数学高中 高中数学--函数的奇偶性与周期性

第三节函数的奇偶性与周期性,1奇函数、偶函数的定义对于函数f(x)的定义域内的任意一个x.(1)f(x)为偶函数_；(2)f(x)为奇函数_2奇、偶函数的性质(1)图象特征：奇函数的图象关于_对称，偶函数的图象关于_对称,f(x)f(x),f(x)f(x),原点,y轴,(2)对称区间上的单调性：奇函数在关于原点对称的两个区间上有_的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有_的单调性(3)奇函数图象与原点的关系：如果奇函数f(x)在原点有意义，则f(0)_.,相同,相反,0,3周期性(1)周期函数：T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：T0；_对定义域内的任意x都成立(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_，那么这个_就叫做它的最小正周期(3)周期不唯一：若T是函数yf(x)的一个周期，则nT(nZ，且n0)也是f(x)的周期,f(xT)f(x),最小的正数,最小的正数,1奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？【提示】定义域关于原点对称，必要不充分条件2(1)若yf(xa)是偶函数，函数yf(x)的图象有什么对称性？(2)如果yf(xb)是奇函数，函数f(x)的图象有什么对称性？【提示】(1)f(x)的图象关于直线xa对称；(2)f(x)的图象关于点(b，0)中心对称,【答案】B,2已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x)，则f(8)的值为()A1B0C1D2【解析】f(x4)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数f(8)f(0)又函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(8)f(0)0，故选B.【答案】B,【解析】yf(x1)的图象是由yf(x)的图象向左平移一个单位得到的，而yf(x)的图象的对称轴为x0，故选B.【答案】B,4(2012陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()Ayx1Byx3CyDyx|x|【解析】A选项中的函数为非奇非偶函数B、C、D选项中的函数均为奇函数，但B、C选项中的函数不为增函数，故选D.【答案】D,【解析】由函数奇偶性的定义知A、B项为奇函数，C项为非奇非偶函数，D项为偶函数【答案】D,【思路点拨】先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域下，带绝对值符号的要尽量去掉，分段函数要分情况判断,(3)显然函数f(x)的定义域为：(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立，函数f(x)为奇函数,【解析】(1)f(x)3x3xf(x)，g(x)3x3xg(x)f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，故选B.【答案】B,f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(0)0，也满足f(x)f(x)故该函数为奇函数.,【审题视点】(1)先根据周期性缩小自变量，再根据奇偶性把自变量转化到区间0，1上(2)根据f(x)f(x)求解,1解答本题(2)时因误用f(0)0而求得a1，当定义域包含0时，可用f(0)0，但应注意检验2(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真(2)偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同(3)f(x)为偶函数f(x)f(|x|)；若奇函数f(x)在x0时有定义，则f(0)0.,【解析】(1)设x0，则x0，f(x)(x)2xx2x，又f(x)f(x)，x0时，f(x)x2xax2bx，a1，b1，ab0.,(2)当x0时，f(x)x22x(x1)21函数f(x)在0，)上为增函数又函数f(x)是定义在R上的奇函数，函数f(x)在R上是增函数由f(3a2)f(2a)得3a22a.解得3a1.【答案】(1)0(2)(3，1),(2013福州模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0，2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2，4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2013)【思路点拨】(1)证明f(x4)f(x)(2)先求2，0上的解析式，再求2，4上的解析式；(3)根据周期性求解,【尝试解答】(1)f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)当x2，0时，x0，2，由已知得f(x)2(x)(x)22xx2.又f(x)是奇函数，f(x)f(x)2xx2，f(x)x22x.又当x2，4时，x42，0，f(x4)(x4)22(x4),又f(x)是周期为4的周期函数，f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.从而求得x2，4时，f(x)x26x8.(3)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期为4的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2008)f(2009)f(2010)f(2011)0.f(0)f(1)f(2)f(2013)f(0)f(1)011.,函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件1.若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0.2设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇,判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法1.若对于R上的任意的x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称2若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)，且f(2bx)f(x)(其中ab)，则：yf(x)是以2(ba)为周期的周期函数3若f(xa)f(xb)(ab)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T2|ab|.,从2012年的高考试题看，有7个省份考查函数的奇偶性、周期性，主要考查奇偶性的判定，利用奇偶性与周期性求函数值，与单调性交汇求解简单的方程与不等式，多以选择题和填空题的形式出现，属中、低档题目，其中利用函数的周期性时，应注意隐含条件的挖掘,易错辨析之三忽视隐含条件的挖掘致误,【答案】2,错因分析：(1)转化能力差，不能把所给区间和周期联系起来(2)挖掘不出f(1)f(1)，从而无法求出a、b的值防范措施：(1)对于周期函数，应注意所给区间包含几个周期，有助于我们挖掘隐含条件(2)对于两个字母的求值，应列两个方程求解，这也是促使我们挖掘隐含条件的动力,【答案】10,1(2012山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2012)()A335B338C1678D2012【解析】f(x6)f(x)，T6.当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，,f(1)f(2)f(6)1，f(1)f(2)f(6)f(7)f(8)f(12)f(2005)f(2006)f(2010)1，f(1)f(2)f(2010)1335.而f(2011)f(2012)f(1)f(2)3，f(1)f(2)f(2012)3353338.【答案】B,2(2012合肥二模)函数yf(x)的定义域为1，0)(0，1，其图象上任一点P(x，y)满足x2y21.函数yf(x)一定是偶函数；函数yf(x)可能既不是偶函数，也不是奇函数；函数yf(x)可以是奇函数；函数yf(x)如果是偶函数，则值域是0，1)或(1，0；函数y