可推出，从而可知数列为等差数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。【变式练习】1.已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，化简得，解得，令 由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，2. 已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，即，解得，令 由得，求得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，【巩固练习】1. 等差数列中, 则的通向公式为 2.如图，将一个边长为1的正角三形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）试用 n表示出第n个图形的边数3. 已知数列是等差数列，且，求数列的通项公式4. 若在数列中，求通项.5.已知数列满足，求的通项公式6.数列的前n项和为，=1， ( n),求的通项公式。7.已知数列中，,，求8.设数列的前项的和，求首项与通项9.数列：， ，求数列的通项公式10.已知数列an的前n项和Sn满足SnSn2=3求数列an的通项公式.11.已知数列中，求通项公式【课后作业】1. 已知数列的前项和，则其通项 ；若它的第项满足，则 2. 根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第个图中有 个点。（1） （2） （3） （4） （5）3.在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；（答案用表示）. 4.数列an的前项的和Sn=（an-1） (n)(1)求a1；a2； (2)求证数列an为等比数列5.数列中，求的通项公式6.已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上，求数列的通项公式。7.已知数列中，是其前项和，并且，(1)设数列，求证：数列是等比数列；(2)设数列，求证：数列是等差数列； （3）求数列的通项公式及前项和8.数列满足= ()，首项为，求数列的通项公式。9.数列中，=5，且 （n=2、3、4），试求数列的通项公式。10.已知数列满足，且（）求数列的通项公式。11.。【拓展训练】1、已知数列an的前n项和Sn满足：Sn=2an +(-1)n,n1（1）写出求数列an的前3项a1,a2,a3；（2）求数列an的通项公式；2. 设正项数列满足，（n2）.求数列的通项公式.3、在数列中，,求通项4、设数列an满足,求an的通项公式.5.已知数列满足，且,且满足,求.。【参考答案】巩固练习答案1.2.答案： 3.4.解：由得，所以，将以上各式相加得：，又所以 =5.解：由于， =6.解：由=1，=2，当n2时=得=3，因此是首项为=2，q=3的等比数列。故= (n2),而=1不满足该式 所以=。7.解：在两边乘以得：令，则，解之得：，所以8.解：当时，；当时，即利用的方法，解之得：9.解：由，得，且则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是由迭加法：，把以上各式相加，得10.解：11.解：取倒数： 2、课后作业答案1.答案：；2.n2-n+13.；4.解: ()由,得 又,即,得. ()当n1时, 得所以是首项,公比为的等比数列5.解：，6.解：设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 （）.7.解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3