江西高考数学总复习第十一章11.5数学归纳法教案理北师大

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第十一章11.5数学归纳法考纲要求1了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题知识梳理1由一系列有限的特殊事例得出_的推理方法叫归纳法根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为_归纳法和_归纳法2数学归纳法是证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取_时命题成立(2)(归纳递推)假设nk(kN)时命题成立，证明_时命题也成立3应用数学归纳法时特别注意：(1)数学归纳法证明的对象是与_有关的命题(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可基础自测1用数学归纳法证明3nn3(nN，n3)，第一步应验证()An1 Bn2Cn3 Dn42用数学归纳法证明12222n12n21(nN)的过程中，在验证n1时，左端计算所得的项为()A1 B12 C1222 D1222233已知数列an中，a1，an1，则数列的前5项为_，猜想它的通项公式是_思维拓展1数学归纳法证题的基本原理是什么？提示：数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在第二步的证明中一定要运用它，否则就不是数学归纳法第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”2用数学归纳法证明问题应该注意什么？提示：(1)第一步验证nn0时命题成立，这里的n0并不一定是1，它是使命题成立的最小正整数(2)第二步证明的关键是合理运用归纳假设，特别要弄清由k到k1时命题的变化情况(3)由假设nk时命题成立，证明nk1命题也成立时，要充分利用归纳假设，即要恰当地“凑”出目标一、用数学归纳法证明恒等式【例11】nN，求证：1.【例12】已知ABC的三边长都是有理数(1)求证：cos A是有理数；(2)求证：对任意正整数n，cos nA是有理数方法提炼数学归纳法证题的关键是第二步由nk到nk1的过渡，要设法将待证式与归纳假设建立联系，即借助于已经学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形，把nk1时的表达式拼凑出归纳假设的形式，再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明请做针对训练4二、用数学归纳法证明不等式【例21】用数学归纳法证明：12(nN，n2)【例22】用数学归纳法证明：11n.方法提炼用数学归纳法证明不等式时常常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式事实上，在合理运用归纳假设后，可以使用证明不等式的任何方法证明目标式成立请做针对训练3三、用数学归纳法证明几何问题【例31】用数学归纳法证明：凸n边形的对角线的条数为f(n)n(n3)(n3)【例32】平面内有n条直线，其中无任何两条平行，也无任何三条共点，求证：这n条直线把平面分割成(n2n2)块方法提炼用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析；事实上，将nk1和nk分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧请做针对训练1四、归纳猜想证明【例41】在数列an中，a11，且Sn，Sn1,2S1成等差数列(Sn表示数列an的前n项和)，则S2，S3，S4分别为_；由此猜想Sn_.【例42】设数列an满足an1anan1，n1,2,3，.(1)当a12时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；(2)当a13时，证明对所有的n1，有ann2.方法提炼“归纳猜想证明的模式”，是不完全归纳法与数学归纳法综合运用的解题模式，这种方法在解决探索性、存在性问题时起着重要作用，它的证题模式是先由归纳推理发现结论，然后用数学归纳法证明结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究与发展的重要方式请做针对训练2考情分析数学归纳法在高考命题中时隐时现，且较隐蔽，因此在复习中应引起重视只要与正整数有关的命题，都可考虑用数学归纳法去证明数学归纳法不仅能证明现成的结论的正确性，而且能证明新发现的结论的正确性数学归纳法的应用主要出现在数列解答题中，一般是先根据递推公式写出数列的前几项，通过观察项与项数的关系，猜想出相关结论，再用数学归纳法进行证明，初步形成“观察归纳猜想证明”的思维模式针对训练1平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，则这n个圆将平面分成不同的区域有()A2n个 B2n个Cn2n2个 Dn2n1个2在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论3若不等式对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明结论4设数列a1，a2，an，中的每一项都不为0.证明：an为等差数列的充分必要条件是：对任何nN，都有.参考答案基础梳理自测知识梳理1一般结论完全不完全2(1)第一个值n0(n0N)(2)nk13(1)正整数基础自测1C2C解析：左边是n2项的和，当n1时，左边表示3项1222的和3，an考点探究突破【例11】证明：(1)当n1时，左边1，右边.左边右边(2)假设nk时等式成立，即1，则当nk1时，.即当nk1时，等式也成立综合(1)，(2)可知，对一切nN，等式成立【例12】证明：(1)由AB，BC，AC为有理数及余弦定理知cos A是有理数(2)用数学归纳法证明cos nA和sin Asin nA都是有理数当n1时，由(1)知cos A是有理数，从而有sin Asin A1cos2A也是有理数假设当nk(kN)时，cos kA和sin Asin kA都是有理数当nk1时，由cos(k1)Acos Acos kAsin Asin kA，sin Asin(k1)Asin A(sin Acos kAcos Asin kA)(sin Asin A)cos kA(sin Asin kA)cos A，由和归纳假设，知cos(k1)A和sin Asin (k1)A都是有理数即当nk1时，结论成立综合，可知，对任意正整数n，cos nA是有理数【例21】证明：(1)当n2时，12，命题成立(2)假设nk时命题成立，即12.当nk1时，12222命题成立由(1)，(2)知原不等式在nN，n2时均成立【例22】证明：设f(n)1.(1)当n1时，f(1)1，原不等式成立(2)设nk(kN)时，原不等式成立即11k成立当nk1时，f(k1)f(k)1111；f(k1)f(k).kk(k1)nk1时，命题成立由(1)，(2)可知原命题对nN恒成立【例31】证明：(1)三角形没有对角线，n3时，f(3)0，命题成立(2)假设nk(k3)时，命题成立，即f(k)k(k3)，则当nk1时，凸k边形由原来的k个顶点变为k1个顶点，对角线条数增加k1条f(k1)f(k)k1k(k3)k1(k1)(k1)3当nk1时命题成立，由(1)，(2)可知对任何nN且n3，命题恒成立【例32】证明：(1)当n1时，1条直线把平面分成2块，又(1212)2，故命题成立(2)假设nk(k1)时命题成立，即k条满足题设的直线把平面分成(k2k2)块，那么当nk1时，第k1条直线被k条直线分成k1段，每段把它们所在的平面块又分成了2块，因此，增加了k1个平面块，所以k1条直线把平面分成了(k2k2)k1(k1)2(k1)2块，这说明当nk1时，命题也成立由(1)，(2)知，对一切nN，命题都成立【例41】，Sn解析：由Sn，Sn1,2S1成等差数列，得2Sn1Sn2S1，S1a11，2Sn1Sn2.令n1，则2S2S12123，S2.同理，分别令n2，n3，可求得S3，S4，由S11，S2，S3，S4，猜想Sn.【例42】解：(1)由a12，得a2a113，由a23，得a32a214，由a34，得a43a315，由此猜想an的一个通项公式：ann1(n1)(2)证明：用数学归纳法证明：当n1时，a1312，不等式成立假设当nk时不等式成立，即akk2，那么，ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3，也就是说，当nk1时，ak1(k1)2.根据和，对于所有n1，都有ann2.演练巩固提升1C解析：n2时，分成4部分，可排除D；n3时，分成8部分，可排除A；n4时，分成14部分，可排除B，故选C.2解：由条件得2bnanan1，abnbn1.由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜想ann(n1)，bn(n1)2.下面用数学归纳法进行证明：当n1时，由上可得结论成立假设当nk(kN)时，结论成立，即akk(k1)，bk(k1)2，那么当nk1时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1(k2)2.所以当nk1时，结论也成立由，可知ann(n1)，bn(n1)2对一切正整数n都成立3解：当n1时，即，所以a26.而a是正整数，所以取a25，下面用数学归纳法证明.(1)当n1时，已证得不等式成立(2)假设当nk(kN)时，不等式成立，即.则当nk1时，有.因为0，所以当nk1时不等式也成立由(1)(2)知，对一切正整数n，都有，所以a的最大值等于25.4证明：先证必要性设数列an的公差为d.若d0，则所述等式显然成立若d0，则.再证充分性(数学归纳法)设所