江西上饶玉山第一中学高二数学下学期期中理1019班含解析

玉山一中2018 2019学年度第二学期高二期中考试理科数学试卷（1019班）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先化简集合，再求交集即可得出结果.【详解】因为，所以.故选A【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.2.已知复数，则的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由复数的除法，化简，进而可得出其共轭复数.【详解】因为，所以的共轭复数为.故选B【点睛】本题主要考查复数的运算以及共轭复数，熟记除法运算法则以及共轭复数的概念即可，属于基础题型.3.方程表示的曲线不可能是（ ）A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 直线【答案】B【解析】【分析】分，三种情况讨论，即可得出结果.【详解】（1）当，即或时，方程可化为或，故方程表示直线；（2）当，即或时，方程可化为，当时，方程表示椭圆，当时，方程无解，不能表示任何曲线；（3）当，即时，方程可化为，表示双曲线；综上，可知方程不能表示抛物线.故选B【点睛】本题主要考查曲线与方程，用分类讨论的思想即可求解，属于基础题型.4.已知，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求定积分，再解方程得结果.【详解】因为，所以，选C.【点睛】本题考查定积分，考查基本分析求解能力，属基础题.5.若函数的导函数的图像关于原点对称，则的解析式可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】逐项对所给函数求导，判断导函数的奇偶性，即可得出结果.【详解】A中，因为，所以，由可得，为奇函数，其图像关于原点对称，所以A正确；B中，由得，又，所以不是奇函数，不关于原点对称，所以B错；C中，由得，所以，即为偶函数，所以C错；D中，由得，所以，即不是奇函数，不关于原点对称，所以D错故选A【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，熟记概念即可，属于基础题型.6.设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】化简不等式，再根据包含关系确定选项.【详解】因为，所以或，因此“”是“”的充分不必要条件，选A.【点睛】本题考查充要关系，考查基本分析判断能力，属基础题.7.已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据命题真假列不等式，解得结果.【详解】因为“”是假命题，所以，选B.【点睛】本题考查根据命题真假求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.8.极坐标方程为表示的曲线是（ ）A. 双曲线B. 圆C. 两条相交直线D. 两条射线【答案】C【解析】【分析】根据，得到，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出结果.【详解】因为，所以，即，所以或.即极坐标方程为表示的曲线是两条相交直线.故选C【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.9.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据空间中线线、线面、面面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】A中，若，则还有可能平行；故A错；B中，若，则，但可能异面、平行；故B错；C中，若，则可能平行或相交；故C错；D中，若，则，又，所以，即D正确.故选D【点睛】本题主要考查命题的真假判断，熟记空间中线线、线面、面面位置关系即可，属于常考题型.10.有编号依次为1,2,3,4,5,6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜是1号，2号，4号中的某一个；丁猜2号，3号，4号都不可能.若以上四位老师中只有一位老师猜对，则猜对者是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D【解析】【分析】根据条件进行推理，即得结果.【详解】因为四位老师中只有一位老师猜对，所以当丁猜对时，则第一名为1号，5号，6号中的某一个；因为丙猜错，所以第一名为5号，6号中的某一个；因为乙猜错，所以第一名为6号，此时甲猜错，满足条件；当甲猜对时，第一名为3号，5号中的某一个；则乙猜也对，不满足条件；当乙猜对时，第一名为1,2,3,4,5中的某一个；因为丙猜错，所以第一名为为3号，5号中的某一个；即甲猜也对，不满足条件；当丙猜对时，第一名为1,2,4中的某一个；则乙猜也对，不满足条件；综上选D.【点睛】本题考查合情推理，考查基本分析判断能力，属基础题.11.已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，且在第一象限，垂足为，则直线的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据抛物线定义求得点坐标，即得点坐标，再根据斜率公式得结果.【详解】由题意得，因为，所以因为点在第一象限，所以，即,从而直线的斜率为，选B.【点睛】本题考查抛物线定义以及斜率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.12.已知是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于点，与右支交于点，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线定义得,再根据三角形面积公式得结果.【详解】因为，所以，因为,所以,因，所以，因此选C.【点睛】本题考查双曲线定义以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题。13.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若椭圆两焦点的极坐标分别为，长半轴长为2，则此椭圆的直角坐标方程为_.【答案】【解析】【分析】先由极坐标与直角坐标的互化，得到两焦点的直角坐标，得到椭圆半焦距，再由椭圆的长半轴长为2，求出，进而可求出结果.【详解】因为椭圆两焦点的极坐标分别为，所以焦点的直角坐标为，即，因此椭圆半焦距，设椭圆方程为，又椭圆的长半轴长为2，即，所以，因此，所求椭圆方程为.故答案为【点睛】本题主要考查椭圆的方程以及极坐标与直角坐标的互化，熟记公式即可，属于常考题型.14.已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，再反向延长交另一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】求出，坐标，代入条件化简即得结果.【详解】不妨设在上，则，因为，所以，即,因为在上，所以【点睛】本题考查双曲线渐近线以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.15.一个棱长为8的正方体形状的铁盒内放置一个正四面体，且能使该正四面体在铁盒内任意转动，则该正四面体的棱长的最大值是_【答案】【解析】分析】根据题意得正方体内切球为正四面体外接球时，正四面体的棱长的最大，据此可解得结果.【详解】根据题意得正方体内切球为正四面体外接球时，正四面体的棱长的最大，因为正方体内切球半径为，所以正四面体外接球半径为，因为正四面体的棱长与正四面体外接球半径关系为，【点睛】本题考查正方体内切球以及正四面体外接球，考查基本分析求解能力，属中档题.16.设命题：实数满足不等式；命题：函数无极值点又已知“”为真命题，记为.命题：，若是的必要不充分条件，则正整数的值为_【答案】1【解析】【分析】先求命题，为真命题时实数的取值范围，再求交集得，最后根据充要关系结合二次函数图象列不等式解得的取值范围，即得结果.【详解】因为，所以，因函数无极值点，所以中因为“”为真命题，所以，因为：，而是的必要不充分条件，所以不等式的解集为一个真子集，即从而正整数的值为1.【点睛】本题考查复合命题真假以及充要关系，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，曲线E的极坐标方程为.（1）分别求曲线C和E的直角坐标方程；（2）求经过曲线C与E交点的直线的直角坐标方程.【答案】(1)；(2) 【解析】【分析】（1）根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可直接得出结果；（2）根据（1）的结果，两式作差，即可得出结果.【详解】（1）由题意，曲线C的直角坐标方程为：；曲线E的直角坐标方程为：. （2）由题意得：得. 即所求直线的直角坐标方程为【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标的互化，以及公共弦的方程，熟记公式即可，属于常考题型.18.已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点.（1）求抛物线的方程；（2）记抛物线的准线与轴交于点，若，求直线的方程.【答案】（1）； （2）或.【解析】【分析】（1）根据抛物线焦点求，即得结果，（2）设直线方程，并联立直线和抛物线方程，利用韦达定理化简，最后解方程得结果.【详解】（1）由题意得，（2）由题意，直线的斜率一定不为0，可设直线方程为： ，点,且，则联立直线和抛物线方程： ，消元得代入式，得或，即直线的方程为或.【点睛】本题考查抛物线方程以及直线与抛物线位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.19.已知五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，,CD2DE2AD2AB4，AC=，（1）求证：AB平面ADE；（2）求平面EBC与平面BCF所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析； （2）.【解析】【分析】（1）根据勾股定理得，再根据线面垂直判定定理得结果,（2）先根据条件证得直线DE,DC,DC两两互相垂直，再建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面EBC和平面BCF法向量，利用向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】（1）因为 ，所以因为四边形CDEF为矩形，所以，因为 ,所以，因为，所以 (2)因为 ，所以，由（1）得，所以直线DE,DC,DC两两互相垂直，故以点D为坐标原点，分别以正方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则E（0,0,2）A（2,0,0），C（0,4,0），B（2,2,0），F（0,4,2），设平面EBC和平面BCF法向量分别为，则,所以，取得，同理，所以取得 设所求角为，则，即所求锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角，考查基本论证能力与分析求解能力，属中档题.20.玉山一中篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”和“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才能参加“三步上篮”测试.为了节约时间，每项测试只需且必须投中一次即为合格.小华同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为.假设小华不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中相互独立.（1）求小华同学两项测试均合格的概率；（2）设测试过程中小华投篮次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）先求出小华同学“立定投篮”合格的概率，再求出“三步上篮”合格的概率，即可得出结果；（2）先由题意确定随机变量X所有可能取值，再分别求出其对应概率，即可得出结果.【详解】（1）小华同学“立定投篮”合格的概率为，“三步上篮”合格的概率为，则小华同学两项测试均合格的概率为 （2）由题意，随机变量X所有可能取值为2,3,4 ，其分布列为X234数学期望为【点睛】本题主要考查古典概型、以及离散型随机变量分布与期望，熟记概念以及概率计算公式，即可得出结果.21.已知为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有.（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆交于两点，求的面积的最大值.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）根据题意先求出，设出椭圆方程，再将点代入椭圆方程，求出，即可得出结果；（2）先设直线方程为，点,联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，弦长公式、点到直线距离，表示出的面积，进而可求出其最值.【详解】（1）因为点为椭圆上一点，且有，故，所以，设椭圆的标准方程为，将点代入椭圆方程得，即椭圆的标准方程（2）结合题意，设直线方程为，点,且，联立直线和椭圆方程，消元，得，则，原点到直线距离为，则的面积，令，则（当时取等号），则，即的面积的最大值为.【点睛】本题主要考查椭圆方程以及椭圆中的最值问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型.22.已知函数（为自然对数的底数）.（1）当时，求函数的极值；（2）若不等式在区间内有解，求实数的取值范围.【答案】(1)极小