浙江省湖州市2019学年第一学期高三期末教学质量检测试数学试卷答案

1 2019 学年第一学期期末高三调研测试 数学数学参考参考答案及评分标准答案及评分标准 一、选择题：一、选择题： 12345678910 BCBCADDABD 二、填空题：二、填空题： 11.56， 2876 12.15，413. 3 10 ，114. 2 2 4 ， 15. 2 5 16.117. 51 三、解答题：三、解答题： 18(本小题满分 14 分) 已知函数 4 1 3 sinsin xxxfRx ()求 3 f的值和 xf的最小正周期； ()设锐角ABC的三边a b c，所对的角分别为A B C， ，且 4 1 2 A f，2a ， 求bc的取值范围 解：() 3311 32242 f .-2 分 23331cos211111 sinsincossinsin cossin2 224224444 x f xxxxxxxx 1sin 2 26 x .-5 分 所以 xf的最小正周期为.-6 分 ()由()知 111 sinsin 226462 A fAA ，因为A为ABC的内角，所以 66 A，所 以 3 A.-8 分 由 22444 sinsin sinsinsin32 333 sinsin 33 abcc bB cB ABC B ，所以 32344 sinsinsincos4sin 3226 33 bcBBBBB.-10 分 2 因为ABC为锐角三角形，所以 0 2 62 2 0 32 B B CB ，-12 分 所以 2 633 B，所以 2 3 4 bc，.-14 分 19(本小题满分 15 分) 如图，三棱锥ABCD中，ADCD，4 2ABBC，BCAB . ()求证：ACBD； ()若二面角DACB的大小为150且4 7BD 时， 求三角形DBC中线BM与面ABC所成角的正弦值. ()证明： 取AC中点O， 连BO DO， 因为ADCD，ABBC， 所以ACBO ACDO，BO DO， 平面BOD，且BODOO，所以AC平面BOD，又BD平面BOD，所以ACBD.-6 分 ()由()知BOD是二面角DACB的平面角，所以150BOD，-8 分 而由AC平面BOD知平面BOD 平面ABC，故在平面BOD内作OzOB，则Oz 平面ABC，故 可如图建系，又易得4OB ，故在BOD中由余弦定理可得4 3OD ，于是可得各点坐标为 04 04 0 00 4 0ABC， ， ， ，6 0 2 3D ，所以3 23M ，所以7 23BM ， -12 分 又平面ABC的一个法向量为0 0 1n ，-13 分 所以BM与平面ABC所成角的正弦值 342 sin 28 56 n BM nBM .-15 分 另解：由()知BOD是二面角DACB的平面角，所以150BOD，-8 分 作DPBO于P，则由AC平面BOD知DP 平面ABC，且30DOP，又易得4OB ，故在 BOD中由余弦定理可得4 3OD ，所以sin2 3DPDODOP，-10 分 又M为DC中点，所以M到平面ABC的距离 1 3 2 dDP，-11 分 因为4 784 2BDDCBC，所以 222 5 14 cos 228 BDBCCD DBC BD BC ，所以 22 11 22 14 22 BMBMBDBCBDBCBD BC ，-13 分 所以BM与平面ABC所成角的正弦值 342 sin 28 2 14 d BM . -15 分 A B C D M 3 20(本小题满分 15 分) 已知 n S是数列 n a的前n项和，已知1 1 a且 1 2 nn nSnS ， Nn. ()求数列 n a的通项公式； ()设 Nn n a b n n n 14 4 1 2 ，数列 n b的前n项和为 n P. 若 1 1 2020 n P ，求正整数n的最小值. 解：()由 1 1 2 2 n nn n S n nSnS Sn ，-1 分 所以2n时， 12342 1 123321 nnn n nnn SSSSSS SS SSSSSS 1 11534 1 1233 2 12 n n nnn nnn .-3 分 又 11 1Sa也成立，所以 1 2 n n n S.-5 分 所以2n时， 1 11 22 nnn n nn n aSSn，又 1 1a也成立，所以 n an.-7 分 ()由()知 2 411 11 2121 41 nn n n b nn n ，-10 分 所以 11111111 11111 33557212121 nnn n P nnn -12 分 所以 201911 1 2120202 n Pn n -14 分 从而n的最小值是1010.-15 分 21(本小题满分 15 分) 已知点F是抛物线C: 2 4yx的焦点，直线l与抛物线C相切于点 00 ,P xy（ 0 0y ） ，连接PF交 抛物线于另一点A，过点P作l的垂线交抛物线C于另一点B. ()若1 0 y，求直线l的方程； ()求三角形PAB面积S的最小值. 解：()由 0 1y 得 1 ,1 4 P ，-1 分 设直线l的方程为 1 1 4 t yx，-2 分 由 2 1 1 4 4 t yx yx 得 2 4410ytyt -3 分 因为直线l与抛物线C相切，故 2 164 410tt ，解得 1 2 t .-4 分 故所求直线l的方程 11 1 24 yx即 1 2 2 yx.-5 分 4 方法二：由 0 1y 得 1 ,1 4 P ，故切线直线l的方程 00 2y yxx即 1 2 4 yx .-5 分 ()设切线l的方程为 00 t yyxx， 2 1 1 , 4 y Ay ， 2 2 2 , 4 y By ， 又由,A F P三点共线，故/FAFP ，而 2 1 1 1, 4 y FAy ， 2 0 0 1, 4 y FPy ， 化简可得 10 4y y ，-6 分 故 2 00 44 ,A yy ，-7 分 由 00 2 4 t yyxx yx 得 2 00 4440ytytyx， 因为直线l与抛物线C相切，故 0 24yt，即 0 2 y t ，-8 分 故直线PB的方程为 0 00 2 y yyxx ，即 3 0 00 220 4 y y xyy， 因此点A到直线PB的距离为 3 0 2 2 0 0 0 22 000 4 2 4 4 444 y y y y d yyy ，-10 分 由 3 0 00 2 220 4 4 y y xyy yx 得 23 000 880y yyyy， 02 0 8 yy y ，即 20 0 8 yy y ， 故 200 22 000 448 112PByyy yyy -12 分 所以 2 2 0 0 2 2 00 00 4 1148 12 22 44 PAB y Sd PBy yy yy 3 2 0 0 41 4 y y -14 分 3 3 00 00 1414 216 44 yy yy 等号成立当且仅当 0 0 4 y y ，即 0 2y 时等号成立， 此时三角形PAB面积S的最小值为16.-15 分 5 22(本小题满分 15 分) 已知函数 xxxxf a lnlog 2 1a. （）求证： f x在1+，上单调递增； （）若关于x的方程 1f xt在区间, 0上有三个零点，求实数t的值； （）若对任意的aaxx, 1 21 ， 1e 21 xfxf恒成立（e为自然对数的底数） ，求实数a 的取值范围. 解： （） 11 1+2log ln a fxx xxa .-2 分 因为1,1ax，所以 11 1+2log0 ln a fxx xxa ，-3 分 所以 f x在1+，上单调递增.-4 分 (II)因为01x时，分别有 1 10 x ， 1 2log0 ln a x xa 所以 0fx ，-5 分 结合第（I）小题，可得 min 1fxf，-6 分 所以 1=1 =1tf， 故=2t.-8 分 （）由(II)可知， f x在 1,1 a 单调递减， 1 a，上单调递增 所以 1 max max,f xf a