高三数学二轮复习 必考问题专项突破22 数学思想在解题中的应用2 理

必考必考问题22数学思想在解题中的应用(二)1(2012山东)定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 012)()A335 B338 C1 678 D2 012答案： B由f(x6)f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(3)f(3)1，f(2)f(4)0，f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，所以在一个周期内有f(1)f(2)f(6)1210101，所以f(1)f(2)f(2 012)f(1)f(2)335112335338.2(2012四川)方程ayb2x2c中的a，b，c3，2,0,1,2,3，且a，b，c互不相同在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()A60条 B62条 C71条 D80条答案：B显然方程ayb2x2c表示抛物线时，有ab0，故该方程等价于yx2.(1)当c0时，从3，2,1,2,3中任取2个数作为a，b的值，有A20种不同的方法，当a一定，b的值互为相反数时，对应的抛物线相同，这样的抛物线共有4312条，所以此时不同的抛物线共有A614条(2)当c0时，从3，2,1,2,3中任取3个数作为a，b，c的值有A60种不同的方法；当a，c的值一定，而b的值互为相反数时，对应的抛物线相同，这样的抛物线共有4A24条，所以此时不同的抛物线有A1248条综上所述，满足题意的不同的抛物线有144862条，故选B.3(2012福建)函数f(x)在a，b上有定义，若对任意x1，x2a，b，有ff(x1)f(x2)，则称f(x)在a，b上具有性质P.设f(x)在1,3上具有性质 P，现给出如下命题：f(x)在1,3上的图象是连续不断的；f(x2)在1，上具有性质P；若f(x)在x2处取得最大值1，则f(x)1，x1,3；对任意x1，x2，x3，x41,3，有ff(x1)f(x2)f(x3)f(x4)其中真命题的序号是()A B C D答案：D取函数f(x)则函数f(x)满足题设条件具有性质P，但函数f(x)的图象是不连续的，故为假命题，排除A、B；取函数f(x)x,1x3，则函数满足题设条件具有性质 P，但f(x2)x2,1x就不具有性质P，故为假命题，排除C.应选D.4(2012江西)下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是_解析此框图依次执行如下循环：第一次：T0，k1，sinsin 0成立，a1，TTa1，k2，26，继续循环；第二次：sin sin不成立，a0，TTa1，k3,36，继续循环；第三次：sinsin 不成立，a0，TTa1，k4,46，继续循环；第四次：sin 2sin成立，a1，TTa2，k5,56，继续循环；第五次：sinsin 2成立，a1，TTa3，k6,66不成立，跳出循环，输出T的值为3.答案31分类讨论思想的考查重点为含有参数的函数性质问题、与等比数列的前n项和有关的计算推证问题、直线与圆锥曲线的位置关系不定问题等，在选择、填空、解答题中都会涉及到分类讨论的思想方法2等价转换思想的应用在高考试题中处处可见，是解高考试题常用的数学思想(1)分类与整合思想实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略利用好分类与整合思想可以优化解题思路，降低问题难度复习中要养成分类与整合的习惯，常见的分类情形有：概念分类型，运算需要型，参数变化型，图形变动型(2)转化与化归思想是高中数学学习中最基本、最重要的思想方法，它无处不在比如：在解析几何中，通过建立坐标系将几何问题划归为代数问题.必备知识分类与整合思想在解某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况：解到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起，这种“合分合”的解决问题的思想，就是分类与整合思想化归与转化思想 在解决一个问题时人们的眼光并不落在结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结果，由此将问题化难为易，化繁为简，化大为小，各个击破，达到最终解决问题的目的，这种解决问题的思想就是化归与转化思想必备方法1分类讨论的几种情况(1)由数学的概念、图形的位置等引发的分类讨论：数学中的概念有些就是分类的，如绝对值的概念；(2)由数学的定理、法则、公式等引发的分类讨论：一些数学定理和公式是分类的，如等比数列的求和公式等；(3)由参数变化引发的分类讨论：当要解决的问题中涉及参数时，由于参数在不同范围内取值时，问题的发展方向不同，这就要把参数划分的几个部分分类解决；(4)问题的具体情况引发的分类讨论：有些数学问题本身就要分情况解决，如概率计算中要根据要求，分类求出基本事件的个数；(5)较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决2化归转化思想的几种情况(1)化为已知：当所要解决的问题和我们已经掌握的问题有关系时，把所要解决的问题化为已知问题；(2)化难为易：化难为易是解决数学问题的基本思想，当我们遇到的问题是崭新的，解决起来困难时，就要把这个问题化为我们熟悉的问题，熟悉的问题我们有解决的方法，就是容易的问题，这是化难为易的一个方面；(3)化繁为简：在一些问题中，已知条件或求解结论比较繁，这时就可以通过化简这些较繁的已知或者结论为简单的情况，再解决问题，有时把问题中的某个部分看做一个整体，进行换元，这也是化繁为简的转化思想；(4)化大为小：在解答综合性试题时，一个问题往往是由几个问题组成的，整个问题的结论，是通过这一系列的小问题得出的，这种情况下，就可以把所要解决的问题转化为几个小问题进行解决. 分类讨论数学中的很多概念都是通过分类定义的，数学中的一些定理、公式、法则往往有一些严格的限制条件，故高考常常在这些知识点中命题【例1】 (2010天津)设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(1,0)(1，) D(，1)(0,1)审题视点 听课记录审题视点 分a0，a0讨论求解C当a0时，由f(a)f(a)，得log2aloga，即log2alog2 ，即a，解得a1；当a0时，由f(a)f(a)，得log(a)log2(a)，即log2log2(a)，则a，解得1a0.所以a(1,0)(1，) 有许多核心的数学概念是分类的，比如：直线斜率、指数函数、对数函数等，与这样的数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题【突破训练1】 若函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_解析则函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，就是函数yax(a0且a1)的图象与函数yxa的图象有两个交点由图象可知，当0a1时，两函数只有一个交点，不符合；当a1时，因为函数yax(a1)的图象过点(0,1)，而直线yxa的图象与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点所以实数a的取值范围是(1，)答案(1，)由于参数的取值不同会导致所得结果不同，所以某些含有参数的问题如函数性质的运用、求最值、一元二次方程根的判断、直线斜率等，在求解时要根据参数的变化进行分类讨论【例2】 (2010山东)已知函数f(x)ln xax1(aR)(1)当a时，讨论f(x)的单调性； (2)设g(x)x22bx4，当a时，若对任意x1(0,2)，存在x21,2，使f(x1)g(x2)，求实数b的取值范围审题视点 听课记录审题视点 (1)根据解题需要，要对二次项系数、根的大小分类讨论(2)将问题转化为g(x)在1,2上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值，则可借助(1)问的结论求得f(x)在(0,2)上的最小值，根据二次函数的对称轴与给定区间(1,2的关系讨论求g(x)的最小值即可求b的范围解(1)因为f(x)ln xax1，所以f(x)a，x(0，)令h(x)ax2x1a，x(0，)当a0时，h(x)x1，x(0，)，所以当x(0,1)时，h(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(1，)时，h(x)0，函数f(x)单调递增当a0时，令f(x)0，即ax2x1a0，解得x11，x21.()当a时，x1x2，h(x)0恒成立，此时f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减()当0a10，当x(0,1)时，h(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；当x时，h(x)0，函数f(x)单调递增；当x时，h(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减()当a0时，由于10，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；x(1，)时，h(x)0，函数f(x)单调递增综上所述，当a0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)在(1，)上单调递增；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当0a时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)在上单调递增，函数f(x)在上单调递减(2)因为a，由(1)知，x11，x23(0,2)，当x(0,1)时，函数f(x)单调递减；当x(1,2)时，函数f(x)单调递增所以f(x)在(0,2)上的最小值为f(1).由于“对任意x1(0,2)，存在x21,2，使f(x1)g(x2)”等价于“g(x)在1,2上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值”(*)又g(x)(xb)24b2，x1,2，所以当b0，此时与(*)矛盾；当b1,2时，因为g(x)min4b20，同样与(*)矛盾；当b(2，)时，因为g(x)ming(2)84b，解不等式84b，可得b.综上所述，b的取值范围是. 求解时，要结合参数的意义，对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论，分类要合理，要不重不漏，要符合最简原则【突破训练2】 (2012东北三校联考)已知函数f(x)ax3x21(xR)，其中a0.(1)若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若在区间上，f(x)0恒成立，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)x3x21，f(2)3.f(x)3x23x，f(2)6，所以曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y36(x2)，即y6x9.(2)f3ax23x3x(ax1)令f(x)0，解得x0或x.以下分两种情况讨论：若0a2，则.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0f(x)0f(x)极大值当x时，f(x)0等价于即解不等式组得5a5.因此0a2.若a2，则0.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0f(x)00f(x)极大值极小值当x时，f(x)0等价于即解不等式组得a5或a.因此2a5.综合，可知a的取值范围为0a5.转化与化归思想非常普遍，常考查特殊与一般、常量与变量、正与反或以换元法为手段的转化【例3】 已知函数f(x)x32x2ax1.若函数g(x)f(x)在区间(1,1)上存在零点，则实数a的取值范围是_审题视点 听课记录审题视点 很显然，函数g(x)是二次函数，二次函数在一个开区间上存在零点，情况是很复杂的，但这个二次函数可以把参数分离出来，这样就把问题转化为求一个具体的函数的值域解析g(x)f(x)3x24xa，g(x)f(x)在区间(1,1)上存在零点，等价于3x24xa在区间(1,1)上有解，等价于a的取值范围是函数y3x24x在区间(1,1)上的值域，不难求出这个函数的值域是.故所求的a的取值范围是.答案 在高考中，转化与化归思想占有相当重要的地位，在解题时注意依据问题本身所提供的信息，利用动态思维，去寻求有利于问题解决的化归与转化的途径和方法【突破训练3】 函数f(x)sin xcos xsin 2x的最小值是_解析令tsin xcos xsin，则t21sin 2x，且t，f(t)t2t12，故当t，时，函数f(x)的最小值为.答案突破转化与化归的瓶颈转化的一种方式是变换研究对象，将问题转移至新对象的知识背景中，从而使非标准型问题、复杂问题简单化，进而变得容易处理通过引进新的变量，可以将分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者将条件与结论联系起来，或者使题目的形式变得熟悉，从而将复杂的计算或证明题简化【示例】 (2012陕西)设函数fn(x)xnbxc(nN，b，cR)(1)设n2，b1，c1，证明：fn(x)在区间内存在唯一零点；(2)设n2，若对任意x1，x21,1，有|f2(x1)f2(x2)|4，求b的取值范围；(3)在(1)的条件下，设xn是fn(x)在内的零点，判断数列x2，x3，xn，的增减性满分解答(1)b1，c1，n2时，fn(x)xnx1.fnfn(1)10，fn(x)在内存在零点又当x时，fn(x)nxn110，fn(x)在上是单调递增的，fn(x)在内存在唯一零点(4分)(2)当n2时，f2(x)x2bxc.对任意x1，x21,1都有|f2(x1)f2(x2)|4等价于f2(x)在1,1上的最大值与最小值之差M4.据此分类讨论如下：(i)当1，即|b|2时，M|f2(1)f2(1)|2|b|4，与题设矛盾(ii)当10，即0b2时，Mf2(1)f224恒成立(iii)当01，即2b0时，Mf2(1)f224恒成立综上可知，2b2.(8分)注：(ii)，(iii)也可合并证明如下：用maxa，b表示a，b中的较大者当11，即2b2时，Mmaxf2(1)，f2(1)f2f21c|b|24恒成立(8分)(3)法一设xn是fn(x)在内的唯一零点(n2)，fn(xn)xxn10，fn1(xn1)xxn110，xn1，于是有fn(xn)0fn1(xn1)xxn11xxn11fn(xn1)，又由(1)知fn(x)在上是递增的，故xnxn1(n2)，所以，数列x2，x3，xn，是递增数列(12分)法二设xn是fn(x)在内的唯一零点，fn1(xn)fn1(1)(xxn1)(1n111)xxn1xxn10，则fn1(x)的零点xn1在(xn,1)内，故xnxn1(n2)，所以，数列x2，x3，xn，是递增数列(12分)老师叮咛：本题主要考查函数的零点、导数与不等式，以及数列的单调性的判断和恒成立问题的处理，意在考查转化思想和分类讨论思想的运用.第(1)问利用函数零点存在定理，结合函数的单调性，得出函数在区间上的