四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学理试题（解析版）

绵阳市高中2019届高三第二次诊断性考试理科数学一、选择题（60分）1.在复平面内，复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】zi2.己知集合A=0, 1，2, 3，4，B=x 1，则AB( )A. 1，2，3，4B. 2，3，4C. 3，4D. 4【答案】B【解析】【分析】先求出集合B，由此能求出AB【详解】1，所以，x10，即x1，集合A中，大于1的有：2，3，4 ，故AB2，3，4 .故选B.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、指数不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3.下图所示的茎叶图记录的是甲、乙两个班各5名同学在一次数学小测试中的选择题总成绩（每道题5分，共8道题）已知两组数据的中位数相同，则m的值为（ ）A. 0B. 2C. 3D. 5【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，直接写出甲、乙两个班级的中位数，得出30+m35，求出m的值【详解】甲班成绩：25、30、35、40、40，中位数为：35，乙班成绩：30、30、30+m、35、40，因为中位数相同，所以30+m35，解得：m5故选D.【点睛】本题考查了利用茎叶图求中位数的应用问题，是基础题4.“ab1”是“直线axy+10与直线xby10平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】ab1时，两条直线平行成立，但由axy+10与直线xby10平行，可得ab1，不一定是ab1【详解】ab1时，两条直线axy+10与直线xby10平行， 反之由axy+10与直线xby10平行，可得：ab1，显然不一定是ab1，所以，必要性不成立，“ab1”是“直线axy+10与直线xby10平行”的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查了直线平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5.设是互相垂直的单位向量，且（）（2），则实数的值是（ ）A. 2B. 2C. 1D. 1【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件：向量垂直数量积等于0，列出方程求出【详解】依题意，有：ab1，且ab0，又（ab）（a2b），所以，（ab）（a2b）0，即a22b2（21）ab0，即20，所以，2故选B.【点睛】本题考查两向量垂直的充要条件：数量积等于0；单位向量的定义，属于基础题.6.执行如图的程序框图，其中输入的，则输出a的值为（ ）A. 1B. 1C. D. 【答案】B【解析】【分析】由条件结构的特点，先判断，再执行，计算出a，即可得到结论【详解】由a，b，ab，则a变为1，则输出的a1故选B.【点睛】本题考查算法和程序框图，主要考查条件结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题7.抛物线的焦点为F，P是抛物线上一点，过P作y轴的垂线，垂足为Q，若PF，则PQF的面积为（ ）A. 3B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由条件结合抛物线定义可知P的横坐标为x3，代入抛物线方程得点P的纵坐标的绝对值，则可求PQF的面积.【详解】依题意，得F（，0），因为PF4，由抛物线的性质可知：PQ4，即点P的横坐标为x3，代入抛物线，得点P的纵坐标的绝对值为：y2，所以，PQF的面积为：S，故选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单应用涉及抛物线的焦点问题时一般要考虑到抛物线的定义，考查计算能力8.已知O：与O1：相交于A、B两点，若两圆在A点处的切线互相垂直，且AB=4，则O1的方程为（ ）A. 20B. 50C. 20D. 50【答案】C【解析】【分析】根据两圆相交，在A处的切线互相垂直，即可得到结论【详解】依题意，得O（0,0），R，O1（，0），半径为r两圆在A点处的切线互相垂直，则由切线的性质定理知：两切线必过两圆的圆心，如下图，OC，OAO1A，OO1AB，所以由直角三角形射影定理得：OA2OCOO1，即51OO1，所以OO15，rAO12，即5，得5，所以，圆O1的方程为：20，故选：C【点睛】本题主要考查两圆位置关系的应用，根据切线垂直关系建立方程关系是解决本题的关键9.在边长为2的等边三角形内随机取一点，该点到三角形三个顶点距离均大于1的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满足条件正三角形ABC内的点到三角形的顶点A、B、C的距离均不小于1的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案【详解】满足条件的正三角形ABC如下图所示：其中正三角形ABC的面积S三角形4满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S阴影则使取到点到三个顶点A、B、C的距离都大于1的概率是P故选：A【点睛】本题考查几何概型概率公式，涉及三角形的面积公式、扇形的面积公式，属于基础题10.已知是焦距为8的双曲线的左右焦点，点关于双曲线的一条渐近线的对称点为点，若，则此双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】由题意知AF2=4，结合点到直线的距离与双曲线中a、b、c间得关系得到，解得结果.【详解】如下图，因为A为F2关于渐近线的对称点，所以，B为AF2的中点，又O为F1F2的中点，所以，OB为三角形AF1F2的中位线，所以，OBAF1，由AF2OB，可得AF2AF1，AF2=4，点F2（4,0），渐近线：x，所以，解得：b2，2，所以离心率为e2,故选C.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用及点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题11.博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则（ ）A. P1P2B. P1P2C. P1+P2D. P1P2【答案】C【解析】【分析】将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.【详解】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321方案一坐车可能：132、213、231，所以，P1；方案二坐车可能：312、321，所以，P1；所以P1+P2故选C.【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.12.函数在（一，十）上单调递增，则实数a的范围是（ ）A. 1B. (1，1)C. (0. 1)D. 1，1【答案】A【解析】【分析】根据f（x），结合结论，即进行放缩求解，求得实数a的取值范围【详解】f（x）=恒成立，即 恒成立，由课本习题知：，即，只需要x，即(a-1)(x-1)恒成立，所以a1故选A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的性质的问题，属于中档题二、填空题、（20分）13.(2+)(2x)5的展开式中x2的系数是_(用数字作答）【答案】200【解析】【分析】求出(2x)5展开式的通项公式，要求x2的系数，只需求出(2x)5展开式中x2和x3的系数即可【详解】(2+)(2x)5展开式中，含x2的项为2+=(2+)200x2，所以系数为200,故答案为200.【点睛】本题主要考查二项式定理的基本应用，利用展开式的通项公式确定具体的项是解决本题的关键14.一个盒子装有3个红球和2个蓝球（小球除颜色外其它均相同），从盒子中一次性随机取出3个小球后，再将小球放回重复50次这样的实验记“取出的3个小球中有2个红球，1个蓝球”发生的次数为，则的方差是_【答案】12【解析】【分析】直接由二项分布的方差公式计算即可.【详解】由题意知,其中n=50，p=，D（）=50=12，故答案为12.【点睛】本题考查了二项分布的概念及方差的计算，属于基础题.15.若f（x)，则满足不等式f(3x-1)十f(2)0的x的取值范围是_【答案】 【解析】【分析】先判断奇偶性，再直接利用函数的单调性及奇函数可得3x一1-2，由此求得x的取值范围【详解】根据f（x）exex在R上单调递增，且f（-x）exex =- f（x），得f（x）为奇函数，f(3x一1)-f(2)=f(-2)，3x一1-2，解得，故答案为.【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题16.已知椭圆C：的右焦点为F，点A（一2，2)为椭圆C内一点。若椭圆C上存在一点P，使得PAPF8，则m的最大值是_【答案】25【解析】【分析】设椭圆的左焦点为F（2，0），由椭圆的定义可得2|PF|+|PF|，即|PF|2|PF|，可得|PA|PF|82，运用三点共线取得最值，解不等式可得m的范围，再由点在椭圆内部，可得所求范围【详解】椭圆C：的右焦点F（2，0），左焦点为F（2，0），由椭圆的定义可得2|PF|+|PF|，即|PF|2|PF|，可得|PA|PF|82，由|PA|PF|AF|2，可得2822，解得，所以,又A在椭圆内，所以,所以8m-16m(m-4),解得或,与取交集得故答案为25【点睛】本题考查椭圆的定义和性质的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22. 23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.设数列的前n项和为Sn，已知3Sn=44，求数列通项公式；令，求数列的前n项和Tn.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由求得，由时，可得的递推式，得其为等比数列，从而易得通项公式；（2）根据（1）的结论，数列的前项和可用裂项相消法求得详解：（1） 当时，当时， 由-得：是以为首项，公比为的等比数列（2）点睛：设数列是等差数列，是等比数列，则数列，的前项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法18.进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质量某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行为此，环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如下表：(1)根据表中周一到周五的数据，求y关于x的线性回归方程。(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是可靠的请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？ 注：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为.【答案】（1）；（2）可靠.【解析】【分析】（1）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数，把和x，y的平均数，代入求的公式，求出的值，即可得线性回归方程（2）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为8和8.5时的y的值，把预报的值同原来表中所给的8和8.5对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程可靠【详解】（1）， =5， ， y关于x的线性回归方程为.（2）当x=8时，满足|74-73|=12，当x=8.5时，满足|75-75|=02， 所得的线性回归方程是可靠的【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查了线性回归分析的应用，考查解决实际问题的能力，是一个综合题目，属于基础题19.ABC的内角A. B. C的对边分别为a，b，c，己知b（casinC）。（1)求角A大小；(2）设b=c，N是ABC所在平面上一点，且与A点分别位于直线BC的两侧，如图，若BN=4，CN=2，求四边形ABNC面积的最大值【答案】（1） ；（2） 【解析】【分析】（1）由条件可得ccosA=c-asinC由正弦定理得sinA+cosA=1化简得sin(A+)=，解得A即可.（2）由余弦定理得BC2=16+4-16cosN =20-16cosN，再结合条件得到四边形面积S=SABC+SBCN，求得最值.【详解】（1） ， cbcosA=b(c-asinC)，即ccosA=c-asinC 由正弦定理得sinCcosA=sinC-sinAsinC， sinC0， cosA=1-sinA，即sinA+cosA=1 sinA+cosA=，即sin(A+)= 0A, A+=，即A= （2）在BCN中，由余弦定理得BC2=NB2+NC2-2NBNCcosN， BN=4，CN=2， BC2=16+4-16cosN =20-16cosN 由（1）和b=c，得ABC是等腰直角三角形，于是AB=AC=BC， 四边形ABCD的面积S=SABC+SBCN= = 当N=时，S取最大值，即四边形ABCD的面积的最大值是【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理的应用、三角形面积计算公式及三角函数求最值的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20.己知椭圆C：左右焦点分别为，直线l：与椭圆C交于A，B两点为坐标原点若直线l过点，且十，求直线l的方程；若以AB为直径的圆过点O，点P是线段AB上的点，满足，求点P的轨迹方程【答案】(1) 或；（2）()【解析】【分析】（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2).联立 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0根据弦长公式|AB|=，代入整理得，解得得到直线l的方程 （2）设直线l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.结合韦达定理及条件，整理得3m2=8k2+8从而有 |OP|2=（定值），得到点P的轨迹是圆，且去掉圆与x轴的交点.写出点P的轨迹方程即可.【详解】（1）由椭圆定义得|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=8，则|AB|= 因为直线l过点F1(-2,0)，所以m=2k即直线l的方程为y=k(x+2).设A(x1，y1)，B(x2，y2).联立 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0 x1+x2=，x1x2= 由弦长公式|AB|=，代入整理得，解得所以直线l的方程为，即或 （2）设直线l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0. x1+x2=，x1x2= 以AB为直径的圆过原点O，即 x1x2+ y1y2=0将y1=kx1+m，y2= kx2+m代入，整理得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0 将x1+x2=，x1x2=代入，整理得3m2=8k2+8 点P是线段AB上的点，满足，设点O到直线AB的距离为d， |OP|=d，于是|OP|2=d2=（定值）， 点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，且去掉圆与x轴的交点.故点P的轨迹方程为()【点睛】本题考查椭圆方程求法，考查弦长的求法，考查椭圆、韦达定理、向量数量积、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题21.已知函数.（1）若有两个极值点，求实数m的取值范围；（2）若函数有且只有三个不同的零点，分别记为，且的最大值为，求的最大值.【答案】(1) (0，)；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用函数f（x）有两个极值点，说明导函数有两个解，即有两个不等的实数根，令，则，求得的极大值，可求得m的取值范围（2）根据g(x) =(x-e)(lnx-mx)，得到x=e是其零点又结合（1）知lnx-mx=0的两个根分别在(0，e)，(e，+)上，得到g(x)的三个不同的零点分别是x1，e，x3，且0x1e，进行的换元，则t由，解得 构造，t，利用导函数转化求解即可【详解】（1）由题意得，x0由题知=0有两个不等的实数根， 即有两个不等的实数根令，则由0，解得，故在(0，e)上单调递增；由e，故在(e，+)上单调递减；故在x=e处取得极大值，且，结合图形可得.当函数f(x)有两个极值点时，实数m的取值范围是(0，) （2）因为g(x)=xlnx-mx2-elnx+mex=(x-e)(lnx-mx)，显然x=e是其零点由（1）知lnx-mx=0的两个根分别在(0，e)，(e，+)上， g(x)的三个不同的零点分别是x1，e，x3，且0x1e 令，则t则由 解得 故，t 令，则令，则所以在区间上单调递增，即所以，即在区间上单调递增，即=，所以，即x1x3.所以x1x3的最大值为【点睛】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值以及函数的极值的求法，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力（二）选考题：共10分。请考生在第22,