高考数学四立体几何题型分析理

2015专题四：立体几何题型分析考点一 三视图、直观图与表面积、体积1.直观图(1)画法：常用斜二测画法(2)规则：原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴和y轴所在平面垂直原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系S直观图S原图形，S原图形2S直观图2.三视图(1)几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线(2)三视图的画法基本要求：长对正，高平齐，宽相等画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(rr)l2空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3例1.等腰梯形ABCD，上底CD1，腰ADCB，下底AB3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图ABCD的面积为_ 例2(2013重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A180B200C220 D240 例3.(1)如图所示，已知三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1 ABC1的体积为()A.B.C. D.(2)(2013新课标)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A168 B88C1616 D816考点二 球与空间几何体的“切”“接”问题方法主要是“补体”和“找球心”方法一：直接法例1、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此球的表面积为 . 练习：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）A. B. C. D. 方法二：构造法（构造正方体或长方体）例2（2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 练习 （2010年全国卷）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. B. C. D. 三、确定球心位置法例3、在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为() 四、构造直角三角形例4、正四面体的棱长为a，则其内切球和外接球的半径是多少,体积是多少？ 练习： 角度一直三棱柱的外接球1(2013辽宁高考)已知直三棱柱ABC A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A.B2C. D3角度二正方体的外接球2(2013合肥模拟)一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为_角度三正四面体的内切球3(2014长春模拟)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则_.角度四四棱锥的外接球4 四棱锥PABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2，则该球的表面积为() A9 B3 C2 D12考点三 利用空间向量求角和距离1两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为，则cos |cos |(其中为异面直线a，b所成的角)2直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin |cos |.3求二面角的大小(1)如图，AB，CD是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小， (2)如图，n1，n2分别是二面角 l 的两个半平面，的法向量，则二面角的大小n1，n2(或n1，n2) 4点到平面的距离的求法设是平面的法向量，在内取一点B, 则 A到的距离易错点：1求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答案而忽视了夹角为.2求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值3利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由图形决定由图形知二面角是锐角时cos ；由图形知二面角是钝角时，cos .当图形不能确定时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、易错点一、线线角问题1(2013沈阳调研)在直三棱柱A1B1C1 ABC中，BCA90，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是()A.B.C. D.2如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为_2、 线面角的问题3、(2013湖南高考)如图，在直棱柱ABCD A1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值 针对训练(2013福建高考改编)如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABDC，AA11，AB3k，AD4k，BC5k，DC6k(k0)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值 三、二面角问题4、(2013新课标卷)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCBAB.(1)证明：BC1/平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值 针对训练(2014杭州模拟)如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于RtABC所在平面，且PAABAC.(1)求证：PA平面QBC；(2)若PQ平面QBC，求二面角QPBA的余弦值四、 利用空间向量解决探索性问题(2013江西模拟)如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE3AF，BE与平面ABCD所成的角为60.(1)求证：AC平面BDE；(2)求二面角FBED的余弦值；(3)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM平面BEF，并证明你的结论针对训练已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上当APC最大时，三棱锥P ABC的体积为_五、近三年新课标高考试题 立体几何（三视图1小+1小1大：（1）三视图（2）线面关系（3）与球有关的组合体（4）证明、求体积与表面积（注意规范性），作辅助线的思路（5）探索性问题的思考方法） (11)（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（15）已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 （18）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.（）证明：PABD；（）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。(12) （7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A）6 （B）9 （C）12（D）1811、已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（A） （B） （C） （D）19、如图，直三棱柱中，是棱的中点，。（1） 证明：；（2） 求二面角1的大小。(13) 6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )A、cm3B、cm3C、cm3D、cm3 8、 某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为( )A、18+8 B、8+8C、16+16 D、8+16 18、如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，BA A1=60.（）证明ABA1C;（）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。ABCC1A1B114年高考试题（14.12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）. . .6 .4（14.19）. (本小题满分12分)如图三棱锥中，侧面为菱形，.() 证明：；（）若，AB=Bc，求二面角的余弦值.2015年（6）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体