2020届河南省开封市高考数学一模试卷（理科 ）

第 1 页，共 11 页 2020 年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）年河南省开封市高考数学一模试卷（理科） 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知集合 A=x|x2-x-60，B=N，则 AB=（ ） A. -1，0，1，2 B. 0，1，2 C. -2，-1，0，1 D. 0，1 2. 在复平面内，复数对应的点位于直线 y=x 的左上方，则实数 a 的取值范围是 （ ） A. （-，0） B. （-，1） C. （0，+） D. （1，+） 3. 设 与 都是非零向量，则“ ”是“向量 与 夹角为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知角 的顶点与原点重合，始边与 x轴正半轴重合，终边经过点（1，-2），则 tan2=（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在m-5，1-2m上的奇函数 f（x），满足 x0 时，f（x）=2 x-1，则 f（m） 的值为（ ） A. -15 B. -7 C. 3 D. 15 6. 某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低分为 A，B，C，D， E 五个等级，A等级 15%，B等级 30%，C 等级 30%，D，E 等级共 25%其中 E 等级为不合格，原则上比例不超过 5%该省某校高二年级学生都参加学业水平考 试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示若该校 高二年级共有1000名学生， 则估计该年级拿到C级及以上级别的学生人数有 （ ） A. 45 人 B. 660 人 C. 880人 D. 900 人 7. 国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为 15 的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一 个垂直于地面的平面上， 某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分 别为 60 和 30 ，第一排和最后一排的距离为 25米，则旗杆的高度约为（ ） 第 2 页，共 11 页 A. 17 米 B. 22 米 C. 3l米 D. 35 米 8. 已知Fn是斐波那契数列，则 F1=F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2 （nN*且 n3），如图程序框图表示输出斐波那契数列 的前 n 项的算法，则 n=（ ） A. 10 B. 18 C. 20 D. 22 9. 设 m=ln2，n=lg2，则（ ） A. m-nmnm+n B. m-nm+nmn C. m+nmnm-n D. m+nm-nmn 10. 已知 F为双曲线 C：的右焦点，圆 O：x2+y2=a2+b2与 C 在第 一象限、第三象限的交点分别为 M，N，若MNF的面积为 ab，则双曲线 C的离 心率为（ ） A. B. C. 2 D. 11. 将函数 f（x）=asinx+bcosx的图象向右平移 个单位长度得到 g（x）的图象，若 g （x）的对称中心为坐标原点，则关于函数 f（x）有下述四个结论： f（x）的最小正周期为 2 若 f（x）的最大值为 2，则 a=1 f（x）在-，有两个零点 f（x）在区间- ， 上单调 其中所有正确结论的标号是（ ） A. B. C. D. 12. 已知正方体的棱长为 1，平面 过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线 所成的角相等，则该正方体在平面 内的正投影面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知向量，若 ，则 m=_ 第 3 页，共 11 页 14. 我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中， 有5架“歼-15” 舰载机准备着舰， 已知乙机不能最先着舰， 丙机必须在甲机之前着舰 （不一定相邻） ， 那么不同的着舰方法种数为_ 15. 设点 P为函数 f（x）=lnx-x3上任意一点，点 Q 为直线 2x+y-2=0上任意一点，则 P， Q两点距离的最小值为_ 16. 若数列an满足，则称数列an为“差半递 增”数列若数列an为“差半递增”数列，且其通项 an与前 n项和 Sn满足 ，则实数 t的取值范围是_ 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 已知等差数列an满足 an+1+n=2an+1 （1）求an的通项公式； （2）记 Sn为an的前 n 项和，求数列 的前 n项和 Tn 18. 底面 ABCD为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如 图所示的几何体若 DA=DH=DB=4，AE=CG=3 （1）求证：EGDF； （2）求二面角 A-HF-C 的正弦值 19. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F（1，0），直线 l：x=-1，点 P 在直线 l上移动， R 是线段 PF与 y轴的交点，动点 Q 满足：RQPF，PQl （1）求动点 Q的轨迹方程 E； （2）若直线 PF与曲线 E交于 A，B 两点，过点 F作直线 PF的垂线与曲线 E 相交 于 C，D 两点，求的最大值 第 4 页，共 11 页 20. 某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有 n（nN*）份血液样本， 有以下两种检验方式：逐份检验，列需要检验 n次；混合检验，将其 k（kN* 且 k2）份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果为阴性，这 k份的血液 全为阴性，因而这 k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了 明确这 k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这 k份再逐份检验，此时这 k份血液的 检验次数总共为 k+1次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳 性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为 p（0p1） （1）假设有 5 份血液样本，其中只有 2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式， 求恰好经过 3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率 （2）现取其中 k（kN*且 k2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检 验的总次数为 1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 2 （）运用概率统计的知识，若 E1=E2，试求 p关于 k的函数关系式 p=f（k）； （）若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望 值比逐份检验的总次数期望值更少，求 k 的最大值 参考数据：ln20.6931，ln31.0986，ln51.6094 21. 已知函数 f（x）=ae-x+sinx，aR，e 为自然对数的底数 （1）当 a=1时，证明： x（-，0，f（x）1； （2）若函数 f（x）在（0， ）上存在两个极值点，求实数 a的取值范围 22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数），以坐标原 点 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 = （1）求曲线 C1的极坐标方程和 C2的直角坐标方程； （2）设 P 是曲线 C1上一点，此时参数 = ，将射线 OP 绕原点 O逆时针旋转 交曲 线 C2于点 Q，记曲线 C1的上顶点为点 T，求OTQ的面积 第 5 页，共 11 页 23. 已知 a，b，c为一个三角形的三边长证明： （1） + + 3； （2）2 第 6 页，共 11 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】B 4.【答案】D 5.【答案】A 6.【答案】D 7.【答案】C 8.【答案】B 9.【答案】D 10.【答案】A 11.【答案】D 12.【答案】B 13.【答案】1 14.【答案】48 15.【答案】 16.【答案】 17.【答案】解：（1）由已知an为等差数列，记其公差为 d 当 n2时，两式相减可得 d+1=2d， 所以 d=1， 当 n=1 时，a2+1=2a1+1，所以 a1=1 所以 an=1+n-1=n； （2）， 所以= 第 7 页，共 11 页 【解析】（1）设等差数列的公差为 d，将已知等式中的 n换为 n-1，相减可得公差 d=1， 再令 n=1，可得首项，进而得到所求通项公式； （2）由等差数列的求和公式可得 Sn，求得，再由数列的裂项相 消求和，化简可得所求和 本题考查等差数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的裂项相消求和，化简运算 能力，属于中档题 18.【答案】（1）证明：连接 AC，由可 知四边形 AEGC为平行四边形，所以 EGAC 由题意易知 ACBD，ACBF，所以 EGBD， EGBF， 因为 BDBF=B，所以 EG平面 BDHF， 又 DF 平面 BDHF，所以 EGDF （2）解：设 ACBD=O，EGHF=P， 由已知可得：平面 ADHE平面 BCGF， 所以 EHFG，同理可得：EFHG， 所以四边形 EFGH 为平行四边形， 所以 P为 EG的中点，O为 AC的中点， 所以，从而 OP平面 ABCD， 又 OAOB，所以 OA，OB，OP两两垂直，如图，建立空间直角坐标系 O-xyz，OP=3， DH=4，由平面几何知识，得 BF=2 则，F（0，2，2），H（0，-2，4）， 所以， 设平面 AFH 的法向量为， 由，可得， 令 y=1，则 z=2，所以 同理，平面 CFH 的一个法向量为 设平面 AFH 与平面 CFH所成角为 ， 则，所以 第 8 页，共 11 页 【解析】 （1） 连接 AC， 证明 EGAC 推出 EGBD， EGBF， 证明 EG平面 BDHF， 然后证明 EGDF （2）OA，OB，OP 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系 O-xyz，OP=3，DH=4，求 出平面 AFH 的法向量，平面 CFH的一个法向量利用空间向量的数量积求解二面角的正 弦函数值即可 本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能 力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题 19.【答案】解： （1）由题意可知 R 是线段 PF 的中点， 因为 RQPF，所以 RQ为 PF的中垂线， 即|QP|=|QF|，又因为 PQl，即 Q点到点 F 的距离和 到直线 l的距离相等， 设 Q（x，y），则， 化简得 y2=4x，所以动点 Q的轨迹方程 E 为：y2=4x （2）由题可知直线 PF 的斜率存在且不为 0， 设直线 PF：y=k（x-1），CD：， 则，联立可得 k2x2-（2k2+4）x+k2=0， 设 A （x1， y1） ， B （x2， y2） ， 则 ， x1x2 =1 因为向量，方向相反，所以 =， 同理，设 C（x3，y3），D（x4，y4），可得 ， 所以， 因为，当且仅当 k2=1，即 k= 1时取等号， 所以的最大值为-16 【解析】（1）由题意可知 R 是线段 PF 的中点，因为 RQPF，所以 RQ 为 PF的中垂 线，Q点到点 F 的距离和到直线 l的距离相等，设 Q（x，y），运用点到直线的距离公 式和两点的距离公式，化简可得所求轨迹方程； （2） 由题可知直线 PF的斜率存在且不为 0， 设直线 PF： y=k （x-1） ， CD：， 分别联立抛物线方程，运用韦达定理和向量数量积的定义和坐标表示，结合基本不等式 可得所求最大值 本题考查轨迹方程的求法，注意运用点到直线和两点的距离公式，考查直线方程和抛物 线方程联立，运用韦达定理和向量数量积的定义和坐标表示，考查化简运算能力，属于 中档题 20.【答案】解：（1）记恰好经过 3 次检验就能把阳性样本全部检验出来为 A 事件， 则 （2）（）E（1）=k，2的取值为 1，k+1， 第 9 页，共 11 页 计算， 所以， 由 E（1）=E（2），得 k=k+1-k（1-p）k，所以 （kN*且 k2） （），所以，即 设，x0， 当 x（0，4）时，f（x）0，f（x）在（0，4）上单调递增； 当 x（4，+）时，f（x）0，f（x）在（4，+）上单调递减 且 f（8）=ln8-2=3ln2-20， 所以 k 的最大值为 8 【解析】（1）利用古典概型、排列组合求出恰好经过 3次检验能把阳性样本全部检验 出来的概率； （2）（）由 E（1）=k，2的取值为 1，k+1，计算对应概率与数学期望值，由 E（1） =E（2）求得 p 的值； （）由题意得，即，设，利用导数判断 f（x） 的单调性，从而求得 k的最大值 本题考查了概率、函数关系式、实数的最大值的求法，也考查了离散型随机变量的分布 列、数学期望的求法，是中档题 21.【答案】解：（1）当 a=1时，f（x）=e-x+sinx， f（x）=-e-x+cosx，当 x0 时，-e-x-1，则 f（x）0 （x0） 所以 f（x）在（-，0上单调递减，f（x）f（0）=1； 所以： x（-，0，f（x）1； （2）函数 f（x）在（0， ）上存在两个极值点； 则 f（x）=0在（0， ）上有两个不等实数根； 即 f（x）=-ae-x+cosx=0在（0， ）上有两个不等实数根； 即 a=excosx 在（0， ）上有两个不等实数根； 设 g（x）=excosx，则 g（x）=ex（cosx-sinx）； 当 时，g（x）0，g（x）单调递增； 当时，g（x）0，g（x）单调递减； 又 g（0）=1，； 故实数 a的取值范围为： 第 10 页，共 11 页 【解析】（1）求出 f（x）=-e-x+cosx，得出 f（x）0，则 f（x）在（-，0上单调 递减，结论可证 （2）函数 f（x）在（0， ）上存在两个极值点；则 f（x）=0 在（0， ）上有两个不 等实数根，分离参数得 a=excosx 在（0， ）上有两个不等实数根；设 g（x）=excosx， 讨论函数 g（x）的单调性即可解决； 本题考查不等式证明，根据函数极值个数求参数的范围，函数零点问题，考查分离参数 法，属于难题 22.【答案】解：（1）由（为参数），消去参数 ， 可得