2020届四川省乐山市高考一诊模拟试卷数学（理科）

第 1 页，共 10 页 2020 年四川省乐山市高考年四川省乐山市高考一诊试卷一诊试卷数学数学（理科）（理科） 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知集合 A=x|（x+2）（x-3）0，B=x|y= ，则 A（RB）=（ ） A. -2，1） B. 1，3 C. （-，-2） D. （-2，1） 2. 已知=（5，-1）， =（3，2），对应的复数为 z，则 =（ ） A. 5-i B. 3+2i C. -2+3i D. -2-3i 3. （2x-y）5的展开式中，含 x 3y2的系数为（ ） A. 80 B. -80 C. 40 D. -40 4. 在一次期末考试中， 随机抽取 200 名学生的成绩， 成绩全部在 50 分至 100 分之间， 将成绩按如下方式分成 5组：50，60），60，70），70，80），80，90），90， 100） 据此绘制了如图所示的频率分布直方图 则这 200 名学生中成绩在80， 90） 中的学生有（ ） A. 30 名 B. 40 名 C. 50名 D. 60 名 5. 函数 f（x）= 的零点之和为（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 6. 我市高中数学研究会准备从会员中选拔 x 名男生，y名女生组成-个小组去参加数学 文化知识竞赛，若 x，y满足约束条件，则该小组最多选拔学生（ ） A. 21 名 B. 16 名 C. 13名 D. 11 名 7. 设 m=-log0.30.6，n= ，则（ ） A. m+nmn0 B. mn0m+n C. m+n0mn D. mnm+n0 8. 元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走， 遇店添一倍， 逢友饮一斗， 店友经三处， 没了壶中酒， 借问此壶中， 当原多少酒？” 用程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中 的酒量”，即 输出值是输入值的 ，则输入的 x=（ ） 第 2 页，共 10 页 A. B. C. D. 9. 已知单位向量 ， 分別与平面直角坐标系 x， y轴的正方向同向， 且向量 =3 - ， =2 +6 ，则平面四边形 ABCD的面积为（ ） A. B. C. 10 D. 20 10. 函数 f（x）=xln的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数 f（x）= ，令函数，若函数 g（x）有两 个不同零点，则实数 a的取值范围是（ ） A. B. （-，0） C. D. 12. 如图，已知函数 ，A1，A2，A3是图 象的顶点，O，B，C，D为 f（x）与 x 轴的交点， 线段 A3D 上有五个不同的点 Q1，Q2，Q5，记 第 3 页，共 10 页 （i=1，2，5），则 n1+n2+n5的值为（ ） A. B. 45 C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 命题“ xR，f（x）x”的否定形式是_ 14. 如图，函数 f（x）的图象是折线段 ABC，其中 A，B，C 的坐标为（0，4），（2，0），（6，4），则 f（f（0） =_；函数 f（x）在 x=1处导数 f（1）=_ 15. 如图，在单位圆中，7SPON=2，MON 为等边三角形， M、N 分别在单位圆的第一、二象限内运动，则 sinPOM=_ 16. 已知ABC 中，角 A，B，C对应的边分别为 a，b，c，且 BC 边上的高为 a，则 的取值范围为_ 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 已知an是递增的等差数列，且满足 a2+a4=20，a1 a 5=36 （1）求数列an的通项公式； （2）若 bn=，求数列bn的前 n 项和 Tn的最小值 18. 在ABC中，内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，且满足 （1）求角 C； （2）设 D为边 AB 的中点，ABC的面积为，求边 CD 的最小值 第 4 页，共 10 页 19. 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧面 ABB1A1是菱形， D为 AB的中点， ABC 为等腰直角三角形， ACB= ， ABB1= ，且 AB=B1C （1）求证：CD平面 ABB1A1； （2）求 CD与平面 BCC1B1所成角的正弦值 20. 某校为了解学生一周的课外阅读情况，随机抽取了 100 名学生对其进行调查下面 是根据调查结果绘制的一周学生阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，且将 一周课外阅读时间不低于 200分钟的学生称为“阅读爱好”， 低于 200分钟的学生 称为“非阅读爱好” （1） 根据已知条件完成下面 2 2列联表， 并据此判断是否有 97.5%的把握认为“阅 读爱好”与性别有关？ 非阅读爱好 阅读爱好 合计 男 50 女 14 合计 （2）将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取 4 人，记被抽取的四 人中“阅读爱好”的人数为 ，若每次抽取的结果是相互独立的，求 的分布列和 数学期望 E 附： P（K2k0） 0.01 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 ，n=a+b+c+d 第 5 页，共 10 页 21. 已知函数 f（x）=e ax+b（a，bR）的图象与直线 l：y=x+1 相切，f（x）是 f（x）的 导函数，且 f（1）=e （1）求 f（x）； （2）函数 g（x）的图象与曲线 y=kf（x）（kR）关于 y轴对称，若直线 l与函数 g（x）的图象有两个不同的交点 A（x1，g（x1），B（x2，g（x2），求证：x1+x2 -4 22. 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知曲线 C1的参数方程为 ， 以坐标原点 O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 =4cos （1）求曲线 C1与曲线 C2两交点所在直线的极坐标方程； （2）若直线 l的极坐标方程为，直线 l与 y 轴的交点为 M，与曲 线 C1相交于 A，B 两点，求|MA|+|MB|的值 23. 已知 x，y，z 均为正数 （1）若 xy1，证明：|x+z| |y+z|4xyz； （2）若= ，求 2xy 2yz 2xz的最小值 第 6 页，共 10 页 答案答案 1.【答案】D 2.【答案】D 3.【答案】A 4.【答案】B 5.【答案】A 6.【答案】B 7.【答案】C 8.【答案】C 9.【答案】C 10.【答案】A 11.【答案】C 12.【答案】D 13.【答案】x0R，f（x0）x0 14.【答案】2 -2 15.【答案】 16.【答案】2， 17.【答案】解：（1）an是递增的等差数列，设公差为 d，则 d0， a2+a4=20，a1 a 5=36，可得 a1+a5=20， 解得 a1=2，a5=18，d= =4， 则 an=2+4（n-1）=4n-2； （2）bn= （4n-2）-30=2n-31， 可得前 n项和 Tn= n（-29+2n-31）=n2-30n=（n-15）2-225， 当 n=15时，前 n 项和 Tn取得最小值-225 18.【答案】解：（1）由正弦定理：，又， 由题，所以= 因为 sinA0，所以 cosC（2sinB-sinA）=cosAsinC， 即 cosCsinA+cosAsinC=2sinBcosC，即 sinB=sin（A+C）=2sinBcosC， 因为 sinB0，所以，则 （2）由，即，所以 ab=12 由，所以 =当且仅当 a=b时取等， 所以边 CD的最小值为 3 19.【答案】 解：（1） 证明： D为 AB中点， AC=BC， CDAB， 连结 B1D，如图，设 AB=2a，四边形 ABB1A1是菱形，D为 第 7 页，共 10 页 AB 中点，ABB1= ， ，ABC是等腰直角三角形，CD=a， ，CDB1D， ABB1D=D，CD平面 ABB1A1 （2）解：设 CD与平面 BCC1B1所成角为 ， 点 D 到平面 BCC1B1的距离为 d，AB=2a， 由（1）知 B1D平面 BCD，则 ， =， BC=，B1B=B1C=2a，=， =， ， 解得 d=，sin= CD与平面 BCC1B1所成角的正弦值为 【解析】 （1） 推导出 CDAB， 连结 B1D， 设 AB=2a， 则， 推导出 CDB1D， 由此能证明 CD平面 ABB1A1 （2）设 CD与平面 BCC1B1所成角为 ，点 D 到平面 BCC1B1的距离为 d，AB=2a，由 ，求出 d=，由此能求出 CD与平面 BCC1B1所成角的正弦值 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20.【答案】解：（1）完成 2 2列联表如下： 非阅读爱好 阅读爱好 合计 男 24 26 50 女 36 14 50 合计 60 40 100 K2=65.024， 有 97.5%的把握认为“阅读爱好”与性别有关 （2）由频率分布直方图知： 从该校学生中任意抽取 1名学生，恰为“阅读爱好”的概率为 ， 由题意知 B（4， ）， P（=0）=， 第 8 页，共 10 页 P（=1）=， P（=2）=， P（=3）=， P（=4）=， 的分布列为： 0 1 2 3 4 P E（）=4= 【解析】（1）完成 2 2列联表，求出 K2=65.024，从而有 97.5%的把握认为“阅读爱 好”与性别有关 （2）由频率分布直方图知从该校学生中任意抽取 1名学生，恰为“阅读爱好”的概率 为 ，由题意知 B（4， ），由此能求出 的分布列和 E（） 本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二 次分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21.【答案】解：（1）设直线 l与函数 f（x）的图象相切的切点为（m，n）， 函数 f（x）=eax+b的导数为 f（x）=aeax+b， 由题意可得 aeam+b=1，eam+b=m+1，且 aea+b=e，解得 a=1，b=0，m=0， 可得 f（x）=ex； （2）函数 g（x）的图象与曲线 y=kf（x）（kR）关于 y轴对称， 可得 g（x）=kf（-x）=ke-x，由 g（x1）=x1+1，g（x2）=x2+1， 可得 ke-x1=x1+1，ke-x2=x2+1， 两式相加可得 k（e-x1+e-x2）=x1+x2+2， 两式相加可得 k（e-x1-e-x2）=x1-x2， 两式相除可得=， 则 x1+x2+2= （x1-x2）， 令 x1-x2=t（t0），则 x1+x2+2= t， 要证 x1+x2-4，即证 t-2， 即证 t（1+et）-2（et-1）0， 可令 h（t）=t（1+et）-2（et-1），t0，h（t）=1+tet-et，h（t）=tet0， h（t）在 t0递增，h（t）h（0）=0，可得 h（t）在 t0 递增，即有 h（t） h（0）=0， 可得 x1+x2-4 成立 【解析】（1）设直线 l与函数 f（x）的图象相切的切点为（m，n），求得 f（x）的导 数可得切线的斜率，由切线方程和已知条件，可得 m，n 的方程和 a，b的方程，解方程 第 9 页，共 10 页 组可得 a，b，进而得到所求 f（x）的解析式； （2）求得 y=g（x）的解析式，g（x1）=x1+1，g（x2）=x2+1，两式相加和相减，相除可 得 x1+x2+2= （x1-x2），令 x1-x2=t（t0），可得要证 x1+x2-4，即证 t-2， 即证 t（1+et）-2（et-1）0，可令 h（t）=t（1+et）-2（et-1），t0，求得二阶导数， 判断单调性，即可得证 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查构造函数法和方程思想、化简运算 能力，属于中档题 22.【答案】解：（1）由（为参数），消去参数 ，得曲线 C1的普 通方程为：（x-5）2+y2=10 由 =4cos，得 2=4cos，得曲线 C2的普通方程为：x2+y2=4x，即（x-2）2+y2=4 由两圆心的距离，得两圆相交， 两方程相减可得交线为-6x+21=5，即 直线的极坐标方程为； （2）由，得， 直线 l的直角坐标方程：x+y=4， 则与 y 轴的交点为 M（0，4） 直线 l的参数方程为，代入曲线 C1（x-5）2+y2=10，得 设 A，B 两点的参数为 t1，t2， ，t1t2=31，则 t1，t2同号 【解析】（1）由曲线 C1的参数方程消去参数 ，得曲线 C1的普通方程把 =4cos两 边同时乘以 ， 结合极坐标与直角坐标的互化公式得曲线 C2的普通方程 联立两圆的普 通方程可得两交点所在直线的普通方程，进一步得到直线的极坐标方程； （2）由，展开两角和的正弦，得直线 l的直角坐标方程，求得 M（0， 4），写出直线 l的参数方程，代入曲线 C1（x-5） 2+y2=10，再由参数 t的几何意义求解 本题考查参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数 方程中参数 t的几何意义及其应用，着重考查了运算与求解能力，是中档题 23.【答案】解：（1）证明：x，y，z均为正数， |x+z| |y+z|=（x+z）（y+z）=， 当且仅当