2020届上海市静安区高三上学期第一次模拟考试（期末）数学试题

- 1 - 静安区静安区 2019 学年第学年第一一学期学期教学质量检测教学质量检测 高三数学试卷高三数学试卷 2019.122019.12 一、填空一、填空题题： （本大题： （本大题 1212 小题，小题，1 1- -6 6 每题每题 4 分分，7-12 每题每题 5 分，共分，共 54 分）分） 1.计算lim(1 0.9 ) n n _. 【答案】1 【解析】lim(1 0.9 ) n n 1 2.双曲线在单位圆中，60o的圆心角所对的弧长为_. 【答案】 3 【解析】2 3 lr 3.若直线 1 l和直线 2 l的倾斜角分别为32o和152o则 1 l与 2 l的夹角为_. 【答案】60o 【解析】1801523260 oooo 4.若直线l的一个法向量为(2,1)n r ，则若直线l的斜率k _. 【答案】2 【解析】(2,1)n r ，则单位向量( 1,2)d u r ， 2 2 1 k 5.设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每隔细胞分裂为两个细胞，则7小时后，1个此种细胞将分裂为 _个. 【答案】128 【解析】 7 1 2128 6.设ABC是等腰直角三角形，斜边2AB, 现将ABC（及其内部）绕斜边AB所在的直线旋转一周形 成一个旋转体，则该旋转体的体积为_. 【答案】 2 3 【解析】 22 112 ( 2) 333 r 7.如图，在平行四边形ABCD中，2AB，1AD,则AC BD uuu r uuu r 的值为_. - 2 - 【答案】-3 【解析】()()1 4-3AC BDABAD ADAB uuu r uuu ruuu ruuu r uuu ruuu r 8.三倍角的正切公式为tan3_. 【答案】 【解析】 3 2 2tantan tan3 1 3tan . 9. 设集合A共有 6 个元素，用这全部的 6 个元素组成的不同矩阵的个数为_. 【答案】2880 【解析】4 种类型的矩阵 6 6 42880P 10. 现 将 函 数s e c,( 0 ,)yx x的 反 函 数 定 义 为 正 反 割 函 数 ， 记 为 ：secyarcx. 则 sec( 4)arc_.（请保留两位小数） 【答案】1.82 【解析】 cos y ，(0, )x，故可知4 cost ，arccos(1.82 4 t ）. 11. 设双曲线 22 2 xy aa 的两个焦点为 2 F、F， 点P在双曲线上， 若 2 PFPF ， 则点P到坐标原点O 的距离的最小值为_. 【答案】 3 2 【解析】 22 caa, 1 2 a 时，可知 min 3 2 c. 12. 设0,0,0aaMN ，我们可以证明对数的运算性质如下： loglogloglog aaaa MNMN aaaMN Q， logloglog aaa MNMN.我们将式称为证明的“关键 步骤”.则证明loglog r aa MrM（其中0,MrR）的“关键步骤”为_. 【答案】loglog r aa MrM 【解析】, loglog () aa MrMrr aaMQ,loglog r aa MrM. 二、二、选择题选择题 - 3 - 13. “三个实数, ,a b c成等差数列”是“2bac”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为三个实数, ,a b c成等差数列” ，所以2bac. 14. 设, x yR，若复数 xi yi 是纯虚数，则点( , )p x y一定满足 （ ） A.yx B.y x C.yx D.y x 【答案】B 【解析】 222 1()()()() ()() xxi yixyxy ixyxy i yiyi yiyyy ，并且 1x yi 为纯虚数，则0 xy， 1 y x . 15.若展开()(2)(3)(4)(5)aaaaa，则展开式中 3 a的系数等于 ( ) A.在2 3 4 5， ， ， ，中所有任取两个不同的数的乘积之和； B.在2 3 4 5， ， ， ，中所有任取三个不同的数的乘积之和； C.在2 3 4 5， ， ， ，中所有任取四个不同的数的乘积之和； D.以上结论都不对. 【答案】A 【解析】由二项式定理可知展开式中 3 a的系数等于在2 3 4 5， ， ， ，中所有任取两个不同的数的乘积之和. 16.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东2o方向，且塔顶的仰角为 8 o，此人驾驶游艇向正东方向行驶 1000 米后到达 B处，此时测得塔底位于北偏西39o方向，则该塔的高 度约为 （ ） A.265 米 B.279 米 C.292 米 D.306 米 【答案】C 【解析】000sin5sin60 cos69 tan87292.728 oooo 米. 三三. 解答题解答题（本大题共（本大题共 5 题，共题，共 14+14+14+16+18=76 分）分） 17.（本题满分本题满分 1212 分，第分，第 1 1 小题小题 6 6 分，第分，第 2 2 小题小题 8 8 分）分） 如图，在正六棱锥PABCDEF中，已知底边为 2，侧棱与底面所成角为60. - 4 - （1）求该六棱锥的体积V； （2）求证：PACE 【答案】 （1）12； （2）见解析. 【解析】（1）连接BE、AD，设交点为O，连接PO PABCDEFQ为正六棱锥 ABCDEF为正六边形 侧棱与底面所成角即PBO 2 3PO 11 6 3 2 312 33 VS h （2）PO Q面ABCDEF，CE 面ABCDEF P OC E Q底面为正六边形 A OC E QA OP OO CE面PAO QPA面PAO C EP A 18.（本题满分本题满分 1414 分，第分，第 1 1 小题小题 7 7 分，第分，第 2 2 小题小题 7 7 分）分） 请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同. （1）如图 1，要在一个半径为 1 米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，如何截取？并求出这 个最大矩形的面积. （2）如图 2，要在一个长半轴为 2 米，短半轴为 1 米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD， 如何截取？并求出这个最大矩形的面积. 图 1 图 2 【答案】 （1）1（2）2 【解析】（1）设(01)OAxx， 1OD Q 2 1ADx 2 21Sxx - 5 - 22 2 11 1 22 xx xx Q 当且仅当 2 1xx，即 2 2 x 时等号成立 1 21 2 S （3）椭圆方程为 2 2 1(01) 4 x yy 设(2cos ,sin )0,C 2 2cossin2sin2S 当且仅当sin1，即 4 时取得最大值 面积最大值为 2，此时2OB ， 2 2 BC . 19.19. （本题满分本题满分 1414 分，第分，第 1 1 小题小题 6 6 分，第分，第 2 2 小题小题 8 8 分）分） 设 n a是等差数列，公差为d，前n项和为 n S. （1）设 1 40a ， 6 38a ，求 n S的最大值. （2）设 1 1a ， * 2 () n a n bnN，数列 n b的前n项和为 n T，且对任意的 * nN，都有20 n T ，求d的取值 范围. 【答案】（1）2020（2） 2 9 - ,log 10 【解析】 （1）有等差数列可知， 1 (1) n aand，由 1 40a ， 6 38a 可知d= 2 - 5 ， 由 2 40(1)0 5 n an可得，101n ，所以当n=100 或者n=101 时取得最大值，由公式可知为 2020. （2）设1(1) n ad n ，得 1 22(2 ) n addn n b ，可知 n b为等比数列， Q对任意的 * nN，都有20 n T 1 2 lim20 1 21 2 n dd b T 恒成立且21 d d 2 9 - ,log 10 - 6 - 20.20. （本题满分（本题满分 1818 分，第分，第 1 1 小题小题 5 5 分，第分，第 2 2 小题小题 6 6 分，第分，第 3 3 小题小题 7 7 分）分） 已知抛物的准线方程为02 yx.焦点为 1 , 1F. （1）求证：抛物线上任意一点P的坐标yx,都满足方程：; 0882 22 yxyxyx （2）请支出抛物线的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论； （3）设垂直于x轴的直线与抛物线交于BA、两点，求线段AB的中点M的轨迹方程. 【答案】 （1）见解析（2）关于xy 对称1, 1-yx。 （3）4 xy（在抛物线内） 【解析】 （1）根据定义得： 22 11 2 2 yx yx ; 0882 22 yxyxyx啊 （2）将yx,对称互换方程没有发生变化，若yxP,在图像上xyP, 也在图像上，所以图像关于xy 对称， 100882 22 yyyxyx，1x同 （3）设 2211 ,yxByxA ， 4, 0882 22 ttM yxyxyx tx 所以中点的轨迹方程是 4 xy （在抛物线 内） 21.21. （本题满分（本题满分 1818 分，第分，第 1 1 小题小题 5 5 分，第分，第 2 2 小题小题 6 6 分，第分，第 3 3 小题小题 7 7 分）分） 现定义：设a是非零实常数，若对于任意的Dx，都有xafxaf，则称函数 xfy 为“关于 的a偶型函数” （1）请以三角函数为例，写出一个“关于 2 的偶型函数”的解析式，并给予证明 （2）设定义域为的“关于的a偶型函数”在区间a,-上单调递增，求证在区间, a上单调递减 （3）设定义域为R的“关于 2 1 的偶型函数” xfy 是奇函数，若 * Nn，请猜测 nf的值，并用数学归 纳法证明你的结论 【答案】 （1）2cosxy答案不唯一 （2）证明见解析 （3） 0nf 【解析】 （1） xfxfxxfxxfxy22cos2),cos()2(2cos， 的 （2） xfxafxafxaf2 .任取 axaxaaxx,22 , 2