2020届宁夏银川一中高三第五次月考数学（理）试题

- 1 - 银川一中 2020 届高三年级第五次月考 理 科 数 学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1已知全集RU ，集合 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 A ， 2| xxB ， 则图中阴影部分所表示的集合 A 1 B0,1 C1,2 D0,1,2 2在复平面内与复数 2 1 i z i 所对应的点关于 实轴对称的点为A，则A对应的复数为 A1 i B1 i C1 i D1i 3执行如图所示的程序框图，输出S的值为 A 3 2 1 3log 2 B 2 log 3 C4 D2 4阿基米德（公元前 287 年公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近 法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在x轴上，且 椭圆C的离心率为 7 4 ，面积为 12，则椭圆C的方程为 A 22 1 34 xy B 22 1 916 xy C 22 1 43 xy D 22 1 169 xy 5已知( )(1)(2)2f kkkkk（k N），则 A(1)( )22f kf kk B(1)( )33f kf kk C(1)( )42f kf kk D(1)( )43f kf kk 6已知数列 n a为等比数列，且 2 2347 64a a aa，则 5 2 tan() 3 a - 2 - A3 B3 C3 D 3 3 7设抛物线 2 y4x 的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜 率为 3 3 ，那么|PF A 2 3 B 4 3 C 7 3 D4 8若 4 sincos 3 ，且 3 , 4 ，则sin()cos() A 2 3 B 2 3 C 4 3 D 4 3 9已知三棱锥ABCD中，5ABCD，2ACBD，3ADBC，若该三棱锥的四个顶 点在同一个球面上，则此球的体积为 A 3 2 B24 C6 D6 10在Rt ABC中，已知90 ,3,4,CCACBP为线段AB上的一点，且 CACB CPxy CACB ， 则 11 xy 的最小值为 A 7 6 B 7 12 C 73 123 D 73 63 11已知函数( )yf x是( 1 1) ，上的偶函数，且在区间( 1 0) ， 上是单调递增的，A、B、C是锐角三角 形ABC的三个内角，则下列不等式中一定成立的是 A(sin)(sin)fAfB B(sin)(cos )fAfB C(cos)(sin)fCfB D(sin)(cos)fCfB 12已知定义在R上的可导函数 ( )f x的导函数为( )fx，满足( )( )fxf x ，且(2)f x为偶函数， (4)1f，则不等式( ) x f xe的解集为 A(,0) B(0,) C 4 ,e D 4, e 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知椭圆 22 2 10 4 xy a a 与双曲线 22 1 93 xy 有相同的焦点，则a的值为_. 14已知实数x，y满足不等式组 20 250 20 xy xy y ，且z=2x-y的最大值为a， - 3 - 则dx x a e 1 =_ 15已知点2,0A ，0,4B，点P在圆 22 :345Cxy上，则使90APB 的点P的个 数为_. 16已知函数 2 2 log,02 ( ) 3,2 xx f x xx ，若方程( )f xa有 4 个不同的实数根 12341234 ,()x xx xxxxx ，则 4 34 123 x xx x x x 的取值范围是_ 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 ( (一一) )必考题：必考题：( (共共 6060 分分) ) 17(12 分) 已知等差数列 n a满足： 410 7,19aa，其前n项和为 n S （1）求数列 n a的通项公式 n a及 n S； （2）若 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和 n T 18(12 分) 已知函数 2 ( )2 3sin cos2sin1f xxxx. (1)求函数 ( )f x的单调递增区间； (2)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若( )2,C,2 4 f Ac ，求ABC的面积. 19(12 分) 如图，在四边形ABCD中，/ /ABCD， 2 3 BCD ，四边形 ACFE为矩形，且CF 平面ABCD，ADCDBCCF. （1）求证：EF 平面BCF； （2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并 求此时二面角的余弦值. 20(12 分) 已知椭圆 22 2 :12 2 xy Ca a 的右焦点为F，P是椭圆C上一点，PFx轴， 2 2 PF . （1）求椭圆C的标准方程； （2） 若直线l与椭圆C交于A、B两点， 线段AB的中点为M，O为坐标原点， 且2OM ， 求A O B 面积的最大值. - 4 - 21(12 分) 已知函数 ()f xlnxxa x aR 有两个极值点 12 ,x x，且 12 xx. (1)若5a ，求曲线 yf x在点 4,4f处的切线方程； (2)记 12 g af xf x，求a的取值范围，使得 15 04 2 4 g aln. ( (二二) )选考题：共选考题：共 1010 分。分。请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做则按所做的第一题记分。 22选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为)2 , 0( sin3 cos y x ，曲线 2 C的参数方程为 1 2 2 ( 3 2 xt t yt 为参数) (1)求曲线 1 C， 2 C的普通方程； (2)求曲线 1 C上一点P到曲线 2 C距离的取值范围 23选修 45：不等式选讲 已知( ) |2|().f xxa xxxa （1）当1a 时，求不等式( )0f x 的解集； （2）若(,1)x 时，( )0f x ，求a的取值范围. - 5 - 银川一中银川一中 20202020 届高三年级第五次月考（理科）参考答案届高三年级第五次月考（理科）参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B D D B B B A C C C B 二、填空题二、填空题 13.13. 4 14. 6 15. 1 16. (7,8)4 14. 6 15. 1 16. (7,8) 三、解答题三、解答题 17. 解：（1）设等差数列 n a的公差为d，则 1 1 37 919 ad ad ，2 分 解得： 1 a1,d2=， 4 分 12(1)21 n ann ， 2 (1 21) 2 n nn Sn 6 分 （2） 1 11111 21212 2121 n nn b a annnn ， 8 分 数列 n b的前n项和为 111111 1 23352121 n T nn L 10 分 11 1 22121 n nn 12 分 18. 解（1） 2 2 3213f xsinxcosxsin x sin2xcos2x2sin（2x 6 ），2 分 令 2k 2 2x 6 2k 2 ，kZ，解得k 6 xk 3 ，kZ， 4 分 函数f（x）的单调递增区间为：k 6 ，k 3 ，kZ 6 分 （2）f（A）2sin（2A 6 ）2，sin（2A 6 ）1， A（0， ），2A 6 （ 6 ， 11 6 ），2A 62 ，解得A 3 ， 8 分 C 4 ，c2， 由正弦定理 ac sinAsinC ，可得a 3 2 2 6 2 2 c sinA sinC ， 10 分 - 6 - 由余弦定理a 2b2+c22bccosA，可得 6b2+42 1 2 2 b ，解得b1 3 ，（负值舍 去）， 11 分 SABC 1 2 absinC 1 6 2 （1 3 ） 233 22 12 分 19. （）证明：在梯形ABCD中，/ /ABCD,设1ADCDBC， 又 2 3 BCD ,2AB, 222 2cos603ACABBCAB BC 222 ABACBC. .则则BCAC. 2. 2 分分 CF 平面平面ABCD, ,AC 平面平面ABCD，ACCF, 4, 4 分分 而而CFBCC,AC 平面平面BCF./EFAC,EF 平面平面BCF. 6. 6 分分 （）解：分别以直线）解：分别以直线,CA CB CF为为x轴，轴，y轴，轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设1ADCDBCCD，令03FM， 则0,0,0 ,3,0,0 ,0,1,0 ,0,1CABM， 88 分分 3,1,0 , 1,1ABBM 设, ,nx y z为平面MAB的一个法向量， 由 0 0 n AB n BM 得 30 0 xy xyz ，取1x ，则1, 3, 3n，1,0,0m 是平面FCB的一个 法向量， 1010 分分 22 11 cos , 1 33134 n m n m n m 03，当0时，cos有最小值为 7 7 ， 点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为 7 7 . 1212 分分 20.20.解解：（1）设椭圆C的焦距为20c c ，由题知，点 2 , 2 P c ， 2b ， 22 分分 - 7 - 则有 2 2 2 2 2 1 2 c a ， 2 2 3 4 c a ，又 2222 2abcc， 2 8a， 2 6c ， 因此，椭圆C的标准方程为 22 1 82 xy ； 44 分分 （2）当ABx轴时，M位于x轴上，且OMAB， 由2OM 可得6AB ，此时 1 3 2 AOB SOMAB ； 55 分分 当AB不垂直x轴时，设直线AB的方程为ykxt，与椭圆交于 11 ,A x y， 22 ,B xy， 由 22 1 82 xy ykxt ，得 222 148480kxktxt. 12 2 8 14 kt xx k ， 2 12 2 48 1 4 t x x k ，从而 22 4 , 1414 ktt M kk 77 分分 已知2OM ，可得 2 2 2 2 2 1 4 1 16 k t k . 88 分分 2 2 22 22 121 2 22 848 1414 1 41 4 ktt ABkxxx xk kk 22 2 2 2 16 82 1 14 kt k k . 设O到直线AB的距离为d，则 2 2 2 1 t d k ， 22 2 22 22 2 16 82 1 1 41 14 AOB kt t Sk k k . 1010 分分 将 2 2 2 2 2 1 4 1 16 k t k 代入化简得 22 2 2 2 19241 1 16 AOB kk S k . 令 2 1 16kp， 则 22 2 22 2 1 1211 19241 4 1 16 AOB p p kk S p k 2 114 334 33p . 当且仅当3p 时取等号，此时AOB的面积最大，最大值为2. 综上：AOB的面积最大，最大值为2. 1212 分分 2121。解解：(1)5a 时， 5,lnxxfxx 15 1 2 fx xx 22 分分 - 8 - 446, 40,flnf 所以，点 4,4f处的切线方程是46yln； 44 分分 (2) 122 1 22 axa x fx xxx 由己知得， 12 2 a xx， 12 1xx，且 2 160a ， 4a ， 66 分分 因为 11111 2f xlnxxa xlnxx， 222 2f xlnxx ， 8 8 分分 令 2 1 x t x ，得 2 2 1 4 ta t ，且1t . 所以 1 21 2 1 ln2 x g axxtlnt xt ， 1010 分分 令 1 2lnh ttt t 则 2 2 222 11221 10 ttt h t tttt 所以 h t在(1,)上单调递增， 因为 15 44 2 4 hln，所以14t ， 又因为 2 2 11 2 4 ta t tt 在1,4上单调递增，所以45a. 1212 分分 22.解：由题意， cos ( 3sin x y 为参数），则 cos sin 3 x y ，平方相加， 即可得 1 C： 2 2 y x1 9 ， 22 分分 由 1 2 2 ( 3 2 xt t yt 为参数），消去参数，得 2 C： y3 x2， 即3xy2 30. 44 分分 （2）设P cos,3sin， - 9 - P到 2 C的距离 3cos3sin2 3 d 2 2 3sin 2 3 6 2 ， 66 分分 0,2，当 sin 1 6 时，即 3 ， max d2 3， 当 sin 1 6 时，即 4 3 ， min d0. 88 分分 取值范围为0,2 3 . 1010 分分 23.23.解解：（1）当1a 时，原不等式可化为|1|2|(1)0 xxxx； 22 分分 当1x 时，原不等式可化为(1)(2)(1)0 x xx x，即 2 (1)0 x，显然成立， 此时解集为(,1)； 当12x时，原不等式可化为(1