2020届湖北省华中师大一附中高三上学期期中考试数学（理）试题

页 1 第 华中师大一附中 20192020 学年度上学期期中检测 高三年级数学（理科）试题 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1. 已知集合 2, 1,0,1,2A ， (1)(2)0Bxx x，则BA的子集个数为（ ） A. 2 B4 C6 D8 【答案】B 2. 设命题p：nN ， 2 2nn ，则p 为 （ ） A 2 ,2nnN n B 2 ,2nnN n C 2 ,2nnN n = D 2 ,2nnN n 【答案】D 3. 若复数z满足(34 )112i zi，其中i为虚数单位，则z的虚部为 （ ） A. 2 B. 2 C. 2i D. 2i 【答案】B 4. 我国古代数学典籍九章算术第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙 5 尺，两只 老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺， 以后每天减半。问两鼠在第几天相遇？（ ） A. 第 2 天 B.第 3 天 C.第 4 天 D.第 5 天 【答案】B 5. 已知变量 x, y 满足约束条件 1 3 230 x xy xy ，则yxz 2的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.6 【答案】A 6. 已知等差数列an的前 n 项和 Sn满足 1213 0,0,SS且Sn的最大项为 m S， 1 2 m a ， 则 13 S（ ） 页 2 第 A. 20 B.22 C.24 D.26 【答案】D 7. 右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论 ANGC CF 与 EN 所成的角为60 BD/MN 二面角EBCN的大小为45 其中正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 8. 已知ABC中，2ADDC uuu ruuu r ，E 为 BD 中点，若BCAEAB uuu ruuu ruuu r ，则2的值为 （ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 9. 若 1 16 4 log 9 a ， 3 3 log 2 b ， 0.2 0.6c ，则, ,a b c的大小关系为 （ ） A. cba B. cab C. bac D. abc 【答案】A 10. 已知函数( )2sin()(0,|)f xx 的部分图像如右图 所示，且(,1), ( , 1) 2 AB ，则的值为 （ ） A. 5 6 B. 6 C. 5 6 D. 6 【答案】C 11. 已知函数 2 ( )ln(1)22 xx f xx ，则使不等式(1)(2 )f xfx成立的x的取值范围是（ ） A. (1)(1,) ， B. (1,+ ) 页 3 第 C. 1 (,)(1,+ ) 3 D. (, 2)(1,) 【答案】D 12. 已知函数( )sin2sin() 4 f xxxx ，若对于任意的 1212 ,0,),() 2 x xxx ，均有 12 12 |( )()| xx f xf xa ee成立，则实数 a 的最小值为（ ） A. 2 3 B.1 C. 3 2 D. 3 【答案】B 页 4 第 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13. 曲线 x yxe在点 1 (1, ) e 处的切线方程为 . 【答案】 1 y e 14. 已知 3 sin()2cos()sin 2 ，则 2 sinsincos . 【答案】 5 6 2 sinsincos 5 6 tan1 tantan 2 2 15. 已知ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c.若1c ，ABC的面积为 22 1 4 ab ，则ABC面积的 最大值为 . 【答案】 21 4 16. 已知ABC的外接圆圆心为 O，| 6,| 8ABAC，( ,)AOABACR uuu ruuu ruuu r ， 若 2 1 s i n()2At （t为实数）有最小值，则参数t的取值范围是 . 【答案】 33 15 (,) 16 16 三、解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. （本小题满分 12 分）已知ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，若 2 1 cos 222 Ab c （1）求角 C； （2）BM 平分角 B 交 AC 于点 M，且1,6BMc，求cos ABM. 【解析】 （1）由题1 cos 1 cos 222 Abb A cc cossinsinsin()sincoscossinACBACACAC 页 5 第 sincos0AC又(0, )sin0cos0 2 AACC （2）记ABM，则MBC，在Rt MCB中，cosCB， 在Rt ACB中，cos BC ABC AB ，即 cos cos2 6 即 2 cos 2cos1 6 3 cos 4 或 2 3 （舍） 3 cos 4 ABM 18. （本小题满分 12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 1 2 a ， * 2 1 1, n n S anN nn （1）证明：数列 1 n n S n 为等差数列； （2）若数列bn满足 1 2 n n nn n b SS ，求数列bn的前n项和 Tn. 【解析】 （1）2n时， 2222 1 () nnnn Sn annn SSnn 即 22 1 (1)(1) nn nSn Sn n (2)n 同除以(1)n n得 1 1 1(2) 1 nn nn SSn nn 1 n n S n 为等差数列，首项为 1，公差为 1 （2）由（1）知 2 1 1 nn nn SnS nn 1 211 (1)22(1)2 n nnn n b n nnn 1121 111111 (1)()()1 2 22 23 22(1)2(1)2 n nnn T nnn 19. （本小题满分 12 分）已知函数 ( )(cossin)(cossin)2 3sincos 222222 xxxxxx f x （1）求函数( )f x的最大值并指出( )f x取最大值时x的取值集合； （2）若, 为锐角， 126 cos(),( ) 135 f，求() 6 f 的值. 页 6 第 【解析】 （1） 22 ( )cossin2 3sincos 2222 xxxx f x cos3sin2sin() 6 xxx 令2 62 xk 得2, 3 xkkZ 所以最大值为 2，此时x的取值集合为 |2, 3 x xkkZ （2）由, 为锐角， 12 cos() 13 得 5 sin() 13 Q0 2 2 663 又 312 sin()( ,) 6522 664 4 cos() 65 cos()cos()() 66 63 cos()cos()sin()sin() 6665 126 ()2sin()2sin()2cos() 6326665 f 20. （本小题满分 12 分）已知四棱锥PABCD的底面 ABCD 是直角梯形，AD/BC，ABBC， 3,22,ABBCADE 为 CD 的中点，PBAE （1）证明:平面 PBD平面 ABCD； （2） 若P B P D， PC 与平面 ABCD 所成的角为 4 ， 试问“在侧面 PCD 内是否存在一点 N， 使得BN 平面 PCD？”若存在，求出点 N 到平面 ABCD 的距离；若不存在，请说明理由. 页 7 第 【解析】 （1）证明:由四边形 ABCD 是直角梯形, AB=，BC=2AD=2，ABBC， 可得 DC=2,BCD= 3 ，从而BCD 是等边三角形,BD=2,BD 平分ADC. E 为 CD 的中点,DE=AD=1,BDAE, 又PBAE,PBBD=B,AE平面 PBD. 又AE 平面 ABCD平面 PBD平面 ABCD. (2) 在平面 PBD 内作 POBD 于 O,连接 OC, 又平面 PBD平面 ABCD,平面 PBD平面 ABCD=BD, PO平面 ABCD PCO 为 PC 与平面 ABCD 所成的角, 则PCO= 4 易得 OP=OC= PB=PD,POBD,O 为 BD 的中点,OCBD. 以 OB,OC,OP 所在的直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则 B(1,0,0),C(0,0),D(-1,0,0),P(0,0,), 假设在侧面PCD内存在点N，使得BN 平面PCD成立， 设( ,0,1)PNPDPC uuu ruuu ruuu r ，易得(, 3 ,3(1)N 由 0 0 BN PC BN PD uuu r uuu r uuu r uuu r得 12 , 55 ，满足题意 所以 N 点到平面 ABCD 的距离为 2 3 3(1) 5 21. （本小题满分 12 分） （1）已知 2 1 ( )lnf xx x ，证明：当2x时， 22 1 ln1(ln2) 4 xxx ； 页 8 第 （2）证明：当 42 11 ( 2, 1)a ee 时， 33 131 ( )ln(2) 39 a g xxxxx x 有最小值，记 ( )g x最小值为( )a，求( )a的值域. 【解析】 （1）证明： 2 / 33 122 ( )0 x fx xxx ( )f x在 2,)上单增 2x 时，( )(2)f xf即 2 11 lnln2 4 x x 2x时， 22 1 ln1(ln2) 4 xxx （2） /2222 2 1311 ( )ln1(ln) 33 a g xxxxxxxa x 由( )f x在 2,)上单增且 2 24 11 ( )1,()2,f ef e ee 42 11 ( 2, 1)a ee 知存在唯一的实数 2 0 ( ,)xe e，使得 / 0 ()0g x，即 0 2 0 1 ln0 xa x / 0 ( 2,),( )0, ( )xxg xg x 单减； / 0 (,),( )0, ( )xxg xg x单增 min0 ( )()g xg x， 0 x满足 0 2 0 1 ln0 xa x 0 2 0 1 lnax x 33 00000 131 ()ln 39 a g xxxxx 3 2 0 00 2 () 93 x x exe 记 32 12 ( )() 93 h xxx exe ，则 2 / 2 ( )0 33 x h x ( )h x在 2 ( ,)e e上单减 63 22 22 ()( )( ) 9393 ee eh eh xh ee 所以( )a的值域为 63 2 22 (,) 9393 ee ee 22. （本小题满分 10 分）已知函数( ) |2|24|f xxx （1）解不等式( )34f xx； （2）若函数( )f x最小值为a，且2(0,0)mna mn，求 21 +1mn 的最小值. 页 9 第 【解析】 （1）当2x 时，3234xx，无解 当22x 时，634xx ，得 1 2 2 x 当2x 时，3234xx ，得2x 所以不等式解集为 1 ,)