上海市青浦区2020届高三上学期期终学业质量调研（一模）数学试题 含解析

数学试题2019.121已知集合U1，3，5，9，A1，3，9，B1，9，则U（AB） 2若复数zi（32i）（i是虚数单位），则z的模为 3直线l1：x10和直线l2：3xy0的夹角大小是 4我国古代庄周所著的庄子天下篇中引用过一句话：“一尺之棰日取其半，万世不竭”其含义是：一根尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去，若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第n天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为an，则an 5已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角的终边与单位圆的交点坐标是（-35，45），则sin2 6已知正四棱柱底面边长为22，体积为32，则此四棱柱的表面积为 7设x，yR+，若4x+1y=1则xy的最大值为 8已知数列an中，a11，anan1=12n+1（nN*），则limnan 9某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A、B、C三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有 种10已知对于任意给定的正实数k，函数f（x）2x+k2x的图象都关于直线xm成轴对称图形，则m 11如图，一矩形ABCD的一边AB在x轴上，另两个顶点C、D在函数f（x）=x1+x2，x0的图象上，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是 12已知点P在双曲线x29-y216=1上，点A满足PA=（t1）OP（tR），且OAOP=60，OB=（0，1），则|OBOA|的最大值为 13使得（3x+1xx）n（nN*）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A4B5C6D714对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面，以下结论正确的是（）A若m，n，m，n是异面直线，则，相交B若m，m，n，则nC若m，n，m，n共面于，则mnD若m，n，不平行，则m，n为异面直线15过抛物线y22px（p0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则1|AB|+1|CD|的值为（）Ap2B2pC2pD12p16设等比数列an的公比为q，其前n项之积为Tn，并且满足条件： a11，a2019a20201，a2019-1a2020-10，给出下列结论：0q1；a2019a202110；T2019是数列Tn中的最大项；使Tn1成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为（）ABCD17（14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点，已知AB2，AD22，PA2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小18（14分）已知向量a=（3cosx，sinx），b=（cosx，cosx）其中0，记f（x）=ab（1）若函数f（x）的最小正周期为，求的值；（2）在（1）的条件下，已知ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若f（A2）=3，且a4，b+c5求ABC的面积19（14分）某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第n个月的利润是f（n）=10，1n10(nN*)n，11n60(nN*)（单位：万元）记第n个月的当月利润率为g（n）=第n个月的利润截止到第n个月投入的资金总和，例g（3）=f(3)50+(f(1)+f(2)10%（1）求第n个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率20（16分）已知焦点在x轴上的椭圆C上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆C经过点（3，165）（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作与x轴垂直的直线l1，直线l1上存在M、N两点满足OMON，求OMN面积的最小值（3）若与x轴不垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于定点M，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，且|AB|MN|为定值，求点M的坐标21（18分）已知函数f（x）的定义域为0，2且f（x）的图象连续不间断，若函数f（x）满足：对于给定的实数m且0m2存在x00，2m，使得f（x0）f（x0+m），则称f（x）具有性质P（m）（1）已知函数f（x）=1-(x-1)2，判断f（x）是否具有性质P（12），并说明理由；（2）求证：任取m（0，2）函数f（x）（x1）2，x0，2具有性质P（m）；（3）已知函数f（x）sinx，x0，2，若f（x）具有性质P（m），求m的取值范围1集合U1，3，5，9，A1，3，9，B1，9AB1，3，9U（AB）5，答案52复数zi（32i）3i+2，则|z|=32+22=13答案：133直线l1：x10的倾斜角为2，直线l2：3xy0的斜率为3倾斜角为3，故直线l1：x10和直线l2：3xy0的夹角大小为2-3=6，答案：64依题意，第1天“日取其半”后a1=12；第2天“日取其半”后a2=1212=(12)2；第3天“日取其半”后a3=121212=(12)3；、第n天“日取其半”后an=121212n个=(12)n，答案：(12)n5角的终边与单位圆的交点坐标是（-35，45），所以cos=-35，sin=45，所以sin2=2sincos=2(-35)45=-2425答案：-24256设正四棱柱的高为h，由底面边长为a22，体积为V32，则Va2h，即h=32(22)2=4；所以此四棱柱的表面积为：SS侧面积+2S底面积4422+22222322+16答案：16+32274x+1y=1，x，yR+，4x2+xy=x，即xy=-4x2+x=-4(x-18)2+116116，当且仅当“x=18，y=2”时取等号，答案：1168数列an中，a11，anan1=12n+1（nN*），可得a2a1=123，a3a2=124，a4a3=125，anan1=12n+1，累加可得：an1+123+124+125+12n+1，则limnan1+1231-12=54答案：54答案549根据题意，分2步进行分析：，在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，有C313种情况，对于剩下的三人，每人都可以安排在A、B、C三个不同的乡镇中学中任意1个，则剩下三人有33327种不同的选法，则有32781种不同的分配方法；答案：8110由题意可知，k0，函数f（x）2x+k2x的图象都关于直线xm成轴对称图形，则f（m+x）为偶函数，关于y轴对称，故f（mx）f（m+x）恒成立，2mx+k2（mx）2m+x+k2（m+x），对于任意xR成立，故2mk2m0，m=12log2k答案：12log2k11由yf（x）=1+2=11x+x121xx=12，当且仅当x1时取等号，得x+1x=1y；又矩形绕x轴旋转得到的旋转体是圆柱，设A点的坐标为（x1，y），B点的坐标为（x2，y），则圆柱的底面圆半径为y，高为hx2x1，且f（x1）=x11+x12，f（x2）=x21+x22，所以x11+x12=x21+x22，即（x2x1）（x2x11）0，所以x2x11，所以h2（x2+x1）24x2x1（x1+1x1）24=1y2-4，所以h=1y2-1=1-4y2y，所以V圆柱y2hy1-4y2=124y2(1-4y2)12（4y2+(1-4y2)2）=14，当且仅当y=24时取等号，故此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为4答案：412PA=（t1）OP=tOP-OP，OA-OP=tOP-OP，则OA=tOP，|OA|=|t|OP|，设A（xA，yA），P（xP，yP），（xA，yA）t（xP，yP），则xA=txPyA=tyP，即xP=xAtyP=yAt，将点（xAt，yAt）代入双曲线中得：xA29t2-yA216t2=1，xA2=9yA216+9t2，OAOP=60，|OA|OP|=|t|OP|2=|t|(xP2+yP2)|t|(xA2t2+yA2t2)=60，由得60|t|(9yA216t2+yA2t2+9)=|t|(25yA216t2+9)=25yA216|t|+9|t|152|yA|，|yA|8，|OBOA|yA|8则|OBOA|的最大值为8答案：813（3x+1xx）n的展开式的通项公式为：Tr+1=Cnr(3x)n-r(1xx)r=3n-rCnrxn-52r，令n-5r2=0，可得n=5r2，当r2时，n取得最小值为5，答案：B14若m，n，m，n是异面直线，则，相交或平行，故A错误；若m，m，则，由n，则n或n，故B错误；若m，n，m，n共面于，则mn，故C正确；若m，n，不平行，则m，n为异面直线或相交，故D错误答案：C15抛物线y22px（p0）的焦点坐标为（p2，0），所以设经过焦点直线AB的方程为yk（x-p2），所以y=k(x-p2)y2=2px，整理得k2x2-(k2p+2p)x+k2p24=0，设点A（x1，y1），B（x2，y2），所以|AB|=x1+x2+p=(2k2+2)pk2，所以1|AB|=k2(2k2+2)p，同理设经过焦点直线CD的方程为y=-1k（x-p2），所以y=-1k(x-p2)y2=2px，整理得x2-(p+2k2p)x+p24=0，所以：|CD|p+（p+2k2p），所以|CD|=12p+2k2p，则则1|AB|+1|CD|=(1+k2)2p(1+k2)=12p答案：D16a11，a2019a20201，a2019-1a2020-10，a20191，a202010q1，故正确；a2019a2021=a202021，a2019a202110，故不正确；a20201，T2019是数列Tn中的最大项，故正确；T4039a1a2a4038a4039=a202040391，T4038a1a2a4037a4038=(a2019a2020)20191，使Tn1成立的最大自然数等于4038，故不正确正确结论的序号是答案：B17（1）PA底面ABCD，CD底面ABCD，CDPA矩形ABCD中，CDAD，而PA、AD是平面PAD的交线CD平面PDA，PD平面PDA，CDPD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形RtPAD中，AD22，PA2，PD=PA2+AD2=23三角形PCD的面积S=12PDDC23（2）解法一如图所示，建立空间直角坐标系，可得B（2，0，0），C（2，22，0），E（1，2，1）AE=（1，2，1），BC=（0，22，0），设AE与BC夹角为，则cos=AEBC|AE|BC|=4222=22，=4，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为4解法二取PB的中点F，连接AF、EF、AC，PBC中，E、F分别是PC、PB的中点，EFBC，AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角RtPAC中，PC=PA2+AC2=4AE=12PC2，在AEF中，EF=12BC=2，AF=12PB=2AF2+EF2AE2，AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，AEF=4，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为418（1）ab=3cos2x+sinxcosx=3(cos2x+1)2+sin2x2=sin(2x+3)+32，f(x)=sin(2x+3)+32，f（x）的最小正周期为，且0，22=，解得1；（2）由（1）得f(x)=sin(2x+3)+32，f(A2)=3，sin(A+3)=32，由0A得，3A+343，A+3=23，解得A=3，由余弦定理知：a2b2+c22bccosA，即16b2+c2bc（b+c）23bc，且b+c5，16253bc，bc3，SABC=12bcsinA=12332=33419（1）依题意得f（1）f（2）f（3）f（9）f（10）10，当n1时，g（1）=1050=15，当1n10，nN*时，f（1）f（2）f（n1）10，则g（n）=f(n)50+110(f(1)+f(2)+f(n-1)=10n+49，n1也符合上式，故当1n10，nN*，g（n）=10n+49，当11n60，nN*时，g（n）=f(n)50+f(1)+f(2)+f(10)+f(11)+f(n-1)=n50+110(100+f(11)+f(n-1)=n60+(n-11)(n+10)20=20nn2-n+1090，所以第n个月的当月利润率为g（n）=10n+49，1n1020n2-n+1090，11n60；（2）当1n10，nN*，g（n）=10n+49是减函数，此时g（n）的最大值为g（1）=15，当11n60，nN*时，g（n）=20nn2-n+1090=20n+1090n-12021090-1，g（n）在11n33，nN*单调递增，g（n）在34n60，nN*单调递减，当且仅当n=1090n，即n=1090时，g（n）有最大值，又nN*，g（33）=2033332-33+1090=3301073，g（34）=2034342-34+1090=170553，因为330107317055315，所以当n33时，g（n）有最大值3301073，即该企业经销此产品期间，第33个月利润最大，其当月利润率为330107320（1）设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，椭圆C上的点到两个焦点的距离和为10，所以2a10，a5，又椭圆C经过点（3，165），代入椭圆方程，求得b4，所以椭圆的方程为：x225+y216=1；（2）设M（3，yM），N（3，yN），F（3，0），由OMON，所以OMON=9+yMyN=0，SMON=123|yM-yN|=32|yM+9yM|9，故OMN面积的最小值为9；（3）设直线l的方程为：ykx+m，则点M（-mk，0），联立y=kx+mx225+y216=1，消去y得（25k2+16）x2+50kmx+25m24000，x1+x2=-50km25k2+16，x1x2=25m2-40025k2+16，所以|AB|=1+k24025k2-m2+1625k2+16，则AB的中点P的坐标为（-25km25k2+16，-25k2m25k2+16+m），又PNAB，得kPN=-1k，则直线PN的方程为：y+25k2m25k2+16-m=-1k(x+25km25k2+16)，令y0，得N点的坐标为（-25k2m+25km25k2+16