北京市朝阳区2020届高三上学期期末考试数学试题 含解析

北京市朝阳区20192020学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.在复平面内，复数i(2+i)对应的点的坐标为（ ）A. (1,2)B. (2,1)C. (1,2)D. (2,1)【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【详解】解：复数i（2+i）2i1对应的点的坐标为（1，2），故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2.已知a=32，b=log0.52，c=log23，则（ ）A. abcB. acbC. bcaD. cab【答案】D【解析】【分析】利用中间量隔开三个值即可.【详解】a=3-20,1，b=log0.521,cab，故选：D【点睛】本题考查实数大小的比较，考查幂指对函数的性质，属于常考题型.3.已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的离心率为2，则其渐近线方程为（ ）A. y=2xB. y=3xC. y=22xD. y=32x【答案】B【解析】【分析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为yx，再由双曲线离心率为2，得到c2a，由定义知b=c2-a2=3a，代入即得此双曲线的渐近线方程【详解】解：双曲线C方程为：x2a2-y2b2=1（a0，b0）双曲线的渐近线方程为yx又双曲线离心率为2，c2a，可得b=c2-a2=3a因此，双曲线的渐近线方程为y3x故选：B【点睛】本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题4.在ABC中，若b=3，c=6，C=4，则角B的大小为（ ）A. 6B. 3C. 23D. 3或23【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理即可得到结果.【详解】解：b3，c=6，C=4，由正弦定理bsinB=csinC，可得3sinB=6sin4，可得：sinB=32，cb，可得B=3或23，故选：D点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题5.从3名教师和5名学生中，选出4人参加“我和我的祖国”快闪活动要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（ ）A. 20B. 40C. 60D. 120【答案】C【解析】【分析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即可.【详解】由题意可分成两类：（1）一名教师和三名学生，共C31C53=30；（2）两名教师和两名学生，共C32C52=30；故不同的选派方案的种数是30+30=60.故选：C【点睛】本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可6.已知函数f(x)=e|x|e|x|，则f(x)（ ）A. 是奇函数，且在(0,+)上单调递增B. 是奇函数，且在(0,+)上单调递减C. 是偶函数，且在(0,+)上单调递增D. 是偶函数，且在(0,+)上单调递减【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义以及单调性的性质判断即可【详解】函数f(x)=e|x|-e-|x|的定义域为R，f-x=e-x-e-x=ex-e-x=f(x)，即f-x=f(x)，f(x) 是偶函数，当x0时，f(x)=ex-e-x,y=ex为增函数，y=e-x为减函数，f(x) 在(0,+)上单调递增，故选：C【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题，考查推理能力，是一道中档题7.某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A.B.C. 2D. 4【答案】A【解析】【分析】根据题意把三棱锥放入棱长为2的正方体中，得出三棱锥的形状，结合图形，求出该三棱锥的体积【详解】解：根据题意，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，是如图所示的三棱锥PABC，三棱锥PABC的体积为：13SABC2=1312=23，故选：A【点睛】本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题，考查空间想象能力，是基础题8.设函数f(x)=x33x+a(aR)，则“a2”是“f(x)有且只有一个零点”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】f(x)有且只有一个零点的充要条件为a2,或a2,或a2”是“f(x)有且只有一个零点”的充分而不必要条件，故选：A【点睛】本题考查充分性与必要性，同时考查三次函数的零点问题，考查函数与方程思想，属于中档题.9.已知正方形ABCD的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切.若点P是圆B上的动点，则DBAP的最大值是（ ）A. 22B. 42C. 4D. 8【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，圆B的方程为：x2+y2=2,DBAP=4-4sin+4，利用正弦型函数的性质得到最值.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则B0,0，A0,2，D2,2，圆B的方程为：x2+y2=2,P2cos，2sin，DB=-2，-2，AP=2cos，2sin-2，DBAP=-22cos-22sin+4=4-4sin+4sin+4=-1时，DBAP的最大值是8，故选：D【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了，考查了正弦型函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题10.笛卡尔、牛顿都研究过方程(x1)(x2)(x3)=xy，关于这个方程的曲线有下列说法： 该曲线关于y轴对称； 该曲线关于原点对称； 该曲线不经过第三象限； 该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数其中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】以x代x，以x代x，y代y，判断的正误，利用方程两边的符号判断的正误，利用赋值法判断的正误.【详解】以x代x，得到(x+1)(x+2)(x+3)=xy，方程改变，不关于y轴对称；以x代x，y代y，得到x+1x+2x+3=-xy，方程改变，不关于原点对称；当x0,y0时，x-1x-2x-30,显然方程不成立，该曲线不经过第三象限；令x=-1,易得y=12，即-1,12适合题意，同理可得1,0，2,0，3,0适合题意，该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的，故选：C【点睛】本题考查曲线与方程，考查曲线的性质，考查逻辑推理能力与转化能力，属于中档题第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分11.2x+1x4的展开式中的常数项为_.【答案】24【解析】【分析】先求出二项式2x+1x4展开式通项公式Tr+1=C4r(2x)4r(1x)r=24rC4rx42r，再令42r=0，求出r=2代入运算即可得解.【详解】解：由二项式2x+1x4展开式通项公式为Tr+1=C4r(2x)4r(1x)r=24rC4rx42r，令42r=0，解得r=2，即展开式中的常数项为242C42=44321=24，故答案为24.【点睛】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题.12.已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=_；数列an的前n项和的最小值为_【答案】 (1). 6 (2). 20【解析】【分析】运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到a2，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值【详解】解：等差数列an的公差d为2，若a1，a3，a4成等比数列，可得a32a1a4，即有（a1+2d）2a1（a1+3d），化为a1d4d2，解得a18，a28+26；数列an的前n项和Snna1+12n（n1）d8n+n（n1）n29n（n-92）2-814，当n4或5时，Sn取得最小值20故答案为：6，20【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题13.若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1)，(2,12)，(2,1)，(4,2)中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是_【答案】x2=8y或y2=x【解析】【分析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可.【详解】设抛物线的标准方程为：x2=my，不难验证2,12，(4,2)适合，故x2=8y；设抛物线的标准方程为：y2=nx，不难验证(1,1)，(4,2)适合，故y2=x；故答案为：x2=8y或y2=x【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题.14.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X的方差DX=2.1，P(X=3)P(X=7)，则p=_【答案】0.7【解析】【分析】由题意可知：XB10,p，且10p1-p=2.1P(X=3)P(X=7)，从而可得p值【详解】由题意可知：XB10,p10p1-p=2.1P(X=3)0.5,p=0.7故答案为：0.7【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题15.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+)=2f(x)，当x0,)时，f(x)=sinx若存在x0(,m，使得f(x0)43，则m的取值范围为_【答案】103,+)【解析】【分析】由f（x+）2f（x），得f（x）2f（x），分段求解析式，结合图象可得m的取值范围【详解】解：fx+=2fx，fx=2fx，当x0,时，fx=sinx当x,2时，fx=2sinx当x2,3时，fx=4sinx2当x3,4时，fx=8sinx3作出函数图象：令8sinx3=43，解得：x=103，或113，若存在x0,m，使得fx043，则m103，故答案为：103,+)【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题16.某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q满足关系式：q=1|T|d(1l2d+2)，其中玻璃的热传导系数1=4103焦耳/（厘米度），不流通、干燥空气的热传导系数2=2.5104焦耳/（厘米度）， T为室内外温度差q值越小，保温效果越好现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表： 型号每层玻璃厚度d（单位：厘米）玻璃间夹空气层厚度l（单位：厘米）A型0.53B型0.54C型0.62D型0.63则保温效果最好的双层玻璃的型号是_型【答案】B【解析】【分析】分别计算4种型号的双层玻璃窗户的q值，根据q值越小，保温效果越好即可作出判断.【详解】A型双层玻璃窗户：d1l2d+2=0.5410332.51040.5+2=49，B型双层玻璃窗户：d1l2d+2=0.5410342.51040.5+2=65，C型双层玻璃窗户：d1l2d+2=0.6410322.51040.6+2=33.2，D 型双层玻璃窗户：d1l2d+2=0.6410332.51040.6+2=49.2，根据q=1Td1l2d+2，且q值越小，保温效果越好故答案为：B【点睛】本题以双层玻璃窗户保温效果为背景，考查学生学生分析问题解决问题的能力，考查计算能力.三、解答题共6小题，共86分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17.已知函数f(x)=3sin2x+2cos2x+m(mR)（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)的单调递增区间；（3）对于任意x0,2都有f(x)0恒成立，求m的取值范围【答案】（1）；（2）3+k,6+k(kZ)；（3）(,3)【解析】【分析】（1）将函数进行化简，根据三角函数的周期公式即可求函数f（x）的最小正周期T；（2）由三角函数的图象与性质即可求函数f（x）的单调递增区间；（3）原问题等价于f(x)最大值小于零.【详解】（1）因为f(x)=3sin2x+2cos2x+m=3sin2x+cos2x+m+1，=2sin(2x+6)+m+1.所以f(x)的最小正周期T=22=（2）由（1）知f(x)=2sin(2x+6)+m+1又函数y=sinx的单调递增区间为-2+2k,2+2k(kZ)由-2+2k2x+62+2k，kZ，得-3+kx6+k，kZ所以f(x)的单调递增区间为-3+k,6+k(kZ). （3）因为0x2，所以62x+676.所以-12sin(2x+6)1.所以m2sin(2x+6)+m+1m+3.当2x+6=2，即x=6时，f(x)的最大值为m+3，又因为f(x)0对于任意x0,2恒成立，所以m+30，即mb0)过点P(1,32)，且椭圆C的一个顶点D的坐标为(2,0)过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B（A，B不同于点D），直线DA与直线m：x=4交于点M连接MF，过点F作MF的垂线与直线m交于点N（1）求椭圆C的方程，并求点F的坐标；（2）求证：D，B，N三点共线【答案】（1）x24+y23=1，(1,0)；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意列方程组a=2,1a2+94b2=1，即可得到椭圆的方程，进而得到焦点坐标；（2）讨论直线l的斜率，利用DB，DN是平行的证明D，B，N三点共线【详解】（1） 因为点P(-1,32)在椭圆C上，且椭圆C的一个顶点D的坐标为(-2,0)，所以a=2,1a2+94b2=1.解得a=2,b=3.所以椭圆C的方程为x24+y23=1所以椭圆C的右焦点F的坐标为(1,0) （2） 当直线l的斜率不存在时，直线AB的方程为x=1显然，A(1,32)，B(1,-32)或A(1,-32)，B(1,32)当A(1,32)，B(1,-32)时，直线DA的方程为y=12(x+2)，点M的坐标为(4,3) 所以kMF=1直线FN的方程为y=-(x-1)，点N的坐标为(4,-3)则DB=(3,-32)，DN=(6,-3)所以DN=2DB，所以D，B，N三点共线同理，当A(1,-32)，B(1,32)时，D，B，N三点共线 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-1)由y=k(x-1),3x2+4y2=12得(3+4k2)x2-8k2x+(4k2-12)=0且=(-8k2)2-4(3+4k2)(4k2-12)0设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2-123+4k2直线DA的方程为y=y1x1+2(x+2)，点M的坐标为(4,6y1x1+2)所以kMF=6y1x1+2-04-1=2y1x1+2直线NF的方程为y=-x1+22y1(x-1)，点N的坐标为(4,-3(x1+2)2y1)则DB=(x2+2,y2)，DN=(6,-3(x1+2)2y1)所以(x2+2)-3(x1+2)2y1-6y2=-32y1(x1+2)(x2+2)+4y1y2，=-32y1(x1+2)(x2+2)+4k2(x1-1)(x2-1)，=-32y1(1+4k2)x1x2+(2-4k2)(x1+x2)+4k2+4，=-32y1(1+4k2)4k2-123+4k2+(2-4k2)8k23+4k2+4k2+4，=-32y1(1+4k2)(4k2-12)+(2-4k2)8k2+(4k2+4)(3+4k2)3+4k2，=-32y14k2-12+16k4-48k2+16k2-32k4+12k2+12+16k4+16k23+4k2 =0所以DB与DN共线，所以D，B，N三点共线综上所述，D，B，N三点共线【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21.已知函数f(x)=(sinx+a)lnx，aR（1）若a=0.（）求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程；（）求函数f(x)在区间(1,)内的极大值的个数（2）若f(x)在2,内单调递减，求实数a的取值范围【答案】（1）（）2xy+ln2=0；（）1；（2）(,1【解析】【分析】（1）（）求出导函数，得到f(2)与f(2)，利用点斜式得到直线的方程；（）研究函数在区间(1,)内单调性，结合极值的定义得到答案；（2）由题可知f(x)=sinx+ax+cosxlnx，其中x(2,)，分两类情况：a-1与a-1，结合函数的单调性与极值即可得到实数a的取值范围【详解】（1）（）因为f(x)=sinxlnx，所以f(x)=cosxlnx+sinxx，f(2)=2又因为f(2)=ln2，所以曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y-ln2=2(x-2)，化简得2x-y-+ln2=0 （）当x(1,2)时，f(x)0，f(x)单调递增，此时f(x)无极大值当x(2,)时，设g(x)=f(x)，则g(x)=-sinxlnx+2cosxx-sinxx20， f()=-ln0，所以在(2,)内存在唯一的x0(2,)，使得f(x0)=0当x变化时，f(x)，f(x)的变化如下表x(2,x0)x0(x0,)f(x)+0-f(x)所以f(x)在(1,x0)内单调递增，在(x0,)内单调递减，此时f(x)有唯一极大值综上所述，f(x)在(1,)内的极大值的个数为1 （2） 由题可知f(x)=sinx+ax+cosxlnx，其中x(2,)当a-1时，f(x)-1对于x(2,)，lnxlnlne2=2，且cosx2cosx所以当x(2,)时，f(x)sinx+ax+2cosx=sinx+a+2xcosxx设h(x)=sinx+2xcosx+a，x2,，则h(x)=cosx+2cosx-2xsinx=3cosx-2xsinx0， h()=-2+a当-2+a0时，即a2时，h()0，对x(2,)，h(x)0，所以f(x)0，f(x)在(2,)内单调递增，不符合题意当-2+a0时，即-1a0，h()0，所以f(x)0所以f(x)在(2,x1)内单调递增，不符合题意所以当a-1时，f(x)在(2,)内不单调递减综上可得a-1，故a的取值